Асимптотическое поведение спектров краевых задач в областях с непериодическими концентрированными массами

Настоящая диссертация посвящена вопросам предельного поведения спектров краевых задач с быстро меняющимся типом граничных условий в областях с большим количеством концентрированных масс, расположенных непериодически вдоль границы области:

Задачи усреднения нередко возникают в теории упругости, гидродинамике, теории гетерогенных сред и композитных материалов, теории фильтрации, теории дисперсионных сред и других разделах физики и механики. Они состоят в том, чтобы построить модель среды, локальные свойства которой резко меняются, для этого удобнее перейти от микроскопического описания этой среды к макроскопическому, т. е. рассматривать усредненные характеристики такой среды.

Непосредственное численное решение большинства таких задач затруднительно даже на современном уровне развития ЭВМ, поскольку требуется построить разностную схему с очень мелкой сеткой. Усредненные уравнения позволяют с большой точностью определить эффективные характеристики первоначальной среды, что обеспечивается близостью решений соответствующих краевых задач для исходного и усредненного уравнений. Численное решение усредненной задачи существенно менее трудоемко, чем исходной. Систематическое изучение физических задач, приводящих к усреднению уравнений с частными производными, было начато в 70-х годах XX века. Отметим, что отдельные задачи усреднения рассматривались классиками естествознания Пуассоном, Максвеллом, Рэлеем еще в XIX веке.

В настоящее время теория усреднения представляет собой бурно развивающуюся область научных исследований, имеющую широкие приложения в физике и технике, развитие которой во многом определяется именно самими постановками физических задач. В книге [64] А. Бен-суссана, С. Л. Лионса и Дж. Папаниколау подведен итог обширных исследований по усреднению дифференциальных уравнений и систем с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами. Теория усреднения эллиптических и параболических операторов, систем теории упругости с периодическими, почти-периодическими и случайными коэффициентами была построена в работах В. В. Жикова, С. М. Козлова, О. А. Олейников их книге [30] приведена подробная библиография по вопросам усреднения и G— сходимости операторов. Вопрос усреднения решений краевых задач в перфорированных областях или областях с мелкозернистой границей впервые был подвергнут детальному исследованию в 60-е годы В. А. Марченко и Е. Я. Хрусловым (см. [36]). Метод двухмасштабных разложений для большого класса задач усреднения был впервые применен в работах Н. С. Бахвалова (см. [5],[6], а также [7]). Множество задач с сингулярными возмущениями также было изучено Э. Санчес — Паленсией (см. [100]). Вопросы усреднения собственных значений и собственных функций краевых задач для эллиптических уравнений и систем теории упругости в пористых и сильно неоднородных областях рассматривались в работах О: А. Олейник, Г. А. Иосифьяна и А. С. Шамаева (см. 48]).

Изучением различных колебательных систем с сильно неоднородной плотностью ранее занимались многие исследователи, поскольку широкий круг вопросов механики сплошной среды тесно связан с такими задачами.

Еще в 1913 году академик А. Н. Крылов в своей книге [33] рассматривает задачу о колебаниях струны, нагруженной сосредоточенными массами (подобная задача также изучена С. П. Тимошенко в [55]). Его результаты нашли широкое применение в механике, например, в книге показано как к этой задаче сводится теория индикатора паровой машины, крутильных колебаний вала с маховиком на конце, разного рода «дрожащих» клапанов и т. д. Много задач такого рода обязаны своим возникновением развитию самолетостроения. В [56] авторы отмечают, что изучение вопросов устойчивости вибраций крыльев летательных аппаратов сводится к задаче вычисления собственных частот колебаний балки переменного сечения, нагруженной сосредоточенными массами (моторами). Аналогичная задача также возникает при расчете колебаний антенн, нагруженных сосредоточенными емкостями и самоиндукциями.

В книге [15] Ф. Р. Гантмахера и М. Г. Крейна изучаются спектральные свойства одномерных колебательных систем — бесконечных струн и стержней. Авторы проводят анализ нагруженных интегральных операторов и исследуют поведение собственных частот.

Вначале авторы рассматривали предельное поведение задач при стремлении дополнительной массы М к нулю или бесконечности. Построенные модели, однако, обладали общим недостатком: закрепление дополнительной массы М предполагалось точечным, к плотности системы добавлялся член М6(х), где 6(х) обозначает 5 —функцию Дирака, т. е. не учитывались размеры того множества, где фактически была сосредоточена масса.

Исправить этот существенный недостаток удалось в конце 70-х годов французскому математику Э. Санчес — Паленсии (см. [100]). Методами возмущения спектра операторов он рассмотрел задачу, где присоединенная к системе масса была сконцентрирована в е —окрестности внутренней точки (емалый параметр, описывающий концентрацию массы).

Другой подход к подобным задачам был выработан академиком О. А. Олейник в серии своих работ [44 ] — [47], [91 ]. Обоснование модели Олейник — Санчес-Паленсии, а также анализ размерностей в задаче о спектральных свойствах колебательных систем с локальными присоединенными массами сделал Ю. Д. Головатый (см. [17]).

Из результатов, полученных Э. Санчес-Паленсией и О. А. Олейник, вытекает, что первые N собственных частот изученных ими колебательных систем можно сделать сколь угодно малыми, если присоединить относительно большую концентрированную массу, при этом несущественно, концентрируется ли масса во внутренней точке или концевой. Характер поведения собственных частот этих систем зависит от способа сосредоточения массы. Полученный эффект подтверждается экспериментально: «.. добавление присоединенной массы может привести к сильной локализации реакции, вызывая большое понижение основной частоты, а также существенное изменение формы колебаний» (см.

62]). Все это может быть использовано, например, для приложений в теории резонанса.

Опишем данную модель в наиболее общей постановке. Пусть колебания механической системы в области Q с JRd происходят по закону д2и д и{0,х) = и0(х), ^ ut (0,z) = щ (х),.

QU)(x, х) = 0, (t, х) ем+хдп, j = l,., l, ох где u (t, х) — смещение точки х 6 П относительно положения равновесия в момент времени t, Р, j = 1,., I — дифференциальные операторы, р (х) — плотность распределения масс, а функции щ{х), и (х) заданы.

Представляя решение (1) в виде u (t, x) — v (x) получим Q.

Р (х, —)v (x) + Л р (х) v (x) = 0, х е Q, дх' w (2) v (x) = 0, хедП, j = 1,., L их.

За неоднородность плотности колебательной системы отвечает функция р{х) = рп (х) + рв{х) хв где рп (х) > 0 в плотность колебательной системы, а плотность включений В (концентрированных масс) рв (х) > 0 в В, хв{%) — характеристическая функция множества В.

Введение

малого параметра возмущения задачи производится следующим образом. Естественно предполагать, что отношение объемов В и Г2 есть малый параметр е —> 0, а отношение средних значений плотностей — большой, т. е. mesB1) / pe (x)dx.

—. в—= т е м+: mesil) f рп (х) ах О.

Таким образом, ставится задача изучения влияния сосредоточенной массы на спектр колебательной системы при различных значениях параметра т.

Можно перечислить целый ряд результатов, полученных в рамках данной модели. Не претендуя на полноту, отметим некоторые из них.

• В [100] Э. Санчес — Паленсия рассмотрел эту задачу в случае, когда Р — оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле и d = т = 3. В работах О. А. Олейник и ее учеников [46] — [48] это сделано для всех mud.

• В [24] авторы исследовали случай одной концентрированной массы для Р = с граничным условием Дирихле и d = 1. В случае конечного числа концентрированных масс это работа была проделана О. А. Олейник и Т. С. Соболевой в [49].

• В работах Н. О. Бабича [1] — [4] изучена асимптотика собственных элементов задачи для стержня с одной концентрированной массой. В [2] рассматривается феномен глобальных колебаний для собственных функций с большими номерами с помощью техники ВКБ-разложений.

• В работе Ю. Д. Головатого и И. А. Головача [22] впервые дана полная двухмасштабная асимптотика глобальных колебаний струны с граничным условием Дирихле.

• Задача о колебаниях упругого стержня и упругой пластинки с концентрированными массами изучена в работах Ю. Д. Головатого [18] — [19], [69]i [70]. Эффект локальных колебаний систем с присоединенными массами изучен им в [21]. Другими методами подобные задачи были изучены в [73], [74].

• Колебания мембраны с концентрированной массой было различными методами рассмотрено в работах [75], [94], [95].

• Задача для бигармонического оператора с граничным условием Дирихле и плотностью, возмущенной в окрестности гладкой замкнутой кривой, лежащей внутри области, рассмотрена в [23]. Случай граничного условия Неймана был изучен в [34].

• В работах Ю. Д. Головатого и В. М. Флюда [16] и [71] найдено асимптотическое разложение решения уравнения колебаний струны со стандартным возмущением плотности при т < 2.

• Случай, когда Р — оператор Лапласа с граничными условиями Неймана разобран в [20]. Другими методами эта задача была рассмотрена С. А. Назаровым в [90], [40] в случае d = 3.

• В [51 ] Н. У. Рахманов исследовал первую и третью краевые задачи для оператора Лапласа (d > 2) в случае, когда плотность возмущена конечным числом концентрированных масс.

• Ю. Д. Головатым, С. А. Назаровым и О. А. Олейникв [25] и [26] были найдены асимптотические разложения собственных значений и собственных функций задачи Дирихле для оператора Лапласа.

• Случай, когда Р — оператор системы теории упругости, рассмотрен в [27], [96], [97].

В несколько другой постановке аналогичные задачи были рассмотрены в [94], [98], [99].

Следует заметить, однако, что сфера применения этой модели еще существенно ограничена, поскольку закон колебания груза или уплотнения не обязан описываться теми же уравнениями, которыми описываются колебания самой системы.

Значительное число работ было посвящено задачам с большим количеством периодически расположенных концентрированных масс, см. [57], [63], [72], [77] - [85]. В работе [57] также дается оценка скорости сходимости собственных значений такой задачи.

Задачи с концентрированными массами в областях с тонкими отростками, со стержнями и другими возмущениями были подробно изучены в работах Т. А. Мельника и С. А. Назарова [37] — [39], [86] — [89], а также [42].

К задачам с концентрированными массами на границе области тесно примыкают задачи с частой сменой граничных условий. Это краевые задачи в областях, некоторое подмножество границы которых состоит из большого числа непересекающихся частей, зависящих от одного или нескольких малых параметров. Как правило, при стремлении параметров к нулю расстояние между отдельными компонентами этого подмножества и мера каждой отдельной компоненты стремятся к нулю. На этом выделенном подмножестве ставится краевое условие одного типа, а на остальной части границы — другого, и рассматривается предельное поведение решений данной краевой задачи при стремлении малых параметров к нулю. Усреднению задач такого рода посвящено огромное количество работ. Вопросы построения асимптотических разложений решений и собственных элементов эллиптических задач с частой сменой граничных условий Дирихле, Неймана или третьего краевого условия изучены в[8] — [14], [61]. Случай, когда подмножество границы имеет периодическую либо локально-периодическую структуру изучен также в работах [60], [67], [68], [92], [93]. Непериодический случай рассмотрен в [9], [29], [58], [59], [66].

0.1 Обзор результатов, полученных для случая периодических концентрированных масс.

В виду схожести формулировок с темой настоящей диссертации подробнее рассмотрим результаты, которые получили испанские математики Miguel Lobo и Eugenia Perez, для случая концентрированных масс, расположенных периодически вдоль границы области (см. [77] — [85]).

Пусть Q — открытая область в М3, лежащая в полупространстве М3~ = {(xi, x2, ?3): хъ < 0}, с липшицевой границей Ш = ЕиГп, причем Е = дП П {х3 = 0} ф 0.

Пусть полушар В = {(yi, 2/2,2/3): У1+У2+ Уз < 1,2/з < 0} лежит во вспомогательном пространстве с координатами 2/1,2/2,2/3- Его граница дВ = ГиГ, где Т = {(2/1,2/2,0): 2/1+2/2 < !}• Обозначим В£ (Т£ и Ге соответственно) гомотетическое сжатие еВ (еТ и еГ) в пространстве с координатами ссг, ?3 и трансляции полученного вдоль плоскости {хз = 0} с центрами в точках x~k = (^77, &2?7,0), hi, t*2? iV. Оба параметра е и г1 считаем положительными, е < 77, ц — 77(e) —> 0 при е —> 0. Схематично область Q с элементами 5е представлена на Рис. 1.

Авторами изучено предельное поведение собственных значений следующей спектральной задачи:

— Ащ = р?(х) Хе ие в Q, 0 на Гп U UТе, ди£ di/.

3) 0 на Е (J Те, где функция р?(х) имеет следующий вид (см. Рис. 1): lBinuiF, ре{х)~ [е— в.

Рис. 1: Область Г2 с периодическими концентрированными массами В£.

В зависимости от поведения параметра т 6 М, отвечающего за плотность концентрированных масс, предельное поведение спектра данной краевой задачи существенно различается. Пусть г е, а = lim -7:. 0.

Случай 1. т < 2.

Имеет место следующий результат:

Теорема 1 В случае т < 2 существует подпоследовательность? k —> 0 такая, что для любого г \к —Ад, где Ад — собственные значения задачи.

А и = Ао и efi, где ц— некоторая константа ди и = 0 на Гц, — = цаи ov на Е, (4).

Следует отметить, что оценка в этом случае впервые получена в [57]. Случай 2. т > 2.

Рассмотрим локальную задачу в полупространстве М3~. Пусть Vх (у) = Нх (у) + W (y), где W (y) — решение вспомогательной задачиAyW = 0 в М3~;

W = 0 на ТdW dv 0 на 0/3 = 0}Т;

5).

W (y) -«. 1 при у оо, 2/з < 0, а Нх (у) — решение локальной задачи.

— АУН = АЯ + АЖв5- - ДУЯ = 0 в Mz~ Ви — if.

Н = 0 на Т- 0 на ГН (у) 0 при |г/| оо, у3 < 0- дн б) dv 0 на {Уз = 0}Т, и определим функцию F (А) следующим образом.

F (A) =.

1 =- / |vfa|2^+A/H2^,.

1 /Я-4(Г)ХЯ-4(Г) дзв где vy — единичный вектор внешней нормали к Г.

Предельная спектральная задача в этом случае в локальных координатах выглядит следующим образом: -АУН = ХНвВ- -АУН = 0 в М3~ ВдНЛ [н]= — =0 на ГН (у) — 0 при у оо, уъ < 0- (7) агт.

Н = 0 на Т- — = 0 на {у3 = 0}Т,.

Если Л° не является собственным значением задачи (7), то (F (A°), и0) должно быть собственным элементом следующей задачи ди.

Аи = 0 в (2. и = 0 на Гп, — = иаи на Е, (8) ov.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 2 В случае га > 2 существует подпоследовательность? k —> 0 такая, что для любого i Х? кг —> Ад при? k —> 0, где Ад — собственные значения задачи (7) или F{Ао) является собственным значением задачи (8).

Случай 3. т = 2.

В этом случае имеет место следующая теорема:

Теорема 3 1) Пусть, а > 0, тогда в случае т = 2 существует подпоследовательность £к —> 0 такая, что для любого i Xk —"• Aq при? k —> 0, где Aq — собственные значения задачи ди.

Аи = Ао и в fi, и — 0 на Гц, — — aF (Xo) и наИ, (9) ov либо локальной задачи (7).

2) Пусть, а = 0, тогда в случае т = 2 существует подпоследовательность е^ —> 0 такая, что для любого i A*fc —> Aq при? k —> 0, где Aq — собственные значения задачи ди.

— Аи = Х0и в Q, и = 0 на Гц, — = 0 на Е, (10) ov либо локальной задачи (7).

3) Пусть, а = +оо, тогда в случае т = 2 существует подпоследовательность? k —*¦ 0 такая, что для любого i Хг? к —> Aq при? k —> 0, где Aq — собственные значения задачи.

Au = Xqu в и = 0 на dd, (11) либо локальной задачи (7).

0.2 Краткая характеристика полученного результата и структура диссертации.

В настоящей диссертации рассматривается спектральная задача для оператора Лапласа и стационарной системы линейной теории упругости с непериодическими быстро меняющимися граничными условиями и большим количеством концентрированных масс около границы. Предполагается, что количество концентрированных масс растет логарифмически по отношению к малому параметру еотвечающему за диаметр концентрированных масс, при этом плотность включений равна е~т, т > 0.

Диссертация состоит из введения и двух глав, которые, в свою очередь, разбиты на 10 параграфов. В первой главе рассматривается задача для оператора Лапласа, во второй — для стационарной системы линейной теории упругости.

1. Бабич Н. О. Про ефект локальних власних коливань для одновим1рно? коливноГ системи четвертого порядку //Матер1али М1жнар. наук. конф. «Сучасш проблеми математики». — 4.1 — Чер-швщ — Киш. — 1998. -С.11−14.

2. Бабич Н. О. Короткохвильова асимптотика глобальних коливань у задач1 i3 локально-збуреною густиною //Мат. методи та ф1з.-мех. поля. 1999. -Т.42, ВЗ. — С.36−44.

3. Бабич Н. О. Глобальш коливания у систем! i3 локально-збуреною густиною //Матер1али VIII М1жнар. Наук. Конф. iM. акад. М. Кравчука. Киш. — 2000. -С. 17.

4. Бабич Н. О., Головатий Ю. Д. Спектральна задача Неймана для сингулярно збуреного дифференциального оператора четвертого порядку //BicH. Льв1 В. ун-ту, сер. мех. матем. — 1998. — Вип.51. — С. 118−127.

5. Бахвалов Н. С. Усредненные характеристики тел с периодической структурой //ДАН СССР, 1974, т. 218, № 5, с. 1046−1048.

6. Бахвалов Н. С. Усреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами //ДАН СССР, 1975, т. 221, № 3, с. 516−519.

7. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Москва, «Наука», Гл. ред.физ.-мат. литературы, 1984 г., 352 с.

8. Борисов Д. И. О сингулярно возмущенной краевой задаче длля Лапласиана //Дифференциальные уравнения. 2002. Т.38, № 8, С.1071−1078.

9. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий //Мат. сборник. 2002. Т. 193. Вып. 7., С.37−68.

10. Гадылыпин P.P. Асимптотики собственных значений краевой задачи с быстро осциллирующими граничными условиями //Дифференциальные уравнения. 1999. Т.35, № 4, С.540−551.

11. Гадылыпин P.P. О краевой задаче для Лапласиана с быстро осциллирующими граничными условиями //Доклады АН. 1998. Т.362. № 4, С.456−459.

12. Гадылыпин P.P., Чечкин Г. А. Краевая задача для Лапласиана с быстро меняющимся типом граничных условий в многомерной области //Сиб. мат. журнал. 1999. Т.40, № 2, С.271−287.

13. Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осцилляционные матрицы, ядра и малые колебания механических систем. М.-Л.: Гос. изд., 1950. -359 с.

14. Головатий Ю. Д., Флюд В. М. Про взаемодпо локальних та гло-бальних коливань сильно неоднорщно£ струни //Сучасш пробле-ми математики Матер1али М1жнар. наук, конф.: в 4-х частинах. -Чершвщ — Кшв. — 1998. -ч. 1. — С.138−141.

15. Головатый Ю. Д. Спектральные свойства колебательных систем с присоединенными массами. Дисс. канд. физ.-мат. наук, Москва, МГУ, 1988.

16. Гол оватый Ю. Д1 О собственных колебаниях и собственных частотах упругого стержня с присоединенной массой //УМН. 1988. т.43, N4, с. 173−174.

17. Гол оватый Ю.Д. О собственных колебаниях и собственных частотах закрепленной пластинки с присоединенной массой //УМН.1988. т.43, N5, с. 185−186.

18. Головатый Ю. Д. Спектральная задача Неймана с сингулярно возмущенной плотностью //УМН.1988. т.45, N4, с. 147−148.

19. Головатий Ю. Д., Лавренюк А. С. Про локальш власт коливання Е. Санчез-Паленси для пласгини i3 збуренням густини в окол1 од-новим1рного многовиду //BicH. Льв1 В. ун-ту, сер. мех. матем. -1998. — Вип.51. -С. 134−141.

20. Головатый Ю: Д., Назаров С. А., Олейник О. А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой //Сиб. мат. журнал. 1988. т.29, 5, с. 71−91.

21. Головатый Ю. Д., Назаров С. А., Олейник О. А. Асимптотика собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с сингулярным возмущением плотности //УМН. 1988. т.43. N5, с.189−190.

22. Головатый Ю. Д., Назаров С. А., Олейник О. А. Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций в задачах о колебаниях среды с концентрированными возмущениями //Труды Мат. Ин-та АН СССР. 1990. т. 192, с. 42−60.

23. Грабчак Г. б. Спектральна задача Неймана для ситеми piB-нянь л1н1йноГ теора пружност1 i3 сингулярним збуренням густини //BicH. Льв1 В. ун-ту, сер. мех. матем. — 1996. — Вип.45. — С. 124−140.

24. Доронина Е. И., Чечкин Г. А. О собственных колебаниях тела с большим количеством концентрированных масс, расположенных непериодически вдоль границы //Труды МИРАН им. В.А. Сте-клова. 2002. — т. 236. — с. 158−166.

25. Доронина Е. И., Чечкин Г. А. Об усреднении решений эллиптического уравнения второго порядка с непериодическими сильно меняющимися граничными условиями //Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика 1: 14−19, 2001.

26. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение дифференциальных операторов //Москва, Изд. «Физико-математическая литература». 1993. 462 с.

27. Иосида К. Функциональный анализ. Москва: Мир, 1967.

28. Кондратьев В. А. О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических уравнений //Труды московского математического общества 16, 1967: 293−318.

29. Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах //Известия Николаевской морской академии, вып.2, 1913, гл. 7, с. 325−348.

30. Лавренюк А. С. Сингулярно збурена спектральна задача для 6irap-мошчного оператора з умовами Неймана //Укр. мат. Ж. 1999. -Т.51, В1. — С.1467−1475.

31. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1964.

32. Марченко В. А., Хруслов В. Я. Краевые задачи в облястях с мелкозернистой границей. Киев. «Наукова думка», 1974. 279 с.

33. Мельник Т.A. Vibrations and pseudovibrations of thick periodic junctions with concentrated masses //Доповда HAH Украши 2001. -B.9 — C.47−53.

34. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотическая структура спектра в задаче о гармонических колебаниях ступицы с тяжелыми спицами //Докл. РАН -1993. Т. 133, В1. С.13−15.

35. Мельник Т. А., Назаров С. А. Асимптотический анализ задачи Неймана на соединении тела с тонкими тяжелыми стержнями //Алгебра и анализ 2000. Т.12, В2. — С.188−238.

36. Назаров С. А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана //Изв.вузов. Математика. 1989. N11, с.60−66.

37. Назаров С. А. Двучленная асимптотика решений спектральных задач с сингулярными возмущениями //Мат. сборник 1990. — Т.181, ВЗ. — С.291−320.

38. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями //Изв. АН СССР, сер. матем. 1984. — т. 48, № 2. — с.347−371.

39. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения с частными производными. М.: Наука, 1983.

40. Олейник О. А. Лекции по уравнениям с частными производными. М.: Изд-во МГУ, 1976.

41. Олейник О. А. О спектрах некоторых сингулярно возмущенных операторов //УМН, 1987, т. 42, 3, с. 221−222.

42. Олейник О. А. О собственных колебаниях тел с концентрированными массами. В кн. Современные проблемы прикладной математики и математической физики. М.: Наука, 1988, с.101−128.

43. Олейник О. А. О частотах собственных колебаний тел с концентрированными массами. В кн. Функциональные и численные методы математической физики. Киев, Наукова думка, 1988, с. 165−171.

44. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. Москва: МГУ, 1990.

45. Олейник О. А., Соболева Т. С. О собственных колебаниях неоднородной струны с конечным числом присоединенных масс //УМН.1988. т.43, N4, с. 187−188.

46. Перес М. Е., Чечкин Г. А., Яблокова (Доронина) Е. И. О собственных колебаниях тела с лёгкими концентрированными массами на поверхности //УМН.- 2002. т. 57, вып. 6. с. 195−196.

47. Рахманов Н. У. О собственных колебаниях систем с концентрированными массами. Дисс. канд. физ.-мат. наук, Москва, МГУ, 1991.

48. Соболев С. Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обощенных функций //АН СССР. Отделение Математики. М: Наука, 1989, 253 с.

49. Тимошенко С. П. Прочность и колебания элементов конструкций. К.: Наукова думка, 1972.

50. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972, с.147−154.

51. Чечкин Г. А. О колебаниях тел с концентрированными массами, расположенными на границе //УМН. 1995. — т.50, N0 4. — с. 105 -106.

52. Чечкин Г. А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка с осциллирующими граничными условиями //Неклассические дифференциальные уравнения в частных производных. Новосибирск.-!988 г.:ИМ СОАН СССР, — с.95−104.

53. Чечкин Г. А. Спектральные свойства эллиптической задачи с быстро осциллирующими граничными условиями //Краевые задачи для неклассических уравнений в частных производных.- Новосибирск.: ИМ СОАН СССР, 1989. с. 197 — 200.

54. Чечкин Г. А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий //Мат. сборник. -1993 r.-t.184,N6, — с.99−150.

55. Чечкин Г. А. Асимптотическое разложение решения краевой задачи с быстро меняющимся типом граничных условий //Труды семини-ра им. И. Г. Петровкого.- 1996. т. 19. с. 323 337.

56. Христенко А. С. Колебания непологих оболочек, загруженных распределенными и сосредоточенными массами //Изв. АН ССР сер. Мех. тв. тела. 1972. — В4. — С. 166−122.

57. Brillard A., Lobo M., Perez E. Homogeneisation de frontieres parepi-convergence en elasticite lineaire. MMAN 24 (1, 1990): 5−26.

58. Bensoussan A., Lions S.L., Papanicolau G. Asymptotic analysis for peiodic structures //Amsterdam: North Holland, 1978.

59. Chechkin G.A., Perez M.E., Yablokova E.I. On eigenvibrations of a body with many concentrated masses located nonperiodically along the boundary //Departamento de matematicas, estadzstica у computation, Universidad de Cantabria, Шт. 1 /2002, Abril 2002.

60. Golovatyi Yu. D. On WKB-approximation of high frequency vibrations of a singular perturbated string //Proc. of Int. Conf. «Nonlinear partial differential equations». Kiev, Augest 26−30. IX. 1997. P. 62.

61. Golovatyi Yu. D., Lavrenyuk A.S. Asymptotic expantions of local eigenvibrations for a plate with density perturbated in neighbourhood of one-dimensional manifold //Matematychni Studii. -2000. V.13. -P.51−62.

62. Golovatyi Yu. D., Fluid V. On interaction of lacal and global proper vibrations for a composite string //Material у z XXIV Ogo Inopolskej Konferencji Zastosovan Matematyki. Zakopane — Kos cielisko. — 1997. -S.26.

63. Gomez D., Lobo M., Perez E. On the Eigenfunctions Associated with the High Frequencies in Systems with a Concentrated Mass. J. Math. Pures Appl Serie IX 78 (8, 1999): 841−865.

64. Gomez D., Lobo M., Perez E. On a vibrating plate with concenttrated mass //C.R: Acad. Sci. 2000. — T. 328, Serie II b. — P. 494−500.

65. Hansen S., Zuazua E. Exact controllability and stabilization of a vibrating string with an interior point mass //SIAM J. on Control and Optimization. 1995. -V.33, B.5 — P. 1357- 1391.

66. Leal C., Sanchez-Hubert J. Perturbation of the Eigenvalue of a Membrane with a Concentrated Mass. Quarterly Appl. Math. XLVII (1, 1989): 93−103.

67. Lions J.L., Sanchez-Palencia Ё. Sensitivity of certain constrained systems and application to shell theory //J. Math. Pures Appl. 2000. — 79, 8 — P.821−838.

68. M. Lobo, E.Perez. Asymptotic behavior of an elastic body with a surface having small stuck regions //MMAN 22 (4, 1988): 609−624.

69. M. Lobo, E.Perez. Asymptotic Behavior of the Vibrations of a Body Having Many Concentrated Masses Near the Boundary. C. J1?. Acad. Sci. Paris. Serie II. 314 (1992): 13−18.

70. M. Lobo, E.Perez. On Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary. Math. Models and Methods in Appl. Sci. 3 (2, 1993): 249−273.

71. Lobo M., Perez E. Vibrations of a Body With Many Concentrated Masses Near the Boundary: High Frequency Vibrations. In Spectral Analysis of Complex Structures. Paris: Hermann, 1995: 85−101.

72. Lobo M., Perez E. Vibrations of a Membrane With Many Concentrated Masses Near the Boundary. Math. Models and Methods in Appl. Sci. 5 (5, 1995): 565−585.

73. Lobo M., Perez E. High Frequency Vibrations in a Stiff Problem. Math. Models and Methods in Appl. Sci. 7 (2, 1997): 291−311.

74. Lobo M., Perez E. A Skin Effect in the Homogenization of Systems with Many Concentrated Masses. Preprint of Departamento de matematica, estadistica у computation. No 1/99. Santander: Servicio de publicaciones de Universidad de Cantabria, May 1999.

75. Mel’nyk T.A. On free vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses //Нелшшш коливания. 1999. — Т. З, B4. — С. 511−523.

76. Mel’nyk Т.A. Vibrations of a thick periodic junction with concentrated masses //Math. Models Methods Appl. Sci. 11 2001. no.6 — P.1001−1027.

77. Mel’nyk T.A. Spectral problems in a periodic thick multi-structure with concentrated masses //Int. Conf. on Diff. Equations. Berlin 1999, Vol. 1. World Scietific, 2000. — P.454−456.

78. Mel’nyk T.A. Decomposing vibrations of thick periodic junctions with concentrated masses //Proc. of the International Workshpo on «Asymptotic and Numerical Analysis of Structures and of Heterogeneous Media», Saint-Peterburg, June 26−30, 2000. P. 4246.

79. Nazarov S.A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions //Math. Model. Numer. Anal. 1993. — V.27, B.6 — p.777−799.

80. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity. Spectrum of singularly perturbed operators. //In: Non classical continuum mechanics., -1987. Lecture Notes series. 122, — Cambridge University Press. — p. 188−205.

81. Oleinik O.A. Homogenization problems in elasticity spectra of singularity perturbed operators //R.J. Knops and A.A. Lacey ed., Cambridge University Press, 1987. p. 80−95.

82. Oleinik O.A., Chechkin G.A. Solutions and Eigenvalues of the Boundary Value Problems with Rapidly Alternating Boundary Conditions for the System of Elasticity. Rendiconti Lincei: Mathematica e Applicazioni. Serie IX 7 (1, 1996): 5−15.

83. Oleinik О.A., Sanchez-Hubert J., Yosifian G.A. On Vibration of Membrane with Concentrated Masses. Bulletin des sciences mathematiques. Serie II 115 (1,1991): 1−27.

84. Rybalko V. Vibrations of elastic sysytem with large number of tiny heavy inclusions //Asymptotic Analysis. 2002. — V. 32, № 1. — P. 27−62.

85. Sanchez-Palencia Ё., Tchatat H. Vibration de systemes elastiques avec masses concentrees. Rendiconti del Seminario matematico della Universita e politecnico di Torino 42 (3, 1984): 43−63.

86. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia Ё. Vibration and Coupling of Continuous System. Asymptotic Methods. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1989.

87. Sanchez-Hubert J. Perturbation des valeurs propres pour des systemes avec masse concentree. C.R. Acad. Scien. Paris. Serie II 309 (6, 1989): 507−510.

88. Sanchez-Palencia Ё. Perturbation of Eigenvalues in Thermoelasticity and Vibration of System with Concentrated Masses. In Trends and Application of Pure Math, to Mechanics. Lecture Notes in Phisics, 195. Berlin: Springer-Verlag, 1984, 346−368.