Интегральный инвариант пуан каре-карт aha. 
Условие гамильтоновости фазового потока

Пусть Г = Цр (г). 4(0; /): р, q 6 Л", f е |r₀, г,) с Л¹} — гладкая кривая в расширенном фазовом пространстве голономной механической системы и.

— функционал действие. Рассмотрим однопараметрическое семейство кривых {Г (а)}, определяемых соотношениями р — р (/. а), q = q (/, а), /₀(а) ^ ¹ ^ 'i (a). <*0 <, а •? а, и вычислим вариацию функционала действие.

Символ вариации 6 означает первый дифференциал по переменной а, т. е. 5я = да/да&а. Обозначим q (r. а)6/ + 5q (r. а) = Aq и возьмем в качестве кривых семейства {Г (а)| фазовые траектории механической системы, удовлетворяющие уравнениям Гамильтона.

Отличием рассматриваемой вариации от вариации в принципе Гамильтона—Остроградского является варьирование концов траекторий по времени и выбор в качестве класса кривых действительных фазовых траекторий механической системы.

Пусть семейство кривых (Г (а), о₀ s, а S aj образует замкнутую трубку действительных траекторий, т. е. кривые С_к *= {р = р (/*(а), о), q"q (/*(a), a), t=t_k(a), a₀? a? ot|>, * = 0, 1, суть замкнутые контуры в Л²**¹ (рис. 48). Тогда p (/*(a₀), ct₀) = p (/*(a,), a,), q ('*(a₀). a₀) = = q (/*(a,), a,), (t (a₀) = /*(«,), к = 0, 1, другими словами, Г (сц)) = Г (а,). Вычислим интеграл.

Отсюда следует, что криволинейный интефал.

вычисленный по замкнутому контуру С, охватывающему некоторую трубку действительных траекторий, в расширенном фазовом пространстве сохраняет свое значение при переходе к другому контуру, охватывающему ту же трубку траекторий. Интефал (6.5) носит название интефального инварианта Пуанкаре—Картана. В частности, если в качестве контуров выбирать сечения фубки траекторий плоскостями /"const, то для этих сечений dt = 0 и интеграл (6.5) примет вид

Интефал (6.6) называется относительным интефальным инвариантом Пуанкаре.

Рассмофим систему дифференциальных уравнений.

определяющую фазовый поток в Л²" *¹. Напомним, что фазовым потоком называется однопараметрическая фуппа отображений g': Л²" -" Л²", (р₀, q₀) —? (р, q), порождаемая общим решением уравнений (6.7).

Сформулируем первый критерий гамильтоновости фазового потока.

Если для любого контура С е Л²" интеграл (6.6) постоянен вдоль соответствующей трубки траекторий, то система уравнений (6.7) гамильтонова, т. е. Р? -У, Я (р, q, /), Q •= У_р//(р, q, /).

Рис. 48 Рис. 49.

? Пусть контур С задан в виде С= {(р, q): р = р (/, a), q = q (f, а), а₀? а? а,}. Интеграл (6.6) и его производная вдоль фазового потока принимают вид.

Поскольку / — относительный интегральный инвариант, то его производная по времени вдоль фазового потока равна нулю.

По теореме Стокса.

где С — произвольный гладкий контур в Л²", а — поверхность, натянутая на контур С. Если криволинейный интеграл по произвольному контуру равен нулю, то выполняются условия Коши.

П.

Это означает, что дифференциальная форма ^X^xldx, — пол;

/?1.

ный дифференциал по переменным (*, …, х_2я) = х.

Если принять х = (р, q) и применить теорему Стокса к интегралу (6.8), то получим.

где t рассматривается как параметр. Отсюда следует, что Р = -V_qH, Q = V_pH и фазовый поток гамильтонов. ?

Второй критерий гамильтоновости фазового потока.

Если для любого контура С, охватывающего одну и ту же произвольную трубку фазовых траекторий в расширенном фазовом пространстве, постоянен интеграл (6.5), то фазовый поток гамильтонов и гамильтониан равен #(р, q, /).

А Рассмотрим в расширенном фазовом пространстве Л²" * ¹ произвольную трубку фазовых траекторий и произвольное семейство контуров, охватывающих ее (рис. 49). Поверхность трубки фазовых траекторий Z зададим в виде.

Если зафиксировать параметр р и изменять параметр а, то будем иметь замкнутый контур С_м. Изменение параметра р соответствует семейству контуров {С_м}, охватывающих трубку I.

Интегральный инвариант Пуанкаре—Картана и его производная по параметру р равны.

Индексы аир внизу означают частные производные по соответствующим параметрам. Поскольку величина /(р) — интегральный инвариант, то ее производная по параметру р равна нулю. Внеинтегральный член равен нулю, так как значения функций при, а = Oq и, а = а| соответствуют одной и той же точке (контур С_м замкнут), а выражение под знаком последнего интеграла преобразуется к виду.

Здесь дополнительно принято условие Г_м * 0 при ре [ро, р)), позволяющее при каждом фиксированном, а определить взаимно однозначное соответствие между р и г. Интеграл (6.9) равен нулю при любом произвольном выборе функций q_a, p_a, t_a и представляется в виде.

По теореме Стокса подынтегральное выражение в последнем интеграле есть полный дифференциал функции W (q. q, /) по всем переменным, а произвольность функции г" позволяет сделать вывод, что эта функция равна постоянной и, следовательно, имеют место равенства.

Соотношения (6.10) показывают, что рассматриваемый фазовый поток гамильтонов. ?