Понятие о функциях Бесселя
Для гл. 15 наибольший интерес представляют функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (табл. 15.1). Для их получения в общее выражение (15.5) вместо х следует подставить jx, где j = V-1. Обратим внимание на то, что в табл. 15.1 даны функция (jx) вместо Jj (pc) и функция 7^3Ох) вместо J3(jx). Сделано это потому, что без дополнительного множителя j или -j эти функции, как правило, не используют… Читать ещё >
Понятие о функциях Бесселя (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
При анализе нелинейных цепей широко используют функции Бесселя, которые являются решением уравнения Бесселя.
Функции Бесселя выражают степенными рядами, и для них составлены таблицы. Функцию Бесселя от аргумента х обозначают Jp(x), где р — порядок функции Бесселя. Общее выражение для Jp(x) в виде степенного ряда можно записать так:
Для гл. 15 наибольший интерес представляют функции Бесселя от чисто мнимого аргумента (табл. 15.1). Для их получения в общее выражение (15.5) вместо х следует подставить jx, где j = V-1. Обратим внимание на то, что в табл. 15.1 даны функция (jx) вместо Jj (pc) и функция 7^3Ох) вместо J3(jx). Сделано это потому, что без дополнительного множителя j или -j эти функции, как правило, не используют.
Таблица 15.1
1,0. | |||||
0,4. | 1,04. | 0,20. | 0,02. | 0,131 • lo-2 | 0,67 • 10-1 |
0,8. | 1,16. | 0,43. | 0,08. | 0,01. | 0,11? 10−2. |
1,2. | 1,39. | 0,72. | 0,20. | 0,04. | 0,58 • 10−2. |
1,6. | 1,75. | 1,08. | 0,39. | од. | 0,019. |
2,0. | 2,28. | 1,59. | 0,69. | 0,21. | 0,051. |
2,4. | 3,05. | 2,30. | 1,13. | 0,41. | 0,114. |
2,8. | 4,16. | 3,30. | 1,80. | 0.73. | 0,234. |
3,2. | 5,75. | 4,73. | 2,79. | 1,25. | 0,446. |
3,6. | 8,03. | 6,79. | 4,25. | 2,07. | 0,81. |
4,0. | 11,30. | 9,76. | 6,42. | 3,34. | 1,416. |
4,4. | 16.01. | 14,04. | 9,63. | 5,29. | 2,405. |
4,8. | 22,79. | 20,25. | 14,35. | 8,29. | 3,992. |
5,2. | 32,58. | 29,25. | 21,33. | 12,84. | 6,51. |
5,6. | 46,73. | 42,32. | 31,62. | 19,74. | 10,468. |
6,0. | 67,23. | 61,34. | 46,78. | 30,15. | 16,63. |
7,0. | 168,60. | 85,17. | 51,0. | ||
8,0. | 427,56. | 399,87. | 327,6. | 236,07. | 150,5. |
9,0. | 1093,59. | 1030,91. | 864,5. | 646,69. | 433,3. |
10,0. | 2815,70. | ||||
11,0. | 6948,9. | ||||
12,0. | 18 948. | 18 142. | 15 924. | 12 834. |
При х = 0 не равна нулю только функция Бесселя нулевого порядка: J0(0) = 1. По данным табл. 15.1 на рис. 15.13 построены кривые функции Бесселя. Из них ясно, что с ростом х значения функций увеличиваются. Чем выше порядок функции Бесселя, тем меньше ее значение при одном и том же х.
Рис. 15.13.
Разложение гиперболических синуса и косинуса от периодического аргумента в ряд Фурье
Если аргумент х изменяется по периодическому закону, например по закону синуса х = xmsin wt, где хт — амплитуда колебаний, то по периодическому закону изменяются и функции sh (xmsincjot) и ch (xmsin wt).
Так как периодические функции можно представить рядами Фурье, то разложим в ряд Фурье эти функции. С этой целью в (15.5) вместо х подставим jfmsin (ji>L Учтем известные из тригонометрии формулы.
сгруппируем все слагаемые с sinwt, cos2wt, sin3wt и т. д., а также отдельно выделим постоянную составляющую. В результате оказывается, что коэффициентами при тригонометрических функциях являются ряды, которыми изображают функции Бесселя различных порядков от чисто мнимого аргумента jxm.
Окончательно получим
Ряд для sh (xmsin cot) состоит только из нечетных гармоник и не имеет постоянной составляющей. Ряд для ch (xmsinwt) имеет постоянную составляющую и четные гармоники.
Пример 148.
Разложить в ряд Фурье sh (4sin cot) и ch (4sin cot).
Решение. Значения функций Бесселя берем из табл. 15.1:
В соответствии с (15.9) и (15.10) получим