Моделирование особенностей развития макроэкономических систем вблизи критических точек

Традиционные аналитические методы анализа экономических систем все чаще и чаще наталкиваются на проблемы, не имеющие эффективного решения в рамках устоявшихся парадигм. Это и неудивительно, ведь традиционные, ставшие уже классическими, подходы были разработаны для описания относительно устойчивого, медленно эволюционирующего и не радикально изменяющегося мира, мира — который еще не сильно отклонился от состояния равновесия. Традиционные модели являются стохастическими. Те ограничения, которые используются при построении модели с целью сделать ее пригодной для практического использования, по сути дела, уничтожает ту уникальную внутреннюю «сложность», которая присуща динамическому процессу. По самой своей сути эти методы и подходы не были предназначены для описания и моделирования быстрых изменений, непредсказуемых скачков и сложных взаимодействий отдельных составляющих современного мирового рыночного процесса.

Последние годы ознаменовались повышенным интересом к поиску нелинейных моделей, которые могли бы адекватно воспроизводить сложное поведение динамических систем, поскольку уже стало ясно, что линейный подход к анализу развивающихся систем не позволяет смоделировать сильно нерегулярное поведение, характерное для большинства динамических систем. Постепенно стало ясно, что изменения в экономике происходят настолько интенсивно, а их качественные проявления бывают настолько неожиданными, что для анализа и прогнозирования поведения развивающихся экономических систем синтез новых аналитических и вычислительных подходов стал насущной практической необходимостью. Этот синтез был осуществлен в рамках бурно развивающейся в настоящее время науки — теории неравновесной динамики. Теория неравновесной динамики изучает динамические процессы в сложных развивающихся системах. Она рассматривает причины и механизмы возникновения новых режимов в поведении системы, предсказывает вероятные изменения системы и указывает на то, как можно было бы управлять неожиданными динамическими режимами, возникающими в сложных системах. Законы, управляющие сложными развивающимися системами, коренным образом отличаются от тех, по которым функционируют равновесные системы, и которые являются основой традиционных классических методов анализа поведения экономических систем. Поэтому теория неравновесной динамики может стать адекватным инструментом для анализа сложных динамических процессов, происходящих в современной экономике.

В связи с этим, в последнее время интенсивно развивается раздел теории неравновесной динамики, базирующийся на теории динамического хаоса, которая предлагает исчерпывающее объяснение иррегулярному поведению и аномалиям в системах, которые, не являясь по своей природе стохастическими, ведут себя подобным образом. Теория хаоса предлагает совершенно новые концепции и алгоритмы для анализа временных рядов, которые могут привести к более глубокому и полному пониманию отражаемых ими экономических процессов. Эта теория предлагает широкий выбор методов, включая восстановление аттрактора в лаговом фазовом пространстве, вычисление показателей Ляпунова, обобщенных размерностей и энтропий, а также нелинейное предсказание.

Актуальность темы

исследования. Возможность использования для анализа рядов динамики развивающихся экономических систем концепции равновесия ограничена исходной предпосылкой о статичности порождающей данный ряд системы, для которой в действительности характерна сложная динамика. Поскольку в рамках равновесного анализа развивающаяся система рассматривается как внутренне устойчивая система, то исследование ее динамики сводится к исследованию изменений устойчивого равновесия в результате экзогенных воздействий. Данный подход определяет характер взаимодействия между переменными как неизменный. Однако время играет определяющую роль в эволюции сложных систем, которая предстает как длительный переход от одного неустойчивого состояния к другому с возможным переходом к режиму динамического хаоса. Сложно организованные новые пространственно-временные структуры систем возникают как результат самоорганизации из хаотических состояний. В таких самоорганизующихся системах вместо устойчивости и гармонии обнаруживаются эволюционные процессы, приводящие к еще большему разнообразию и усложнению структур. Концепции нелинейности и бифуркаций, впервые сформулированные Пуанкаре А., Ляпуновым А., Андроновым А., Уитни X., Томом Р., а также последние работы Арнольда В. И., Ма-линецкого Г. Г., Лесина Я. Б., Такенса Ф., Фейгенбаума М., Занга В. Б., Гилмо-ра Р. дают возможность методологически корректно исследовать динамические ряды данных.

Таким сложным системам как экономика присуще как регулярное, так и нерегулярное хаотическое поведение вблизи критических точек, генерируемое их нелинейным характером. Регулярным поведением систем, под которым, как правило, понимают детерминированное поведение, считается поведение, описываемое дифференциальными и разностными уравнениями, позволяющими рассчитывать динамику систем на основе заданных начальных условий. Однако хаотическое поведение можно обнаружить в системах, описываемых дифференциальными уравнениями, из чего следует, что хаос имеет детерминированную природу. Детерминированные нелинейные разностные уравнения первого порядка иллюстрируют возникновение нерегулярных флуктуаций, тогда как в детерминированных линейных разностных уравнениях подобные явления не наблюдаются. Следовательно, хаос генерируется именно нелинейным характером системы. Известно также, каким образом нелинейные системы приходят к хаосу.

Открытие феномена детерминированного хаоса и самоорганизации в нем расширяет возможности как математического моделирования, так и экономического прогнозирования. Наличие детерминированной природы хаоса позволяет предположить, что некоторые, кажущиеся в большей степени случайными, экономические явления могут оказаться в большей степени предсказуемыми.

В зависимости от того, является система устойчивой или неустойчивой, она по-разному реагирует на внешние воздействия. Если система способна быстро возвращаться к равновесию, то результат внешнего воздействия будет незначителен. Однако, если система неустойчива, то влияние случайных воздействий очень сложно. Неустойчивая система может претерпевать структурную перестройку даже в том случае, когда изменения параметров будут небольшими. Чтобы прогнозировать поведение неустойчивой системы, необходимо построить теорию флуктуаций вблизи критических состояний. Поэтому одной из проблем реализации концепции хаоса в исследованиях экономической динамики является методика измерения нерегулярного поведения, которое в развивающихся системах может проявляться в различных формах: движение к устойчивому узлу, фокусу, предельных циклов, бифуркации. Для того чтобы отличать нерегулярное поведение систем от регулярного, необходимы критерии, на роль которых претендуют показатели Ляпунова.

Таким образом, для исследования поведения нелинейных неустойчивых динамических систем, к которым относится экономика, особенно важен анализ поведения системы вблизи критической точки, когда небольшие изменения параметров приводят к потере системой линейной устойчивости и хаотическому поведению.

Объектом исследования диссертационной работы является влияние стационарных и нестационарных факторов на особенности поведения макроэкономических показателей развивающихся экономических систем различной природы.

Предмет исследования: математические модели и оценка с помощью разработанных алгоритмов влияния социальных и экономических факторов на динамическое нелинейное поведение параметров развивающихся систем.

Целью диссертационных исследований является разработка эффективного алгоритма получения равновесных и неравновесных математических моделей с использованием динамических рядов экспериментальных данных с целью исследования сущности развивающихся экономических систем и повышения точности прогнозных моделей.

Научная задача исследований заключается в разработке алгоритма исследования динамических рядов, описывающих на различных этапах развития поведение динамических экономических систем, с целью моделирования экономических связей и построения прогнозов.

При решении поставленной общей научной задачи решен ряд частных задач:

1. Разработка и обоснование методики исследования дискретных экспериментальных данных, позволяющей определить равновесие и неравновесие экономических систем.

2. Разработка алгоритма исследования временных рядов на основе методов неравновесной нелинейной динамики.

3. Применение разработанных алгоритмов к исследованию динамики конкретных экономических систем, представленных экспериментальными данными, в области эволюционного развития и режиме бифуркаций.

4. Изучение процессов самоорганизации в области динамического хаоса на основе нелинейной динамики систем с целью построения прогноза их поведения.

Методы исследования. При построении математических моделей использовались методы математической статистики, а также гармонический анализ, корреляционный анализ, множественный регрессионный анализ, методы теории катастроф, методы теории нелинейных дифференциальных уравнений и методы исследования нелинейных динамических систем, включая методы исследования динамического хаоса, исследование дискретных отображений, исследование характеристик странных аттракторов.

При работе над диссертацией было применено следующее ПО: Statistica 99 Edition., Microsoft Excel 2000, С++ Bulder 5.0, MathCAD 7 Professional.

Достоверность полученных в диссертационной работе результатов обосновывается корректным использованием апробированных методов корреляционного, множественного регрессионного и гармонического анализов, построением математических моделей с помощью методов неравновесной нелинейной динамики на основе экспериментальных динамических рядов, использованием современных информационных технологий, а также сравнением результатов моделирования со статистическими данными.

Информационная база исследования включает данные Ставропольского краевого комитета госстатистики о динамике средней урожайности озимой пшеницы на территории Ставропольского края и курса акций компании «Лукойл» на ММВБ (Московской межбанковской валютной бирже).

Научная новнзна диссертационной работы состоит в следующем:

1. Предложен алгоритм обработки динамических рядов, отражающих сущность равновесных и развивающихся экономических систем.

2. Разработан метод построения простейших нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем на основе исследования экспериментальных динамических рядов как дискретных отображений.

3. Исследованы динамические системы на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса на основе временных рядов урожайности зернового комплекса Ставропольского края и курса акций компании «Лукойл» с помощью дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

4. Создан пакет программ для ЭВМ, позволяющий строить аппроксима-ционную модель развития динамической системы, определять значение управляющих параметров и вычислять характеристики самоорганизации системы в виде странного аттрактора в режиме динамического хаоса.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Алгоритм построения и исследования равновесных и неравновесных математических моделей экономических систем на основе динамических рядов.

2. Метод восстановления динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем в виде нелинейных дифференциальных уравнений с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Методика исследования нелинейных динамических моделей, описывающих поведение развивающихся экономических систем на примере зернового комплекса Ставропольского края и компании «Лукойл» на этапах эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса.

4. Апробация методики оценки характеристик странного аттрактора динамической системы компании «Лукойл» в режиме динамического хаоса с целью получения прогноза.

Практическая значимость исследования состоит в том, что полученные результаты могут быть применены в процессе прогнозирования поведения развивающихся систем. Разработана методика построения нелинейной аппроксимации экономических систем, позволяющая давать прогнозы поведения системы в области эволюционного развития, в режимах бифуркаций и динамического хаоса. Полученные характеристики аттрактора позволяют определять характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

Реализация результатов исследования. Основные результаты диссертационной работы реализованы в учебном процессе Ставропольского государственного университета в рамках дисциплины специализации «Математические методы в экономике, экологии и биологии», а также при разработке тематики курсовых и дипломных работрезультаты диссертационной работы используются в учебном процессе Ставропольского института переподготовки кадров агробизнеса при чтении соответствующих спецкурсовпрограммный комплекс, созданный в работе, применяется в Ставропольском филиале ОАО «МДМ-Банк» для анализа экономических показателей.

Апробация результатов исследования. Результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях», г. Ставрополь, СГУ, 2000; I, II Региональных научных конференциях студентов и преподавателей «Проблемы компьютерных технологий и математического моделии рования в естественных, технических и гуманитарных науках», г. Ставрополь, СевКавГТУ, 2001,2002; VI международной конференции «Экология и здоровье человека. Экологическое образование. Математические модели и информационные технологии», г. Краснодар, 2001; X Международной конференции «Математика. Экономика. Образование», Ростов на Дону, 2002; 46, 48 научно-методических конференциях преподавателей и студентов «Университетская наука — региону», г. Ставрополь, СГУ, 2002,2003.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 10 работ, из них 6 в соавторстве. В совместных работах соискателю принадлежит получение основных результатов и их обсуждение.

Структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемых источников (содержащего 122 наименования) и приложений. Основная часть работы изложена на 129 страницах машинописного текста. Работа содержит 4 таблицы, 43 рисунка, 3 приложения.

Выводы по третьей главе:

1. Рассмотрен алгоритм исследования простейших нелинейных математических моделей развивающих систем, полученных на основе простейшей нелинейной модели типа «складка». В зависимости от значения управляющего параметра в развитии динамической системы выделяют эволюционный период, бифуркационный период и режим динамического хаоса. На каждом из режимов предложена методика построения прогноза.

2. Предложена методика построения динамических нелинейных математических моделей развивающихся экономических систем с помощью динамических рядов как дискретных отображений и методов нелинейной динамики.

3. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. Показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций «удвоения периода», то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный цикл, т. е. значения временного ряда начинают чередоваться.

4. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если r>rtJ2, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

5. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании «Лукойл», находящейся в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитанная корреляционная размерность аттрактора позволяет оценить количество переменных, которое необходимо для моделирования системы. Числовое значение корреля И^У ционной энтропии является количественной характеристикой степени хаотичности системы.

В состоянии хаоса конкретное состояние системы непредсказуемо. Однако странный аттрактор, определяющий хаотическое поведение системы, часто занимает ограниченную область фазового пространства. Следовательно, определение границ области аттрактора может позволить получить оценки поведения системы. Характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы, обратно пропорционально наибольшему показателю Ляпунова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Проведенные в диссертационной работе исследования направлены на разработку алгоритмов построения математических моделей, описывающих поведение равновесных и развивающихся экономических систем на основе динамических рядов. Основные результаты диссертационной работы состоят в следующем:

1. Предложен алгоритм исследования на стационарность динамических рядов, описывающих поведение сложных нелинейных систем. Алгоритм включает следующие шаги: выделение неслучайной (закономерной) составляющей временного рядаоценка параметров моделиоценка точности моделиисследование случайной компоненты ряда с целью проверки адекватности модели. Если полученная математическая модель динамического ряда адекватна, то ее можно использовать для построения прогнозов. В противном случае для построения модели динамического ряда следует использовать методы неравновесного анализа данных.

2. Апробация предложенного алгоритма проведена на примере динамического ряда, отражающего экономическую сущность развития зернового комплекса Ставропольского края. При этом выявлено, что данный временной ряд развивается во времени неоднородным образом с выраженными сменами режимов. Наличие смен режима эволюции ряда затрудняет построение единой модели ряда, вследствие чего строятся различные модели эволюции ряда на двух временных интервалах: с 1962 по 1989 год и с 1990 по 2002 год. Каждый из полученных временных рядов исследуется отдельно. Получены обобщенные аддитивные модели исследуемого временного ряда за периоды с 1962 по 1989 года и с 1990 года по 2002 год. Показано, что стационарная модель неадекватна. Так как большинство экономических систем современной России являются подобно зерновому комплексу Ставропольского края развивающимися системами то, скорее всего, эконометрические модели, описывающие поведение данных систем, не являются адекватными и не могут быть использованы для прогноза. Следует использовать методы обработки данных на основе теории неравновесной динамики.

3. Предложен алгоритм исследования поведения развивающихся нелинейных экономических систем на основе построения математических моделей с помощью динамических рядов, дискретных отображений и нелинейной динамики.

4. Разработана методика исследования временных рядов, описывающих развитие экономических систем в режиме эволюционного развития и в режиме бифуркаций. На примере показателей зернового комплекса Ставропольского края показано, что в периоды эволюционного развития система стремится к устойчивому состоянию. Если значение управляющего параметра попадает в диапазон бифуркаций «удвоения периода», то такой режим, характеризуется переходом системы в устойчивый двукратный цикл, т. е. значения временного ряда начинают чередоваться.

5. Анализ поведения управляющего параметра динамической системы показывает, что если г > r^, то развитие экономической системы хаотично. Предложена методика получения и исследования нелинейной модели самоорганизации хаотической динамики временного ряда, отражающего поведение развивающейся системы в режиме динамического хаоса в виде странного аттрактора.

6. Исследованы характеристики странного аттрактора в поведении нелинейной динамической модели экономической системы компании «Лукойл», находившейся в период дефолта 1998 года в хаотическом режиме, позволяющего прогнозировать поведение системы в режиме самоорганизации динамического хаоса. Рассчитаны корреляционная размерность и корреляционная энтропия аттрактора, показатели Ляпунова, определяющие характерное время, на которое может быть предсказано поведение системы.

7. Разработан комплекс программ, позволяющий строить кусочно-нелинейную аппроксимационную модель развития динамической системы, определять на основе данной модели значение управляющего параметра и вычислять количественные значения характеристик странного аттрактора, характеризующего процессы самоорганизации экономической системы в режиме динамического хаоса.