Метод одновременного решения (Ньютона — Рафсона) системы уравнений MESH

По этому методу система 7V (2C+1) уравнений MESH (3.10)—(3.13) одновременно решается с помощью метода Ньютона-Рафсона (или его модификации). Его преимуществом являются большая скорость сходимости и квадратичная точность.

Рис. 3.9. Блок-схема алгоритма расчёта ректификационной колонны по методу 2N-HbioTOHa.

В системе (3.10) — (3.13), если отвод теплоты Q_t и его подвод Qs не известны, то уравнения теплового баланса Я/, H_N заменяются альтернативными функциями (табл. 3.5).

Это означает, что метод Ньютона-Рафсона обладает большой гибкостью (можно решить задачи с разными исходными данными).

Для получения Якобиана с минимальной полосой заполнения уравнения для каждой ступени контакта можно упорядочить функции и переменные в следующей последовательности:

где.

Табл. 3.5. Альтернативные функции для Я|, Я*.

При этом система уравнений для коррекции значения X имеет вид:

или.

матрицы с размером (201) х (2С+1); J — Якобиан (определитель частных производных элементов матрицы Якоби функций Fj от переменных Xj).

Поправка ДХ*⁺¹к значениям переменных на к-й итерации Х^к для получения новых значений переменных Л'**¹ на (А+1)-й итерации:

где г — демпфирующий фактор, который изменяется от 0 до 1.

Матрицу Якоби можно вычислить аналитически или численным методом. Аналитический метод имеет высокую точность, однако его недостатком является сложность и для каждой термодинамической модели необходимы разные формулы для определения элементов матрицы Якоби. Численный метод универсален и его можно использовать для любых термодинамических моделей. Выражение для элементов матрицы Якоби имеет вид:

где Gj j — элементы матрицы Якоби; f — /-я функция системы; hj = 0,001 JCy .

При коррекции переменных возможно появление отрицательных значений. Для их преодоления можно использовать следующее выражение:

Систему уравнений (3.44) можно решить с помощью метода Томаса [50].

Алгоритм метода Томаса включает 5 шагов:

1) Расчёт начинается с первой тарелки:

Ci Ci, F_x <�— F и B <�—1 (унитарная матрица). Толь ко матрица Ci и вектор fj сохраняются;

2) Для j-u тарелки (2 < N — 1):

Cj 4-(Bj- AjCy-i) Су, f)"-(Bj — AjСу-1) (Fj - AjFj__x). Тогда Aj 4−0 и Bj 4−1. Cj и вектор Fj сохраняются для каждой тарелки;

Ъ) Для N-u тарелки:

В формуле (3.47) демпфирующий фактор г выбирается так, чтобы выполнялось неравенство:

где ||^^Г(^*⁺^)|' ||^⁷(*^)1 ~ нормы вектора функций на двух последовательных итерациях.

Методика нахождения демпфирующего фактора г Задаётся начальное значение г и вычисляется значение от-нормы функций: Ц/⁷!! = max|/*)| в предыдущей и новой точках. Если.

I.

||/г (*⁺0|_<||^г (*)|^ _то переходим к следующей итерации. В противном случае необходимо подбирать оптимальное значение демпфирующего фактора г, которое минимизировало бы w-норму вектор-функции на отрезке, соединяющем старое и новое приближения корней. Так, если коррекции слишком велики, используется следующая последовательность значений демпфирующего фактора: г= 1, — —zr «0,9766.10"^.

2 2^и

По другой методике значения г делятся на 20 интервалов (равных): г = 0,05; 0,10;…; 0,95; 1,0. Оценивается целевая функция при каждом значении г и выбирается оптимальный демпфирующий фактор, который минимизирует целевую функцию (3.50).

Кроме метода Томаса, представленного выше, можно использовать метод Гаусса для нахождения обратной матрицы Якоби J При этом методе память используется не экономично, а время расчёта резко увеличивается. Для преодоления этого недостатка можно использовать метод Брейдена. Его преимущество заключается в том, что требуется рассчитывать матрицу Якоби только один раз и при этом быстро находится оптимальное значение демпфирующего фактора т.

Алгоритм метода Бройдена включает 6 пунктов:

1) Инициализация переменных А'⁽⁰⁾ и расчет значения уравнений:

2) Аппроксимация значения матрицы Н^, где Н= -Jq^X; J₀ —

матрица Якоби, элементы которой определяются по формуле (3.48);

• 3) Определение значения ДА'*** = ;
• 4) Определение демпфирующего коэффициента s_k для удовлетворения неравенства:

Для этого проводится следующее испытание: сначала принимается s_k = 1, потом проверяется данное неравенство. Если неравенство выполняется, то определяется значение переменных на новой итерации. В противном случае используется формула Бройдена:

5) Расчёт значения новой итерации +s_kAX^ и определение.

6) Возврат к пункту 3.

Условие сходимости метода Ньютона-Рафсона (или его модификации) при решении системы уравнений MESH:

где е = 10 *⁰.

Блок-схема алгоритма метода Ньютона-Рафсона показана на рис. 3.10.