Вывод фундаментальных характеристик световода

Согласно известному закону Снелля, на границе воздух-сердцевина, угол падения луча 0_а в воздухе соответствует углу падения луча 0_с в сердцевине через отношение 1 • sin 0_а = п_] ? sin 0_с, из которого следует [6, 7]:

Синус угла падения луча из менее оптически плотной среды в более оптически плотную равняется числовой апертуре волокна NA:

Величина Д, называемая относительной разностью показателей преломления, определяется как.

Угол 0_а = arcsin NA еще называется углом приема волокна. Данный угол определяет конус внешних лучей, которые распространяются волокном. Лучи, падающие при углах больших, чем 0_а, преломляются в волокно, но распространяются только на небольшое расстояние. Числовая апертура, следовательно, является светособирающим свойством волокна. Когда распространяющиеся лучи достигают конца волокна, на выходе они преломляются в конус с углом при вершине 0_а. Таким образом, угол приема излучения волокном является важным параметром для разработки систем собирания и испускания излучения в волокне. Углы 0_а и 0_с обычно имеют очень малые значения.

Относительная разность показателей преломления, допустимый угол ввода и числовая апертура, — это фундаментальные величины, которые характеризуют оптические свойства световодов.

Нормализованная частота (V) является важным параметром волокна, определяющим число мод волокна и их константы распространения. Далее рассмотрим вывод уравнения для расчета нормализованной частоты (уравнение 5.13).

Используя электромагнитную теорию, можно рассмотреть распространение монохроматического света в ступенчатых волокнах (т. е. в волокнах со ступенчатым профилем показателя преломления). Целью такого подхода является определение электрического и магнитного полей распространяющихся волн, удовлетворяющих уравнениям Максвелла, и граничных условий, налагаемых цилиндрической формой диэлектрической сердцевины и оболочки. Существуют определенные решения, которые называются модами, каждая из которых имеет особую константу распространения, характерное распределение полей в поперечной плоскости и два независимых состояния поляризации.

Уравнение Гельмгольца в цилиндрической системе координат записывается:

где U = U (r, ф, z) является комплексной амплитудой, п = п_л в сердцевине (г < а) и п = п₂ в оболочке (г > а), а также /с_(| = 2п/Х₀. Здесь и далее а — радиус сердцевины волокна, к_п — волновое число в вакууме, — длина волны в вакууме.

Подставляя.

где (3 — константа распространения и 1 — целое число, в уравнение (5.4), обыкновенное дифференциальное уравнение для и (г) запишется как:

Заменяя в уравнении (5.6):

и получаем.

Уравнения (5.9) и (5.10) являются известными дифференциальными уравнениями, решением которых является семейство функций Бесселя. Исключая функции, которые достигают со при г = 0 в сердцевине или при г —* оо в оболочке, мы получаем пограничные решения:

где J (х) является функцией Бесселя первого рода и первого порядка, и K_t(x) является модифицированной функцией Бесселя второго рода и первого порядка.

Параметры к_т и у определяют скорость изменения и (г) в сердцевине и в оболочке, соответственно. Большое значение к_т означает более быстрое колебание радиального распределения в сердцевине. Большое значение у означает быстрое затухание и меньшее проникновение волны в оболочку. Как видно из уравнений (5.7) и (5.8), сумма квадратов к_т и у параметров есть величина постоянная:

Таким образом, если к_т увеличивается то у уменьшается и поле проникает глубже в оболочку. Если к_т превышает NA7c_o, то у становится мнимой и волна перестает отражаться в сердцевину.

Удобно нормализировать к_г и у через X = к_та и Y = уа.

Принимая во внимание уравнение (5.12), запишем2Г²+ Р= V², где V = NA • к₀— а, откуда.

Для волокон с большими параметрами V допустимо приближение для вычисления числа мод в волокне по формуле:

Вышеприведенные решения для V использовались нами для расчета режима ступенчатых волокон. Однако, помимо чисто теоретических решений задачи о проницаемом цилиндре, возможно также применять методы моделирования. Их целью являются не только визуализация картины поля моды и построение дисперсных характеристик, но и сокращение временных и эксплуатационных затрат на получение световодов, т. к. материал волокна часто бывает достаточно дорогим, как и сама технология его получения (см. в гл. 3−5), что не оставляет возможности сделать производственную «ошибку». Моделирование позволяет подобрать тот набор физико-оптических параметров волокна, который обусловит желаемый режим работы последнего.