Эквивалентное преобразование треугольника сопротивлений в звезду и обратное преобразование

Найдем условия эквивалентности двух участков электрической цепи (рис. 2.40, а, б), которые представляют собой соединение пассивных идеализированных двухполюсников треугольником и звездой. По определению, эти участки цепи эквивалент;

Рис. 2.40. Эквивалентные преобразования треугольник — звезда и звезда — треугольник

ны, если при замене одного участка другим токи выводов Д, /₂, Д и напряжения между выводами [/₁₂, [/₂з, t/31 останутся неизменными. Учитывая, что из трех напряжений между выводами только два являются независимыми (третье может быть получено из уравнения баланса напряжений), для эквивалентности треугольника сопротивлений звезде достаточно потребовать, чтобы любая пара из трех напряжений между выводами одной цепи была равна соответствующей паре напряжений другой цепи (при одинаковых значениях токов внешних выводов).

Выразим токи сопротивлений Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁, образующих стороны треугольника сопротивлений, через токи внешних выводов Д, /₂, Д. Составляя на основании законов Кирхгофа систему уравнений электрического равновесия этого участка цени.

и решая ее относительно токов /₁₂, /₂₃, /₃₁, находим.

Используя выражения (2.142), определяем напряжения между внешними выводами треугольника сопротивлений:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Соответствующие напряжения между внешними выводами звезды (рис. 2.40, б)

Приравнивая напряжения [)₁₂ и f/₂3 между внешними выводами рассматриваемых участков цепи, получаем.

Очевидно, что равенства (2.143) должны выполняться при любых значениях токов внешних выводов. Полагая в выражениях (2.143) сначала /₂ = 0, а затем /₃ = 0, определяем соотношения между сопротивлениями, при которых рассматриваемые участки цепей (см. рис. 2.40, а, б) будут эквивалентными:

Рассчитав сопротивления Zj, Z₂, Z₃ по заданным Z₁₂, Z₂₃, Z31, можно осуществить эквивалентную замену треугольника сопротивлений звездой (преобразование треугольник — звезда). Из рис. 2.40 очевидно, что при этом преобразовании из цепи устраняется контур, образуемый сопротивлениями Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁, и появляется новый узел — место соединения сопротивлений Z_{, Z₂, Z₃.

Решая систему уравнений (2.144) относительно Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁, получаем соотношения, позволяющие производить эквивалентную замену звезды сопротивлений треугольником (преобразование звезда — треугольник):

Преобразование звезда — треугольник приводит к уменьшению числа узлов преобразуемой цепи (за счет устранения узла, являющегося местом соединения сопротивлений Z_b Z₂, Z₃), однако при этом появляется новый контур, образуемый сопротивлениями Z₁₂, Z₂₃, Z₃₁.

Заменим в выражениях (2.145) комплексные сопротивления элементов их проводимостями. Проведя преобразования, установим, что выражения для комплексных проводимостей элементов, образующих стороны треугольника,.

имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных сопротивлений, входящих в лучи звезды (2.144). Подобным образом можно получить выражения для комплексных проводимостей лучей звезды Y> У?, У₃, которые оказываются аналогичными выражениям для комплексных сопротивлений сторон треугольника (2.145).

Выражения (2.146) могут быть обобщены и для преобразования N-лучевой звезды (см. рис. 1.24, б) в TV-угольник (см. рис. 1.24, а):

где Yki — проводимость стороны iV-угольника, соединяющей узлы k и /; Y_y У₂,…, Уу — проводимости элементов, образующих лучи звезды.

Обратное преобразование полного N-угольника в N-лучевую звезду в общем случае невозможно.

Применение преобразований треугольник — звезда и звезда — треугольник в ряде случаев позволяет существенно упростить анализ цепей, в частности иногда с помощью этих преобразований удается приводить сложные участки цепей к более простым, представляющим собой параллельное, последовательное или смешанное соединение элементов.

Пример 2.15. Для цепи рис. 2.41, а с элементами R = 20 Ом, R₂ = 50 Ом, Д₃ = 30 Ом, R_a = 25 Ом, R₅ = 30 Ом, Ё = 1,3 В определим ток ветви, содержащей источник напряжения Е.

Ток I можно найти, решив основную систему уравнений электрического равновесия цепи, однако этот путь весьма грудоемок. Учитывая, что по условию задачи требуется вычислить только ток независимого источника Е, целесообразно остальную часть цепи, к которой подключен этот источник, заменить ее комплексным входным сопротивлением. Непосредственное нахождение входного сопротивления пассивного двухполюсника, к которому подключен идеальный источник напряжения, постепенным «сворачиванием» но правилам преобразования участков цепей с параллельным и последовательным соединением элементов невозможно, так как в данном двухполюснике отсутствуют последовательно или параллельно включенные элементы.

Заменим треугольник сопротивлений R_h R₂, *₃ звездой сопротивлений Rq, R₂o, R30 (рис. 2.41, б). Используя формулы (2.144), находим.

Рис. 2.41. К примеру 2.15.

Преобразуя полученную цепь с помощью правил преобразования участков цепей со смешанным соединением элементов, определяем входное сопротивление пассивного двухполюсника и искомый ток: R = 26 Ом; 1 = 50 мА.

К этому же результату можно прийти, если использовать преобразование звезда — треугольник. В частности, заменяя сопротивления R_it R₂, R5 (рис. 2.41, а) сопротивлениями.

переходим к цепи (рис. 2.41, в), которая легко поддается дальнейшим преобразованиям.