Основные задачи динамики материальной точки

Рассмотрим движение свободной материальной точки массой m под действием силы F в инерциальной системе отсчета. Если на точку действуют несколько сил, то будем считать F их равнодействующей (см. аксиому 4).

Согласно аксиоме 2 в каждый момент времени выполняется векторное равенство (9.1), проецируя которое на декартовы оси, получим три скалярных уравнения:

где x{t), y (t), z{t) — текущие координаты точки; F_x> F_y, F_z — проекции силы F на декартовы оси.

или Уравнения (9.3) называют дифференциальными уравнениями динамики точки в декартовых координатах. Эти уравнения выражают связь между действующей силой F и движением точки.

Среди множества разнообразных задач динамики материальной точки следует выделить два основных класса задач.

Первая (обратная) задача динамики. По известной массе т и заданному движению материальной точки требуется определить действующую на эту точку силу.

Если движение точки задано в координатной форме, например, уравнениями х у = /₂(/), z. = то после подстановки этих функций в уравнения (9.3) получаем решение обратной задачи в виде:

Если движение точки задано в естественной форме, т. е. известна траектория и зависимость s = f (t) дуговой координаты точки от времени, то для нахождения силы F следует проецировать (9.1) на естественные оси (касательную — г, главную нормаль — п, бинормаль — Ь):

Отсюда, используя известные из кинематики выражения для касательного и нормального ускорений а_Т = s, а" = s²/р, получим решение задачи в виде:

Рис. 9.2.

Пример 1. Уравнения движения материальной точки массой m = 2 кг в инерциальной системе отсчета имеют вид.

где х, у — в м, /-вс.

Найти величину и направление равнодействующей всех сил, приложенных к этой точке. Решение. Находим проекции равнодействующей F с помощью (9.4):

Величина равнодействующей F = v 80² sin ² 4t + 80² cos² 4/ =80 H. Сравнивая (9.5) и (9.6), заметим, что F_v=-16.v, F_v=-16>', т. е.

вектор F направлен противоположно радиус-вектору материальной точки в начало координат (рис. 9.2).

Вторая (прямая) задача динамики. По известной массе т, начальным условиям движения точки и заданной силе F, действующей на точку, требуется определить закон движения этой точки.

Под начальными условиями здесь понимаются положение и скорость точки, заданные для некоторого «начального» момента времени / = /₀ (обычно принимают г₀ ⁼ 0). При координатном описании движения это означает, что задаются шесть величин — три координаты и три проекции вектора скорости на координатные оси:

где х₀, уо, Zo, *₀ ' У о ' «заданные числа.

Решением такой задачи являются кинематические уравнения движения точки.

Для нахождения решения (9.8) требуется проинтегрировать систему обыкновенных дифференциальных уравнений (9.3) с учетом начальных условий (9.7). Суммарный порядок системы (9.3) равен шести. Поэтому ее общее решение содержит шесть произвольных постоянных, т. е. имеет вид:

Значения постоянных С_ь …, С₆ находят с помощью шести начальных условий (9.7).

В математике задачу интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями называют задачей Коши. Установлено, что такая задача имеет единственное решение, если правые части уравнений (9.3) — непрерывные функции времени г, а также имеют непрерывные производные по каждой из координат х, y₉z и скоростей х, у> z .

Пример 2. Материальная точка массой т = 1 кг начинает движение в момент времени t = 0 из положения Л/₀ (0, 0, 20) м с начальной скоростью v₀ (1,0, 0) м/с под действием силы F = 2i + (6-f)j — 10k Н.

Найти положение и скорость точки в момент времени t = 2 с.

Решение. Уравнения динамики (9.3) для рассматриваемой материальной точки принимают вид.

Интегрируя дважды обе части каждого из этих уравнений, получаем

Согласно условиям задачи начальные условия (9.7) имеют вид:

Подставляя в левые части (9.11) выражения (9.10), получим шесть уравнений:

из которых находим все постоянные интегрирования:

Уравнения движения точки принимают вид:

а выражения для проекций скорости точки на оси координат:

Координаты и скорость точки в момент времени t — 2 с находим из (9.12) и (9.13):

Итак, через 2 с после начала движения точка находится в положении Mi (6; 11,67; 0) м и движется со скоростью v (5, 10, -20) м/с.