Расчет на прочность толстостенных цилиндров

К толстостенным цилиндрам относятся стволы огнестрельных орудий, гидроцилиндры высокого давления, трубы, соединяющие насос и форсунку дизеля, ступицы зубчатых колес, головки шатунов, проушины, внутренние обоймы подшипников и т. п.

Толстостенным называется цилиндр, для которого выполняется соотношение.

где И — толщина стенки цилиндра; d_e — средний диаметр цилиндра.

Расчет таких цилиндров дан Ламе и Гадолиным в 1852— 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготавливают орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.

В результате исследования вопроса определения напряжений и деформаций в толстостенном цилиндре получили, что безмоментная теория, справедливая для тонкостенных оболочек, неприменима для толстостенных цилиндров.

На рис. 76 приведен толстостенный цилиндр 1 с внутренним радиусом а и внешним радиусом в, подверженный действию постоянного внутреннегор_а и внешнего рь давлений.

В окрестностях точки К стенки цилиндра (рис. 76, а, 6) выделим элемент двумя осевыми, двумя поперечными и двумя цилиндрическими сечениями (рис. 76, в). Приведя рассуждения, аналогичные тем, что приводились при рассмотрении элемента тонкостенной оболочки, можно доказать, что грани выделенного нами элемента толстостенного цилиндра являются главными, на них действуют только нормальные напряжения: а, — окружное (тангенциальное) напряжение; о, — радиальное напряжение, действующее вдоль радиуса, и о₂- осевое напряжение.

Рис. 76. Определение напряжений в толстостенном цилиндре: а) расчетная схема толстостенного цилиндра; б) действующая на цилиндр нагрузка; в) выделенный элемент Для определения напряжений в точках цилиндрической поверхности радиуса г используют формулы Ламе:

Формулу (104) используют как для открытых, так и закрытых, т. е. имеющих днища 2 (см. рис. 76), цилиндров. В них индексу t соответствует знак «плюс», а индексу г — знак «минус». Из формулы (104) следует, что с изменением г напряжения су, и <7, изменяются по гиперболическому закону.

Формула (105) используется только для закрытых цилиндров, так как а_г = 0. Напряжение <�т_г распределено равномерно, как по оси, так и по радиусу цилиндра. Это допущение справедливо для поперечных сечений, удаленных от днищ на расстояние, большее пяти толщин стенки цилиндра.

Определив напряжения ег" о> и ег, по формулам (104) и (105) и обозначив большее из них через сг, среднее — через oj, а меньшее — через сг₃, можно найти ofe, соответствующее различным теориям прочности, а по нему проверить прочность цилиндра, используя условие прочности.

Рассмотрим частные случаи.

1. Цилиндр нагружен внутренним давлением р (рис. 77, а). В этом случае р_а = р, р_ь- 0, тогда.

Рис. 77. Распределение напряжений по толщине цилиндра: а) при действии внутреннего давления;

6) при действии внешнего давления Эпюры изменения напряжений по толщине цилиндра приведены на рис. 77, а. У внутренней поверхности (г = а) окружное напряжение достигает наибольшего значения:

Эквивалентное напряжение и соответственно условие прочности для опасной точки по третьей теории прочности можно записать:

2. Цилиндр нагружен внешним давлением р (рис. 77, б). В этом случае рь — р<�р_а~ 0.

Эпюры изменения напряжений по толщине цилиндра приведены на рис. 77, 6.

Согласно формуле Ламе.

Эквивалентное напряжение и соответственно условие прочности для опасной точки запишем следующим образом:

Пример 24. Стальной трубопровод находится под внутренним давлением. Определить необходимую толщину стенки трубопровода, если внутренний диаметр равен 4 мм, р = 25 МПа, [а] = 120 МПа (рис. 78, а).

Рис. 78. К расчету стального трубопровода: а) распределение напряжений по толщине цилиндра; б) напряженное состояние опасной точки А.

Анализ.

1. Опасная точка А расположена на внутренней поверхности цилиндра:

2. Напряженное состояние опасной точки А — плоское (рис. 78, б).

3. Необходимая толщина стенки трубопровода находится из условия прочности

Решение.

1. Приняв г = а из формулы (107), получаем:

2. Таким образом: а = а" <�т₂ = 0, <�т₃ = а,.

" Р (Ь²+а²) 2 РЬ²

3. ₃=—-—-+/>=——т-<[сг], откуда находим.

bа bа

4. Необходимая толщина стенки трубопровода:

• 1. Какая оболочечная конструкция считается тонкостенной и какая толстостенной?
• 2. Почему теорию расчета тонкостенной оболочки называют безмоментной?
• 3. Какие напряжения называются меридианальными и какие — окружными?
• 4. Какие уравнения используют для определения меридианальных и окружных напряжений?
• 5. Где находятся опасные точки в сечении толстостенного цилиндра, находящегося под действием внутреннего давления?
• 6. Где находятся опасные точки в сечении толстостенного цилиндра, находящегося под действием внешнего давления?