Динамические уравнения Эйлера

Наиболее важная область применения теоремы моментов — это описание динамики сферического движения твердого тела.

Пусть твердое тело, на которое действуют силы F _ь F F", совершает сферическое движение, г. е. вращается вокруг неподвижной точки О (рис. 12.9); No — реакция шарнира О.

Рис. 12.9.

Если со — вектор угловой скорости тела, 1о — матрица инерции тела, вычисленная в неподвижной точке О, то кинетический момент тела согласно (10.18) выражается равенством Ко = _а со, а теорема моментов (12.4) для этого тела принимает вид:

Для удобства вычисления производной в (12.14) полагаем, что координаты со*, со_п, сOr вектора со и компоненты 1₄, -1^_п, -1^, … матрицы инерции 1₀ вычислены в системе координат O^rj^, которая жестко связана с телом и вращается вместе с ним вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью со (рис. 12.9). Преимущество этой координатной системы в том, что компоненты матрицы масс тела 1^ остаются в ней постоянными.

Воспользуемся для кинетического момента 1^ со равенством (7.15), связывающим полную и локальную производные вектора:

Здесь локальная производная — (1"со) — вектор, координаты ко;

dt

торого равны производным координат вектора 1₍₎ со в системе 0?г/? . Учитывая, что в системе координат матрица 1₀ постоянна, получим для локальной производной кинетического момента.

где о) = о"Л + (Ь_пj + су к — локальная производная угловой скорости (i, j,.

k — орты подвижных осей см. рис. 12.9).

С учетом (12.15) и (12.16) равенство (12.14) принимает следующий вид:

Замечание 1. Из правила (7.15) следует, что для подвижной системы координат 0?г/?, жестко связанной с телом и имеющей одинаковую с ним угловую скорость со, полная и локальная производные вектора угловой скорости тела совпадают:

Это означает, что производные проекций щ, а>_п, а>_с вектора угловой скорости тела на подвижные оси равны проекциям на эти же оси вектора углового ускорения? = со тела:

Благодаря последнему равенству можно записать (12.17) в виде:

или

Замечание 2. Векторные равенства (12.19) и (12.20) хотя формально и являются векторными, но не вполне безразличны к выбору осей при их проецировании. Как следует из вывода этих равенств, оси должны быть жестко связаны с телом и, разумеется, проходить через неподвижную точку О тела.

Проецируя векторное уравнение (12.19) на каждую из подвижных осей ?, rj,? получим три скалярных дифференциальных уравнения динамики сферического движения тела. Выполним вывод этих уравнений Для вычисления векторного произведения в (12.21) преобразуем векторы-столбцы в разложения по ортам i, j, к подвижных осей ?/7^.

Наконец, объединяя (12.21) и (12.22), получаем:

для случая, когда? rj, ? — главные оси инерции тела в точке О, т. е. центробежные моменты инерции тела I,_t/, 1,_?, 1_п? равны нулю и его матрица инерции 1₀ имеет диагональный вид. Покомпонентная запись (12.19) дает:

Эти уравнения называют динамическими уравнениями Эйлера. Совместно с кинематическими уравнениями Эйлера (6.21) они образуют полную систему дифференциальных уравнений динамики твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Уравнения (6.21),(12.23) позволяют по заданным силам F_b F F_п, матрице инерции l_G тела и начальным значениям углов Эйлера найти закон движения тела в виде зависимостей ipit), в(t), (pit) — С помощью (6.21), (12.23) можно решить и обратную задачу — по заданным кинематическим уравнениям if/=hit), в = /г (/), (р = hit) и матрице инерции ₍₎ отыскать суммарный момент действующих на тело сил.