Принцип взаимности. 
Основы теории цепей

Для линейной цепи ток в &-ветви 4> вызванный источником Ет, находящимся в m-ветви, равен току 1 т в m-ветви, если источник Ет перенести в &-ветвь, т. е. 4 = Emgkm = Emgmji. При использовании принципа взаимности при расчете необходимо следить за взаимным соответствием направлений токов и ЭДС в ветвях.

Пример 2.7.

В схеме (рис. 2.15) при нахождении ключей в положении 1 включен только источник ЭДС Е = 10 В. При этом известны только /₂ = 1 А, 4 = 3 А. Определить.

Рис. 2.15. Схема электрической цепи к примеру 2.7.

ток /1, если все ключи определяются в положении 2, когда включены Еч = 20 В, Е₃ = 30 В.

Решение. 1. Используя принцип взаимности, определяем частичную составляющую тока 1[ от ЭДС, находящейся во второй ветви и равной ?₂ ⁼ 20 В, 1[ = 20.

= «т/₂ = 2 А. Аналогично, частичная составляющая тока I» от ЭДС, находящейся в третьей ветви, I" = 30/10/₃ = 9 А.

2. Используя принцип наложения, определяем полный ток в первой ветви: h=I[ + I’x =2 + 9 = 11 А.

Принцип компенсации. В любой электрической цепи без изменений токораспределения можно заменить сопротивление источником ЭДС, значение которой равно падению напряжения на сопротивлении и направлено встречно току на этом сопротивлении. Аналогично можно заменить сопротивление источником тока J, значение которого равно току в этом сопротивлении и направлено в ту же сторону. Это следует из второго и соответственно первого законов Кирхгофа при переносе слагаемого из левой части уравнения в правую.

Пример 2.8.

В схеме (рис. 2.16, а) Е = 5 В, R = 1 Ом, Я₂ = 2 Ом, = 1 Ом. Заменить R₃ источником ЭДС и тока.

Рис. 2.16. Схема электрической цепи к примеру 2.8:

а — исходная; б — с источником ЭДС; в — с источником тока Решение. 1. Определим токи в схеме (см. рис. 2.16, а):

2. Заменяем R₃ источником ЭДС (рис. 2.16, б):

3. Заменим ток /₃ источником тока J = /₃ = 2 А (рис. 2.16, «), тогда.

Принцип линейности. Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной цепи, то два любые значения (U или I) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида.

т.е. U = а + Ы, или U = с + dU₂, или I = к + ml₂.

Аналогичная зависимость получается при изменениях этих величин в двух ветвях, тогда.

Коэффициенты а, b в уравнении (2.13) определяются экспериментально или расчетным путем. Для этого необходимо знать значения напряжений (или токов) для двух различных режимов. Подставляя эти значения в уравнение (2.13), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая систему уравнений, определим коэффициенты а, Ь.

Аналогично, для определения коэффициентов a_fb, c в уравнении (2.14) необходимо иметь данные для трех режимов и решить систему из трех уравнений. Отметим, что в качестве у, х, г могут использоваться только U и /, но ни в коем случае не R.

Пример 2.9.

В схеме рис. 2.17 при первом положении переключателя (холостой ход) /_1хх = 1 А, /_2хх = 5 А, при втором положении (короткое замыкание) /_1к = 2 А, /_2к = 4 А. Определить ток /_1? если при третьем положении переключателя I? = = 4,5 А.

Рис. 2.17. Схема электрическая к примеру 2.9.

Решение. Подставляем значения токов 1_{ и /₂ для двух режимов в уравнения вида (2.13).

Решая систему уравнений, определяем: а = 6, b = -1, т. е. между токами существует зависимость /_t = 6 — /₂. При токе /₂ = 4,5 А, ток

Теорема вариаций. Изменение тока одной ветви, вызванное приращением сопротивления в другой ветви, определяется уравнением.

^гд^еg2 -взаимная проводимость первой и второй ветвей; AR — приращение сопротивления во второй ветви; /2, ?22 ^— ток и входная проводимость второй ветви. Проводимости измеряют в сименсах (См).

На рис. 2.18, а приведена схема, в которой во второй ветви увеличилось сопротивление на AR. Токи также изменились. По принципу компенсации заменим AR на АЕ (рис. 2.18, б), где АЕ = AR (I₂ + А/₂). На основании принципа наложения можно считать, что А1 и А/₂ вызваны А?, т. е.

Отсюда.

Пример 2.10. В схеме на рис. 2.18 g_[2 ⁼ 3/26 См, g₂2 = 5/26 См, а токи 1_{ = = 7 А, 1₂ = 3 А. Определить 1 и 1₂, при изменении сопротивления AR = 1 Ом.

Рис. 2.18. Преобразование схем по теореме вариаций:

а — исходная схема; б — схема для приращений токов

Решение. По уравнению (2.16) определяем, А 1 = -0,29 А, Д/₂ = -0,483 А. Тогда токи /j = 6,71 А, /₂ = 2,517 А.