Парадоксы теории вероятности

Основные трактовки вероятности

Вероятностью называется численная мера возможности наступления некоторого события (или оценки такой возможности). Классическое определение подобной меры восходит к знаменитому Пьеру Лапласу и гласит: «Вероятность события есть дробь, числитель которой есть число всех благоприятных случаев (и)^[1], а знаменатель — число всех равновозможных случаев (ш)».

Пьер Лаплас (1749−1827).

Рассчитывать (определять) вероятность можно различными способами. Определение Лапласа относится к априорной вероятности в смысле математического ожидания. Вероятность здесь трактуется как отношение. Так, из этого определения логически следует, что вероятность одновременно выбросить две шестерки на двух игральных костях равна 1/36, так как всего существует 36 различных сочетаний результатов бросков первой и второй кости (1—2, 4—3, 6—1,1—6 и т. д.), а нас устраивает только один (6—6). Но это отнюдь не значит, что, реально бросив две кости, скажем, 216 раз, мы столкнемся со случаем двух шестерок ровно 6 раз. Если я_эмп — число реальных благоприятных исходов, а т_эмп — общее число реальных случаев, то дробь п_эми/т_эми покажет эмпирическую вероятность. Вероятность здесь трактуется как частота появления случайного события при достаточно длительных наблюдениях. Эту вероятность называют еще физической, или алеаторной (от лат. alea — игральная кость). Специальный закон теории вероятности (так называемый закон больших чисел) утверждает, что чем больше т_ЭМП, тем дробь п_эмп/т_эмп ближе к п/т. Вполне может так оказаться, что на 216 бросков двух костей пара шестерок выпадет 3 или 10 раз. Но если бросить две кости, скажем, 363 636 раз, то приближение к априорному математическому предсказанию (10 101 раз) будет достаточно существенным. Теория вероятности много раз проверялась на практике, и мы можем уверенно утверждать, что при большом числе испытаний случайные события действительно упорядочиваются определенным образом (скажем, относительный разброс между равновероятными исходами неограниченно стремится к нулю, а эмпирическая, частотная вероятность — к априорной). Иными словами, подчиняются необходимым законам. Такие законы по характеру их действия стали называть статистическими. Их принципиальное отличие от законов классической науки — так называемых динамических — состоит в том, что они позволяют предсказывать поведение коллективов объектов, притом что совершенно ничего не могут сказать о поведении отдельных элементов этих коллективов (как динамические законы вроде законов Ньютона). Скажем, результат бросания каждой кости или распад конкретного радиоактивного атома абсолютно случаен, но когда мы имеем дело с массовыми подобными случаями, появляется необходимость — шестерка выпадает действительно примерно в 1/6 случаев, за фиксированное время — период полураспада (конкретный для каждого радиоактивного изотопа) — распадается действительно примерно половина имеющихся атомов радиоактивного вещества и т. д. Природа этого перехода от случайности к закономерности чрезвычайно интересна как с логической, гак и с философской точки зрения. В XX в. усилиями титанов мировой науки выяснилось, что на фундаментальном, квантовом уровне реальности «работают» как раз статистические закономерности, содержащие в себе много парадоксов. Оказалось, что в картину мира, построенную в полном соответствии с принципом детерминизма (всеобщей обусловленности вещей, явлений и событий), приходится допускать абсолютную случайность. Но таким тонким диалектическим образом, что нельзя утверждать, будто индетерминизм одержал полную победу. Оказалось, что квантовые объекты с определенной точки зрения могут одновременно находиться в двух местах или быть в двух противоположных состояниях. Но макрообъекты вроде теннисного мяча не могут находиться одновременно в двух разных точках пространства, а макрообъекты вроде кошки не могут быть одновременно живыми и мертвыми. Применение аппарата теории вероятности к изучению структуры нашего мира потрясло самые устои нашей его картины. И до сих пор среди ученых продолжаются споры о «загадке теории вероятности», «о природе индетерминизма», о том, «играет ли Бог в кости?» (знаменитый вопрос А. Эйнштейна) и т. д. Поэтому важность знания основ этой дисциплины (теории вероятности) в XXI в. не вызывает никаких сомнений.

Можно выделить и другой вариант «объективизма» в подходе к понятию вероятности. «Гипотеза „склонности (предрасположенности)“ утверждает, что вероятность представляет собой предрасположенность или тенденцию Природы, стремящейся выдать частный результат при единственном испытании, причем отсутствует обязательная ассоциация с большой частотой испытаний. Важно отметить, что эта „склонность“ предполагается объективно существующей, пусть даже только в метафизической области»¹. Предрасположенности, таким образом, — это не частоты, а подразумеваемые причины наблюдаемых устойчивых относительных частот. Они призваны, чтобы объяснить, почему повторение эксперимента данного вида порождает данный исход с постоянным уровнем ставки. Выдвижение идеи предрасположенности было мотивировано также желанием придать смысл приписыванию вероятности отдельному случаю в квантовой механике — типа вероятности распада конкретного атома в конкретное время². Наиболее известным сторонником теории предрасположенности был знаменитый методолог Карл Поппер.

штавляет" рациональную веру принимать одни ге же числовые значения. Дэвид Лыоис назвал (1902;1994).

) «Основным принципом». Например, предпо- —.

• 1 URL: http://ru.science.wikia.com/wiki/Cy6beKTHBHaH_isepcwTHOCTb_ (обзор).
• 2 URL: http://ru.science.wikia.com/wiki/HHTepnperauHH вероятности.

Относительно роли физической вероятности в науке стоит отметить, что центральная особенность возможности {шанса) состоит в том, что она «заставляет» рациональную веру принимать одни и те же числовые значения. Дэвид Лыоис назвал это «Основным принципом». Например, предположим, Вы уверены, что имеющая специфические отклонения от симметрии монета обладает предрасположенностью 0,32, чтобы выпадать «орлом» каждый раз, когда брошена. Что тогда служит правильной ценой за азартную игру, в которой платят 1 долл., если монета выпадает «орлом», и ничего, если решкой? Согласно «Основному принципу», справедливая цена — 32 цента¹.

У описанных объективистских подходов к расчету вероятности, согласно которым вероятность есть нечто, существующее в классическом смысле реально, объективно, имеются альтернативы, по поводу которых, впрочем, в научном сообществе до сих пор пет единого мнения.

Критики объективистского подхода в теории вероятности утверждают, что случайность не является объективно измеримым феноменом, а скорее феноменом знания (точнее, незнания нами всех условий эксперимента). Таким образом, вероятность превращается здесь из оптологической в гносеологическую проблему. «Вероятность — действительно мера недостатка знаний относительно условий, которые могли бы влиять на результат, скажем, при подбрасывании монеты. Таким образом, вероятность просто представляет наши убеждения (выделено мной. — К. М.) относительно исхода эксперимента. Если рассмотрение реальности существования вероятности доведено до логического завершения, то окажется, что „в действительности“ не имеется никакой вероятности вообще (выделено мной. — К. М.), но есть только определенность, если знание является полным»^[2][3]. Так понятую вероятность называют еще свидетельской, или субъективной. Существуют различные версии (трактовки) субъективной вероятности.

Джон М. Кейнс (1883−1946).

Знаменитый экономист Дж. М. Кейнс считается главным представителем «релятивистского крыла» («логического») «гносеологистов» в трактовке вероятности. «Кейнс постулировал „объективное“ (хотя и не обязательно измеримое) соотношение между знанием и вероятностью, которая дедуцирована из знания. Согласно ему, в смысле, важном для логики, вероятность не субъективна» (в смысле субъективного произвола, так что здесь пет противоречия)^[4]. Наше знание определяется фактами, а «вероятность или невероятность для этих обстоятельств установлена обг^ективно и не зависит от нашего мнения». «Логические вероятности задуманы, чтобы быть объективными, логическими отношениями между суждениями (или предложениями), и, следовательно, никогда не зависят от веры»^[5].

Уже знакомый нам Ф. Рамсей в 1931 г. первым выдвинул идею об использовании понятия субъективной уверенности для определения вероятности. «Предпринимались попытки формального определения интуитивного понятия „степени уверенности“. Наиболее общее определение основано на пари: степень уверенности отражается величиной ставки, которую человек готов поставить на то, что суждение истинно» {"Википедия"). Если для релятивистов знание не персонифицировано, то для Рамсея (т.е. для «субъективистского крыла» «гносеологистов») знание — это персональное убеждение, управляющее вероятностями.

«Субъективная природа назначенной вероятности может быть прояснена при рассмотрении такой задачи, как гонки на лошадях. В этом случае большинство зрителей имеют более или менее одинаковый дефицит знаний относительно лошадей, трассы, жокеев и г. д. Однако, владея одинаковыми „знаниями“ (или испытывая их недостаток), различные люди делают различные ставки на фаворитов. Основная идея Рамсея и его последователя Финетти состоит в том, что, наблюдая за ставками, можно предположить, что они отражают персональные убеждения зрителей относительно результатов гонки. Таким образом, в соответствии с аргументацией Рамсея — Финетти, субъективные вероятности могут быть выведены из наблюдения за действиями игроков. В сущности, подход Рамсея — Финетти может быть охарактеризован как подход „выявленных убеждений“»¹. Подход Рамсея называют еще познавательной (epistemic), или индуктивной, интерпретацией^[6][7]. Рамсей, таким образом, полагал, что «познавательные вероятности — просто степени рациональной веры, вместо того чтобы быть логическими отношениями (как в подходе Кейнса — Карнапа. — К. М.), которые всего лишь ограничивают степени рациональной веры»^[4]. Интересно сравнить «логический» и «познавательный» подходы в гносеологическом направлении по их трактовке уникальности свидетельской вероятности относительно данного состояния знания. «Рудольф Карнап, например, придерживался мнения, что логические принципы всегда определяют уникальную логическую вероятность для любого утверждения заявления относительно любого набора данных. Рамсей, в отличие от этого, полагал, что рациональные люди могут отличаться несколько по их степеням веры, даже если они все располагают той же самой информацией»^[4].

Томас Байес (1702−1761).

Субъективную вероятность рассматривают как разновидность так называемой байесовской интерпретации вероятности. Теорема Байеса (одна из основных теорем элементарной теории вероятностей) позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных подтверждений (данных), которые могут быть неточны. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учетом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятной причина оказалась с учетом данных о событии). «Разница между байесовской и частотной интерпретациями играет важную роль в практической статистике. Например, при сравнении двух гипотез на одних и тех же данных теория проверки статистических гипотез, основанная на частотной интерпретации, позволяет отвергать или не отвергать модели-гипотезы. При этом адекватная модель может быть отвергнута из-за того, что на этих данных кажется адекватнее другая модель. Байесовские методы, напротив, в зависимости от входных данных выдают апостериорную вероятность быть адекватной для каждой из моделей-гипотез» {"Википедия"). Байесианцы утверждают, что вопрос о причинах того или иного события не имеет однозначного ответа на существующей стадии знания, если: 1) он таков, что рассудительные люди могут выдвинуть другую правдоподобную причину события и 2) данные таковы, что не отвергают правдоподобие этой другой причины.

• [1] То есть число случаев наступления интересующего нас события.
• [2] URL: http://ru.science.wikia.com/wiki/LIiiTepiipeTaunH вероятности.
• [3] URL: http://ru.science.wikia.com/wiki/Cy6beKTHBHaa_Bep ()HTHocTb_ (обзор).
• [4] Там же.
• [5] URL: http^/ru.science.wikia.com/wiki/kliiTepnpeTaHHH вероятности.
• [6] URL: http://ru.science.wikia.com/wiki/Cy6beKTHBiiaH_BepoHTiiocTb_ (обзор).
• [7] URL: http://ru.science.wikia.com/wiki/MHTepnpeTanHH вероятности.
• [8] Там же.
• [9] Там же.