Асимптотика по малому параметру решения возмущенной задачи о распаде разрыва

Изучение свойств нелинейных уравнений и методов их решения представляет собой быстро развивающуюся область современной теории дифференциальных уравнений. Одним из важных направлений является теория гиперболических систем квазилинейных уравнений. Это связано, в частности, с большим количеством приложений, которые находят гиперболические системы квазилинейных уравнений в практических и теоретических задачах (см., например, [29], [32], [34], [5], [13], [14]).

При исследовании гиперболических систем особое внимание уделяется негладким (разрывным) решениям, которые называются обобщенными. Чаще всего такие решения вводятся для уравнений, являющихся следствием некоторых интегральных законов сохранения (см. [29], Гл. 4). Именно такого типа задача рассматривается в предлагаемой диссертации.

Основным объектом исследования в настоящей работе являются обобщенные решения задачи о распаде разрыва для гиперболической системы двух квазилинейных уравнений с возмущением: ди ди tk (Ui, X, t)-^-=?fk (Ui, X, t), к =1,2, 0.

Uk (Xi 0) = / ф1о (х) + ?Фк, 1(х) + £2Фк, 2+ • • • > ~а < х < О" X + 0<�х<�а.

Возмущение здесь задано членами с множителем е, где е — малый параметр. Ставится задача детально исследовать влияние таких малых возмущений на обобщенное решение. Под детальным исследованием здесь имеется в виду построение полной асимптотики при е —> 0 для обобщенного решения в области его непрерывности, построение полной асимптотики положения линий сильного и слабого разрывов с указанием алгоритма построения всех членов асимптотических рядов.

Для решения поставленной задачи в диссертации используются методы теории возмущений.

Литература

посвященная уравнениям с малым параметром довольно обширна, можно отметить, например, монографии [1], [2], [3], [8], [19], [20], [21], [36]. Методы теории возмущений очень часто оказываются полезными для практических задач, так как позволяют конструктивно строить приближенные решения.

Исследование асимптотики решения дифференциальных уравнений состоит, обычно, из двух этапов: формальные построения коэффициентов асимптотики и обоснование построенной асимптотики.

Ключевыми моментами на первом этапе являются: выбор главного члена асимптотикивыделение стандартной задачи, решение которой определяет поправки в асимптотическом рядедоказательство разрешимости стандартной задачи. Вообще говоря, не существует единого для всех задач алгоритма, гарантирующего правильность того или иного выбора главного члена асимптотики. Показателем, что выбор главного члена произведен неправильно, является, например, неразрешимость стандартной задачи на поправки или неединственность ее решения. Положив, формально, малый параметр равным нулю в исходной задаче с возмущением, получим новую задачу без параметра, которую называют предельной или невозмущенной. Естественный путь, когда в качестве главного члена асимптотики выбирают решение предельной задачи, часто оказывается неправильным. В качестве примера можно привести задачу с так называемым сингулярным возмущением (см. [8]), когда порядок дифференциальных уравнений предельной задачи меньше порядка уравнений исходной возмущенной задачи, а число граничных условий у обеих задач одинаково1. В таких задачах возникает хорошо изученные эффекты пограничных и переходных слоев.

Задача, рассматриваемая в диссертации не приводит к эффектам типа иогранслоев, поскольку при е —> 0 не происходит понижения порядка уравнений и не возникает проблем с формальным выполнением начальных условий. Тем не менее, здесь возникает эффект, похожий на переход.

3а описанием методики построения асимптотики решения этой и других сингулярных задач можно обратиться к монографии A.M. Ильина [8]. ный слой. Он связан с проблемой уточнения поправок для линий разрыва (ударного перехода). Эти линии в главном члене асимптотики определяют решение предельной задачи. Наличие возмущений приводит к деформации этих линий на величину порядка 0(e). Вычисление поправок к линиям разрыва и составляет одну из главных задач, решаемых в диссертации. В предложенной конструкции важную роль играет способ выбора коэффициентов асимптотического решения вне линий разрыва. Главная идея состоит в том, что эти коэффициенты должны быть определены в областях, которые пересекаются. Как раз в областях пересечения и отыскивается затем линия разрыва с учетом поправок. В таком подходе не возникает проблемы с определением решения в области его непрерывности при уточнении положения линий разрыва.

Из приведенных рассуждений усматривается параллель рассматриваемой задачи с задачами о погранслоях. Решение предельной задачи с фиксированными линиями разрыва оказывается неверным приближением в узком слое, порядка О (е), вблизи разрыва. Как и в случае сингулярных возмущений главный член асимптотики не совпадает с решением предельной задачи.

После того, как построен главный член асимптотики выписывается стандартная задача на остальные члены асимптотического ряда. Все поправки к главному члену асимптотики удовлетворяют линеаризованной на главном члене системе уравнений. Нетривиальной здесь оказывается задача определения начальных данных для линеаризованной системы уравнений. Так, например, в третьей главе показано, что, при построении асимптотики между двумя линиями ударного перехода, задача определения начальных данных для линеаризованной системы уравнений сводится к решению функционального уравнения специального вида:

A (t)v (k (t)) + B (t)v (t) = C{t), где A (t), B (t), C (t) — известные непрерывные функции, k (t) — сжимающее отображение на промежутке (О, Т), v (t) — подлежащая определению функция.

Завершается этап формальных построений доказательством разрешимости стандартной задачи. Таким образом в диссертации построены полные асимптотические ряды для обобщенного решения в области его непрерывности, а также полные асимптотические ряды для положения линий слабых и сильных разрывов в обобщенном решении.

Из работ, посвященных формальной стороне построения асимптотики, в качестве примера приведем статью Yu. Kevorkian [38], посвященную исследованию частного случая задачи, поставленной в диссертации. В этой работе была исследована возмущенная задача о распаде разрыва для системы уравнений мелкой воды в случае образования одной ударной волны. Целыо работы было построение приближенного решения, пригодного на временах порядка обратной степени возмущения. За главный член принималось решение невозмущенной задачи. После этого методом двух масштабов были построены первые два члена приближенного решения. В качестве подтверждения правильности построений использовался численный счет. Отличие диссертации от указанной выше работы состоит в том, что ставится цель построить полную асимптотику решения задачи о распаде разрыва, когда параметр стремится к нулю. Кроме того ставится задача аналитически обосновать правильность таких построений.

Аналитическое обоснование пригодности формальной асимптотики является вторым важнейшим этапом работы. Обычно на этом этапе формулируются и доказываются утверждения, касающиеся оценки разности между точным решением возмущенной задачи и конечным отрезком построенного асимптотического ряда (остатка). Первым вопросом, который здесь возникает, обычно является вопрос существования и единственности решения как возмущенной так и предельной задачи.

Системы с двумя независимыми переменными являются наиболее изученными на данный момент. Но для этих систем в настоящее время нет достаточно полной теории. В частности, не решена до конца проблема едипствениости обобщенного решения задачи с начальными данными. Сведения по данному вопросу, а также множество ссылок содержится в книгах Рождественского Б. Н. и Яненко Н. Н. [29], Куликовского А. Г. и Свешниковой Е. И. [13]. Известные критерии единственности ведут к существенным ограничениям на рассматриваемую систему уравнений. Несмотря на это, теоремы существования доказаны для достаточно широкого класса систем (см., например, [29]—[31]). В диссертации строится асимптотика некоторого обобщенного решения, которое существует, но, возможно, не является единственным. В работе разобраны три конфигурации обобщенных решений, существование (а также единственность при дополнительных ограничениях) которых доказаны в работах Б. Л. Рождественского [30]—[31].

Задача оценки остатков тесно связана с проблемой устойчивости обобщенного решения. Все известные до сих пор результаты по устойчивости были получены в в потенциальной метрике — специальной интегральной метрике типа L. Для одного уравнения это работа О. А. Олейник [22]. Для определенного класса систем глобальная устойчивость доказана В. Ю. Ляпидевским в работах [14]—[16].

В диссертации для оценки разности между точным решением возмущенной задачи и построенным приближенным, используется метрика пространства непрерывных функций. Полученные в диссертации оценки для непрерывной части решения справедливы всюду, кроме узких (шириной порядка o (eN), где N — количество построенных коэффициентов асимптотики) окрестностей положения линий разрывов. Отметим, что при каких бы дополнительных предположениях ни была доказана единственность обобщенного решения, локальная устойчивость его, например в потенциальной метрике, была бы следствием доказанных в диссертации асимптотических оценок.

Для многомерной задачи о распаде разрыва В. М. Тешуковым и др. (см. [33], [11]) были построены локальные, кусочно-аналитические решения в виде сходящихся рядов. Работы В. М. Тешукова есть обобщение на многомерный случай результатов по существованию обобщенных решений Рождественского Б. Л. [30], [31]. Может возникнуть предположение о том, что подходящей заменой независимых переменных можно исскуственно ввести малый параметр в таких сходящихся рядах и, таким образом, свести задачу рассмотренную в диссертации к указанным выше работам. Однако такая попытка ни к чему не приводит. Заменой независимых переменных? = ех, т = et можно убрать малый параметр из уравнений только при условии, что характеристические скорости я, ?) и правые части fk (ui, x, t) уравнений не зависят от переменных x, t, а начальные данные фк{х, t, е) задаются рядом по степеням е, составленным из констант. Решение задачи, для которой выполнены такие условия, будет автомодельным, X т. е. зависит только от одной независимой переменной у = —. Но, даже при i выполнении указанных условий, получить задачи на коэффициенты рядов, исходя из работ В. М. Тешукова, оказывается самостоятельной проблемой. Более того, известно, что асимптотические ряды могут не сходиться. И в этом месте имеется значительное отличие между проблемой построения асимптотики решения некоторой задачи, и проблемой существования решения той же задачи.

Изучаемые в диссертации обобщенные решения содержат разрывы (особенности). Отметим, что подобного типа задачи (об асимптотике сингулярных решений дифференциальных уравнений) ранее исследовались в других ситуациях некоторыми авторами [9],[10], [38].

Перейдем к описанию работы по главам. В первой главе диссертации вводятся некоторые необходимые для дальнейшей работы понятия и приведен пример, иллюстрирующий основную схему работы.

В первом пункте главы приводятся определения гиперболической системы уравнений, инвариантов Римана, характеристик. Во втором пункте дается определение законов сохранения, консервативной системы уравнений, классического и обобщенного решений системы уравнений, приведены условия на разрывах обобщенного решения. В третьем пункте вводится понятие задачи о распаде разрыва, приведены условия истинной нелинейности и условия устойчивости разрыва, т. е. приведены условия, достаточные для существования обобщенного решения задачи о распаде разрыва. Дано определение конфигурации решения. В четвертом пункте излагаются основы асимптотической теории, а именно, приведено определение асимптотической последовательности, асимптотического разложения и отношений порядка. Приведена известная теорема (теорема 1) о единственности асимптотического разложения по данной асимптотической последовательности.

В пятом, последнем пункте первой главы, в качестве примера, рассматривается задача Коши для уравнения Хопфа: и (:г, 0) — ut + иих = ef (u, x, t), / ф~(х, е), —а < х < О, ф+{х, е), 0 < х < а. Сформулирована и доказана теорема 2 о сохранении конфигурации обобщенного решения, которая означает, что если в решении предельной задачи образуется ударная волна, то она образуется и в решении возмущенной задачи для некоторого интервала значений параметра е? (0, £о) — Показано, что линии ударного перехода, в случае возникновения ударной волны, непрерывным образом зависят от параметра возмущения (лемма 2). Построена полная асимптотика положения линий слабого разрыва (утверждение 1). Построены полные асимптотические ряды для решения в области его непрерывности (леммы 1, 3 и утверждение 2). Показано, что коэффициенты этих рядов определены в областях, достаточно широких, чтобы, используя указанные коэффициенты, можно было строить асимптотику обобщенного решения сразу для некоторого интервала значений малого параметра. Доказано, что точное решение возмущенной задачи обладает именно такой асимптотикой в каждой точке своей определенности.

Б.Л. Рождественским в работах [30]—[32] было установлено, что, при некоторых разумных ограничениях, решение задачи о распаде разрыва для системы двух уравнений может иметь одну из трех возможных конфигураций. А именно, решение может либо быть непрерывным, либо содержать одну линию сильного разрыва, либо содержать две линии сильного разрыва. Линии сильного разрыва часто называют также линиями ударного перехода, или ударными волнами. Исследованию непрерывного случая посвящена вторая глава диссертации.

В первом пункте второй главы приводится постановка задачи и приведен основной результат второй главы (теорема 3). Во втором пункте строится формальная асимптотика классического решения задачи Коши для возмущенной системы уравнений. Первым делом определяются области, в которых будут определены коэффициенты асимптотического ряда:

После этого выписаны уравнения и начальные данные которым должны удовлетворять коэффициенты асимптотики. Доказаны лемма 4 о существовании и единственности решения стандартной задачи на коэффициенты асимптотического ряда.

Цель третьего пункта — доказать пригодность построенной асимптотики. Приводится теорема 4 о существовании классического решения в некоторой области, равномерно для целого интервала значений параметра возмущения. Показано, что доказательство ее по существу сводится к уже известным результатам. После этого доказывается лемма 5 об оценке разности точного решения возмущенной задачи и конечного отрезка построенного асимптотического ряда:

Лемма 5 Для любого N существует такая постоянная Мдг, не зависящая от е, что фгутции гk (х, в D~Q для всех е 6 (0, го) удовлетворяют оценке: оо N rf (х, t, е) = uk {х, ?luk i (x, t), k = 1,2. г=0.

2.14).

Нужно заметить, что коэффициенты асимптотики были построены в области, которая не зависит от параметра возмущения. Однако область определенности точного решения возмущенной задачи зависит от параметра. В четвертом пункте второй главы показано, как нужно строить асимптотику возмущенного решения в любой точке его определенности, используя построенные ранее коэффициенты.

В случае отсутсвия ударных волн обобщенное решение строится следующим образом: к границам классического решения непрерывным образом примыкает пара специальных непрерывных решений исходной системы уравнений, называемых волнами разрежения. В пятом пункте строится асимптотика такого специального решения. Сначала определяются области, в которых будут строится коэффициенты асимптотики. Доказано утверждение 3 о том, что эти области перекрываются с областями определенности уже построенных коэффициентов асимптотики классического решения. Далее выписываются стандартные задачи на коэффициенты асимптотического ряда и доказывается их разрешимость. Последнему посвящены лемма 6 и утверждения 4, 5.

В шестом пункте второй главы доказывается пригодность построенной асимптотики специального решения. Приведена теорема 5 о существовании точного решения возмущенной задачи в некоторой области равномерно для некоторого интервала значений параметра возмущения и лемма 7 об оценке остатка.

Построению и обоснованию асимптотики границ волн разрежения, которые есть слабые разрывы исходного рассматриваемого обобщенного решения, посвящены седьмой и восьмой пункты второй главы. В седьмом пункте проведены формальные построения коэффициентов асимптотики. В восьмом пункте доказана лемма 8 о том, что положение слабого разрыва обобщенного решения возмущенной задачи в главном определяется линиями слабого разрыва обобщенного решения невозмущенной задачи.

В девятом и десятом пунктах второй главы проводится построение и обоснование асимптотики решения между волнами разрежения. Так как линии слабого разрыва есть характеристики исходной системы уравнений, то такая задача оказывается эквивалентной проблеме построения асимптотики классического решения. Сформулированы лемма 9 о существовании решения стандартной задачи на поправки, теорема G о существовании решения возмущенной задачи в области, равномерно по параметру возмущения, и лемма 10 об оценке остатка.

Исследованию ситуации с ударными волнами посвящена третья глава, в первом пункте которой приводится постановка задачи и основной результат третьей главы (теорема 7).

Во второй пункт вынесены необходимые для дальнейшей работы результаты предыдущей главы. Третий пункт посвящен построению асимптотики в случае, когда в решении предельной задачи образуется одна ударная волна. В этой ситуации приходится строить асимптотику непрерывного решения исходной системы уравнений в области, между линией ударного перехода и волной разрежения, и одновременно строить асимптотику положения самой линии ударного перехода. Построения проводятся по стандартной схеме, а именно, сначала определяется область, в которой будут строится коэффициенты асимптотического ряда. Доказано утверждение 6 о положении линии ударного перехода в предельной задаче. После этого выписаны стандартные задачи на коэффициенты, доказана лемма 11 об их разрешимости. Подробно рассмотрен автомодельный случай, показано, что в этом случае коэффициенты всех рядов строятся явным образом.

В четвертом пункте проводится обоснование построенной асимптотики. Доказана лемма 12 о границе области определенности коэффициентов асимптотики. Сформулирована теорема 8 о существовании решения возмущенной задачи в области, равномерно, но параметру. Доказана лемма 13 об оценке остатка.

Пятый пункт посвящен самому интересному случаю с двумя ударными волнами. Как обычно, сначала определяется область, в которой будут строится коэффициенты асимптотического ряда. Доказано утверждение 7 о том, что область эта перекрывается с областями определенности коэффициентов асимптотики классического решения. Далее выписана стандартная задача на коэфициенты асимптотики решения между ударными волнами и показано, что решение такой задачи сводится к решению функционального уравнения специального вида:

A{t)v{k (t)) + B (t)v (t) = C (t), где A (t), B{t), C (t) — известные непрерывные функции, k{t) — сжимающее отображение на промежутке (0,Т), v (t) — подлежащая определению функция. k (t). Доказаны леммы 14— 16 и утверждение 8 о разрешимости уравнений такого вида. Доказана лемма 17 о разрешимости стандартной задачи на поправки. Отметим, что такие уравнения возникали и изучались ранее в некоторых работах (см., например [12], [28]). Общей вид всех решений такого уравнения можно получить используя методы теории разностных уравнений, но конкретное решение, приведенное в диссертации оказывается достаточным, так как рассматриваются только специальные решения, непрерывные в точке t = 0. Показано, что условия непрерывности недостаточно для обеспечения единственности решения. Для обеспечения единственности приходится накладывать некоторые ограничения на коэффициенты уравнения. В формулировке леммы 17 такие ограничения приведены.

В шестом, и последнем пункте третьей главы найдены упрощенные условия (лемма 18) на законы сохранения исходной системы уравнений, достаточные для разрешимости стандартных задач на коэффициенты асимптотик в случае образования ударных волн. Указан класс систем уравнений, для которых эти достаточные условия выполнены. В указанный класс очевидным образом входит, например, система уравнений мелкой воды. Апробация работы.

Отдельные части дисссертации докладывались на: 1) Семинар В.Ю.

Ляпидевского и В. М. Тешукова, в Институте гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, 2003 г. 2) Семинар Института механики УфНЦ РАН, 2003 г.- 3) Семинар отдела дифференциальных уравнений Института математики с ВЦ УфНЦ РАН, 2003 г.- 4) Всероссийская школа-семинар «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГ0П — 2002), Снежинск, 5−12 июля 2002 г.- 5) Международная конференция «Асимптотики решений дифференциальных уравнений», Уфа, 26−30 мая 2002 г.- б) Всероссийская научная школа «Нелинейные волны — 2002», Нижний Новгород, 2−9 марта 2002 г.-7) 33-я Региональная молодежная конференция «Проблемы теоретической и прикладной математики», Екатеринбург, 28 января — 1 февраля 2002 г.- 8) XXIV Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 8−13 апреля 2002 г.-9) Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике, Уфа, 1−2 июня 2001 г.-10) Конференция, посвященная памяти академика А. Н. Тихонова, Обнинск, 15−19 мая 2000 г.- 11) Международный научный семинар-совещание «Методы функционального анализа и теории функций в различных задачах математической физики», Семинар профессора Р. С. Сакса, Уфа, 23−29 сентября 2000 г.- 12) Международная конференция «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы», Уфа, 28 мая — 1 июня 2000 г.- 13) Международная научная конференция «Дифференциальные и интегральные уравнения», Челябинск, 22−26 июня 1999 г.- Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [23]—[27].

1. Бабич В. М., Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. — М.: Наука, 1972. — 456 с.

2. Бабич В. М., Кирпичникова Н. Я. Метод пограничного слоя в задачах дифракции. JL: ЛГУ, 1974. — 124 с.

3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. — 503 с.

4. Галин Г. Я., Куликовский А. Г. «Об устойчивости течений, возникающих при распадении произвольного разрыва», ПММ, 1975, т.39 вып.1, 95−102.

5. Гельфанд И. М., Граев М. И., Ретах B.C., Общие гамма-функции, экспоненты и гипергеометрические функции. УМН, т.53, вып. 1(319), 1998 г. стр. 1−60.

6. Гельфанд И. М. Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений. УМН, 1959, т. XIV, 2(86), 87−158.

7. Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Гос. изд. тех.-теор. лит-ры, Моевка, 1950.

8. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М:. Наука, 1989.

9. Калякин Л. А. Возмущение сингулярного решения уравнения Лиувил-ля. ТМФ, 148, 3, 1996, С. 390−397.

10. Калякин JI.А. Возмущение решений с подвижными особыми точками. ТМФ, 127, № (2001), С. 401−410.

11. Козманов М. Ю. К задаче о распаде двумерного разрыва. Численые методы механики сплошной среды. Т.9, № 2, Новосибирск 1978, стр. 60−75.

12. Космодемьянский А. А. (мл.) «О волне Х.А. Рахматуллина», ДАН, 1977, 234, Ж, 1281−1283.

13. Куликовский А. Г., Свешникова Е. И. Нелинейные волны в упругих средах. М.:" Московский лицей", 1998.

14. Ляпидевский В. Ю. Тешуков В.М. Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск ИСОРАН 2000 г. 420.

15. Ляпидевский В. Ю. Корректность задачи Коши в целом для одного класса нелинейных гиперболических систем уравнений. Сб. «Динамика сплошной среды». Новосибирск, 1973, 15, 74−88.

16. Ляпидевский В. Ю. О непрерывной зависимости от начальных условий обобщенных решений уравнений газовой динамики. ЖВМ и МФ, 1974, 14, 4, 982−991.

17. Ляпидевский В. Ю. О классах корректности нелинейных гиперболических систем. ДАН СССР, 1975, 225, 3, 535−538.

18. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. М.: Наука, 1977.

19. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.:МГУ. 1965 г.

20. Моисеев Н. Н. Асимтотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981. 400 стр.

21. Найфэ А. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 455 с.

22. Олейник О. А. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. УМН, 14, 2 (86), 165−170.

23. Рассказов И. О. Возмущение ударной волны. ТМФ, т. 118, № 3, 1999 г. стр. 462−466.

24. Рассказов И. О. Слабые возмущения ударных волн. Труды межд. конф. Компл. анализ, дифф. ур-я и смеж. вопр., Уфа, 2000, стр. 129 134.

25. Рассказов И. О. Возмущение обобщенных решений уравнения Хопфа. Труды регион, шк.-конфер. для студ. асп. и мол. уч. но мат-ке и физ-ке, Уфа, 2001, стр. 179−184.

26. Рассказов И. О. Слабо возмущеная задача «о распаде разрыва» для системы двух уравнений. «Записки научных семинаров ПОМИ». Т. 285, 2002 г., стр. 194−206.

27. Rasskazov I.O. Asymptotics of Solutions of a Perturbed Problem on Decay of a Discontinuity, Proceedings of the Steklov Instituteof Mathematics, Suppl. l, 2003, pp. S168−183.

28. Рахматуллин X.A. О распространении волны разгрузки. ПММ, 1944.

29. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н., Системы квазилинейных уравнений., М., Наука, 1978, 688.

30. Рождественский Б. Л. Построение разрывных решений систем квазилинейных уравнений. Ч. I. ЖВМ и МФ, 1962, 2, 6, 1019−1043.

31. Рождественский Б. Л. Построение разрывных решений систем квазилинейных уравнений. II. ЖВМ и МФ, 1963, 3, 1, 79−98.

32. Рождественский Б. Л. Разрывные решения систем квазилинейных уравнений гиперболического типа, УМН, т. XV, вып. 6(96), стр. 59 117.

33. Тешуков В. М. Распад произвольного разрыва на криволинейной поверхности. ПМТФ, № 2, 1980, стр. 126−133.

34. Уизем Дж., Линейные и нелинейные волны, М., Мир, 1977, 622.

35. Федорюк М. В. Асимптотика: интегралы и ряды. М.: Наука, 1987;544с.

36. Jeffrey A., Kawahara Т. Asymptotic method in nonlinear wave theory. Pitman, Boston, 1982. 256 pp.

37. Lax P.D. Hyperbolic Systems of Conservation Laws II. Comm. on Pure and Appl. Math., vol. X, 537−566 (1957).

38. J. Yu and J. Kevorkian, The Interaction of a Strong Bore with Small Disturbances in Shallow Water. St. In Appl. Math. 91:247−273 (1994).