Расчет балки при упругопластическом деформировании

Рассмотрим напряженно-деформированное состояние балки прямоугольного поперечного сечения, которая испытывает чистый изгиб (рис. 3.9).

Рис. 3.9.

Будем считать, что поперечные сечения балки при изгибе остаются плоскими и слои балки друг на друга не надавливают.

Из чисто геометрических соображений следует связь радиуса кривизны балки (р), относительной линейной деформации слоя балки (е) и удаления этого слоя (2) от нейтральной оси поперечного сечения:

В начале нагружения балка по всему сечению деформируется упруго (ст = Ее) и.

Изгибающий момент в поперечном сечении (М_:/) вычисляется как момент нормальных напряжений относительно нейтральной оси сечения (оси Оу) по формуле.

В силу предположения о малости деформаций и перемещений и при упругопластическом изгибе можно считать, что кривизна балки приближенно равна второй производной от прогиба (v (x)) по осевой координате (х), т. е.

Балка из идеального упругопластичного материала

Предположим, что материал балки является идеально упругопластичным (см. рис. 3.5).

При увеличении нагрузки (в данном случае момента М) в сечениях появляются пластические деформации и образуются область упругих деформаций и область пластических деформаций (рис. 3.10).

Рис. 3.10.

Координата границы этих областей в силу формулы (3.2) будет равна

Изгибающий момент в поперечном сечении вычисляется как момент нормальных напряжений относительно нейтральной оси сечения по формуле (3.3):

Проинтегрировав, получим.

При чистом изгибе изгибающий момент в сечении равен внешнему моменту, т. е. М_у = М.

Учитывая это и соотношение (3.5), из формулы (3.6) получим выражение для кривизны балки в зависимости от внешнего момента:

Подставив радиус кривизны балки из формулы (3.7) в формулу (3.5), найдем зависимость границы, разделяющей области упругих и пластических деформаций в сечениях балки:

Положив z_T = h/2, из этой формулы определяем момент М_т, при котором появляются первые пластические деформации в верхнем и нижнем слоях балки (рис. 3.10, а):

При z_T = 0 приходим к предельному значению момента (М_пр), при котором во всех точках сечения напряжения равны пределу текучести материала (рис. 3.10, в):

В этом случае несущая способность балки исчерпана, и она не может воспринимать больший момент.

Несложно найти остаточные кривизну и напряжения в упругопластически деформированной балке после ее разгрузки.

Напомним, что разгрузка «упруга», тогда:

• остаточная кривизна балки будет равна.

• остаточные напряжения после нагружения моментом М (М, < М < М_П|)) рассчитывают по формуле.

Для примера на рис. 3.11 приведены эпюры напряжений при действии момента М = 'lo bh². Предварительно по формуле (3.8) найдено значение z_T — 0,289А.

Рис. 3.11.

Эпюра остаточных напряжений должна быть самоуравновешенной.