Применение метода зеркальных изображений

Для расчета магнитных полей, создаваемых линейными токами, протекающими вблизи стальных масс, широко применяют метод зеркальных изображений. Допустим, что в воздухе или в какой-либо другой среде (назовем ее первой средой) с магнитной проницаемостью р_в/ параллельно плоскости раздела сред проходит провод с током /, (рис. 21.15, а).

Пусть вторая среда имеет магнитную проницаемость р_а2* Требуется найти напряженность поля в любой точке первой и второй сред.

С этой целью в расчет водят фиктивные, или расчетные, токи /₂ и /₃. Провод с током /₂ помещают зеркально по отношению к проводу с заданным током /, а провод с током /₃ — там, где расположен провод с током /|. Двумя пока неизвестными токами /₂ и /₃ распорядимся таким образом, чтобы удовлетворить двум граничным условиям на границе раздела сред.

Поле в верхнем полупространстве (там, где. расположен ток /_t — рис. 21.15, б) создается двумя токами: заданным /, и фиктивным /₂, причем и верхнее и нижнее полупространства при этом заполняет среда с.

Рис. 21.15.

магнитной проницаемостью р_а1. Пале в любой точке нижнего полупространства создается током /₃, а верхнее и нижнее пространство имеют р, = Ц_а2 (рис. 21.15, в).

Составим уравнения для определения токов /₂ и /₃.

Если взять произвольную точку а на границе раздела сред, то ее можно считать принадлежащей как первой, так и второй средам. Если считать ее принадлежащей первой среде, то тангенциальная составляющая напряженности поля в ней будет соответствовать левой части уравнения.

а если второй среде, то правой части. Отсюда получим первую связь между токами:

Для получения второй связи составим уравнение, выражающее равенство нормальных составляющих магнитной индукции в произвольной точке а на границе раздела:

т. е.

Совместное решение дает:

Пример 209. Найти напряженности поля в точках тип (рис. 21.16, о). Геометрические размеры в сантиметрах даны на рисунке. Магнитные проницаемости: р_н =1, р,₂ =999; ток /,=10 А.

Рис. 21.16.

Р е ш е н и е. По формулам § 21.24, с учетом сокращения р₀, находим:

Для определения напряженности поля в точке т, расположенной в том ж_е полупространстве (среде), что и. ток /, служит рис. 21.16,6: Н_т = Я, + Н_г. По закону полного тока.

Графическим путем находим Н_т =101 А/м. Напряженность поля в точке п (рис. 21.16, в):

На рис. 21.16, г качественно изображена картина линий магнитной индукции В для случая, когда провод с током проходит в воздухе параллельно поверхности стальной плиты; на рис. 21.16, д — когда провод с током проходит через узкий канал в стальной плите параллельно поверхности плиты.

Пример 210. По длинному биметаллическому проводу протекает постоянный ток / (рис. 21.17) Радиус внутреннего провода г_ь наружного — г₂. Удельная проводимость поводов соответственно у, и у₂. Определить закон изменения векторного потенциала А и.

Рис. 21.17.

магнитной индукции В внутри провода (во внутренней I и наружной 11 областях и вне провода — область III).

Решение. Определим плотности тока б, и б₂ в первой и во второй областях. Так как ?" = ?_2/, то 6,/y_t=6₂/y₂. Кроме того,.

Следовательно,

При раскрытии выражения V² А в цилиндрической системе координат учтем, что в данной задаче А имеет только одну составляющую A = z₀ А. = z₀ А. направленную по оси провода (по оси г), и эта составляющая зависит только от г:

Двукратное интегрирование по г дает:

Слагаемое С, In г должно отсутствовать, так как А не может принимать бесконечно большие значения при г = О, отсюда следует, что С — 0.

Вектор-потенциал определяется с точностью до постоянной. Из граничных условий составим уравнения для нахождения оставшихся четырех постоянных.

1. При г*г, А_х * Ац, следовательно,

2. При г * г₂ А_и = А_т, т. е.

. _п и и d At 1 d Ап

3. При г = г, п_1# = Н₂, или——*- =—-т. с.

И.| dr p_l2 dr

4. При г «г₂ должны быть равны тангенциальные составляющие напряженности поля:

Имеем.

На рис. 21.17 одна кривая характеризует изменение -А- /(г), другая — изменение 5 =/(г) при у,/у₂ = 5,7/3,5 и Ц,| =Ц,₂^.з Пример 211. Воспользоваться выражением Ф = jAdI и данными примера 210 и найти магнитный поток, пронизывающий биметаллический провод из примера 210 на длине / = 1 м.

Рис. 21.18.

Решение. Разобьем путь интегрирования 0> = < jAdl на четыре участка: первый участок от точки 1 до точки 2 (рис. 21.18); второй — от точки 2 до точки 3; третий — от точки 3 до точки 4 четвертый — от точки 4 до точки 1. В соответствии с этим

Но dl =0, так как значение А при г = 0 равно нулю. На втором и четвертом участках jA dl =0, так как угол между А и dl равен ±90°, a cos90° =0; jA dl * 0 только на третьем участке, где.

а угол между А и dl равен 180° (cos!80° = -1). Поэтому

Пример 212. Воспользоваться построениями рис. 21.11 и определить магнитную проводимость воздушного зазора между полюсом и якорем машины постоянного тока на единицу длины якоря (1 м).

Решение. В соответствии с рис. 21.11, л = 2, т = 11, Ыа = 0,9. По формуле (21.29) подсчитаем.

Рис. 21.19.

Пример 213. Определить емкость и индуктивность на 1 м длины кабельной двухпроводной линии с цилиндрической проводящей броней.

Картина поля в сечении кабельной линии дана на рис. 21.19 (е_г =2,5).

Решение. Изображенная на рис. 21.19 картина поля справедлива для электрического и магнитного полей. Причем, согласно § 21.20, силовым линиям электрического поля соответствуют эквипотенциал и магнитного поля.

Число силовых трубок электрического поля т-10,5−2 = 21. Число ячеек в трубке я = 10 (пять от провода до брони, пять от брони до провода). Отношение Ыах 1. Число силовых трубок магнитного поля т = 10, число ячеек в трубке я = 21. По формуле (21.31) найдем емкость на I м длины кабеля (/ = 1 м):

По определению индуктивность L равна отношению потокосцепления к создающему его току: L = В данной задаче имеется всего один виток (прямой и обратный провода). Поэтому потокосцепление у равно потоку Ф между проводами (индуктивностью, обусловленной потокосцеплением в теле проводов, в силу его малости пренебрегаем).

По закону полного тока ток / может быть заменен на dl по замкнутому контуру, окружающему провод. В свою очередь Н dl представляет собой падение магнитного напряжения С/_м по этому контуру. Следовательно,

Таким образом, индуктивность L в данном примере равна магнитной проводимости G_M. Для определения последней воспользуемся формулой (21.29)*>.

Пример 214. Найти разность скалярных магнитных потенциалов (магнитное напряжение) между точками А и В, расположенными в магнитном поле линейного тока / = 10 А (рис. 21.20).

Решение.

Рис 21 20.

так как на этом участке угол между Н и dl равен 90^е. Следовательно, Умав = //4 = 2,5 А.

*' При вычислении L по формуле для С_м число ячеек в силовой трубке должно быть взято по замкнутому контуру Пример 215. В воздухе создано равномерное магнитное поле напряженностью Н₀ =240 А/м. В это поле поместили ферромагнитный шарик, относительная магнитная проницаемость которого ц_п =20. Найти индукцию в шарике.

Решение. Воспользуемся аналогией между электростатическим и безвихревым магнитным полями. В формуле (19.69) заменим ?₀ на Н₀ и е_а на р_а. Получим.

Индукция в шарике.

Пример 216. Вдоль трубы с внутренним радиусом г, и наружным г₂ (рис. 21.21) протекает постоянный ток I. Вывести формулы для определения напряженности поля Н внутри трубы, в ее теле и снаружи трубы.

Рис 21.21.

Решение. Напряженность поля в любой из указанных областей найдем по закону полного тока (Л = г).

Если провести окружность радиусом г<�г, с центром на оси трубы, то эта окружность не охватит тока. Поэтому при г { Н — 0, т. е. во внутренней полости трубы магнитное поле отсутствует.

Плотность тока в трубе:

Окружность радиусом г, S г? г₂ охватывает ток 5 п (г² — г,²). Поэтому в этом интервале изменений г

Снаружи трубы при г2г₂ напряженность поля убывает по гиперболическому закону Н = 11(2 п г). График Н =/(/?) изображен на рис. 21.21.