Дискретизация частотного спектра

Пусть сигнал имеет длительность Т_с и частотный спектр S_c(jсо). Дискретизируем спектр S_c(/co) с интервалами дискретизации по частоте 2п

Г2_Д = —. По аналогии с предыдущим S_A(jсо) запишем так:

Т_с

Временной сигнал, соответствующий S_A(/w),.

+оо Функцию? 5(со-Ш_д) разложим в ряд Фурье:

к=-оо

Коэффициенты.

поэтому.

т. е. дискретизированному с частотой ?2_Д частотному спектру во временной области соответствует периодический сигнал с периодом Т_с.

с пт м Т_с 2п 2п

Если на интервале 0 — Т сделано N отсчетов, то, А = — = — =-.

N (Ор ЛГП_Д

На выбор ?2_Д жестких условий, подобно наложенным на А, не вводят.

Прямое преобразование Фурье дискретизированного сигнала

N-1.

На интервале 0 — Т_с х_д(0 = X x (nA)8(t — пА) может быть представлен п=о комплексным рядом Фурье (предполагается, что этот массив значений повторяется бесконечное число раз с периодом Т_с = NA):

Здесь.

Введя безразмерную переменную, а = t/А и обозначив х (пА) = х (п), получим

Учитывая фильтрующее свойство 5-функции, имеем.

Формула (П5.12) дискретного преобразования Фурье (ДПФ) явля;

оо ется аналогом формулы S (;w) = j /(t)e^_-^?(0fdt для непрерывных сигналов. Свойства коэффициентов С_к:

• 1 N-1
• 1)Q>=-S*(n);

. ^п=0

• 2) С_к = C_k±aN, где, а — целое число;
• 1 N-1
• 3) если число отсчетов N четное, то C_N/2 =— X *(п)(-1)^п;

N п=0.

4) если отсчетные значения х (п) вещественные, то.

В качестве примера определим коэффициенты ДПФ сигнала х_д(0 на интервале 0 — Т_с, заданного шестью дискретными значениями (0,5; 1; 0,5; 0; 0; 0). Имеем.

Если применить прямое преобразование Фурье к дискретизированному сигналу х_д(0 и затем провести дискретизацию спектра по частоте с интервалом Q_A, то для ДПФ получим.

Через S_k обозначено S (fcQ_a), а через х (п) —х (пД). Формула (П5.14) отличается от (П5.12) множителем 1/N, поэтому С_к =S_k/N.

Для определения выборочных значений спектра S_c(/cQ_A) надо S_k, вычисленные по (П5.14), умножить на величину дискретизации по вре;

_ .2п

мени, А в соответствии с (П5.5). Дискретную функцию е ¹N принято обозначать W. Тогда.

В научно-технической литературе не принято ставить точки над S (k) и х (п), хотя эти величины в общем случае комплексные.