Математика Диофанта. 
История и философия науки: философия математики

В работе Аполлония «Конические сечения» рассмотрена область кривых второго порядка — конических сечений. Описание этих кривых, данное Аполлонием, было столь фундаментально, что на протяжении нескольких столетий алгебраическая традиция материального эфира не могла сделать следующий шаг. Понадобилось несколько столетий, пока уже в римскую эпоху не появилось следующее фундаментальное произведение данной традиции — «Арифметика» Диофанта. Появление «Арифметики» приблизительно датируют III в. н.з. Но круг задач, решаемых в этом произведении, начал появляться в александрийской науке со времен Герона. Именно у Герона встречаются решения первых неопределенных уравнений. «Герои при изложении целиком следует вавилонской традиции»^[1].

Напомним, что до этого подобное решение в греческой математике появлялось лишь при решении теоремы Пифагора X^[2] + Y^[2] = Z^[2] и уравнения Пелля аХ^[2] + 1 = У^[2]. После Герона в популярной математической литературе, предназначенной для преподавания («Мичиганский папирус 620»), встречаются обозначения, которые будет в дальнейшем использовать Диофант, и несколько линейных задач. Появление столь значительного набора столь глубоких задач свидетельствует скорее о существование очень долгой и мощной традиции, которая по каким-то причинам была столь полно обнародована лишь в 111 в. Возможно, это связано с распространением и укреплением христианства, ибо с большой долей вероятности Диофант принадлежал к христианским ученым-математикам, о чем свидетельствует посвящение «Арифметики» христианскому епископу Дионисию Александрийскому. Христиане искали свой путь, отличный от античных математических источников. И возможно, что в этот период вавилонская алгебраическая традиция оказалась им ближе античных математических богатств. Но это был лишь недолгий эксперимент, потому что именно евклидова геометрия стала надолго единственной математической теорией, допущенной к преподаванию в христианских школах и университетах. Диофант не удостоился такой чести.

Итак, была раскрыта вавилонская алгебраическая традиция, в рамках которой работал Герои. Упоминая Герона, следует сказать, что он много сделал и для развития атомистической традиции, не говоря уже о развитии механики и техники. Алгебраическая традиция достаточно серьезно отличается по методам и кругу задач от атомизма и от математики правильных многогранников. В первую очередь это связано с тем, что изучаются различные кривые линии и их пересечения. А кривые линии описываются неопределенными уравнениями. Поэтому историческая роль Диофанта заключалась в описании огромного количества линий, поверхностей и многообразий более высоких степеней, которые еще не встречались в античной науке.

Все эти геометрические объекты были введены в классической восточной традиции в виде сборника задач и их решений. Но нельзя сказать, что задачи расположены хаотично. Диофант их выстраивает по мере усложнения от простейших к более сложным. По этого порядка он придерживается нс слишком строго. Здесь следует сказать несколько слов о том, как современные ученые пытаются существенно отделить греческую математику от математики Древнего Востока.

Пример Евклида является для них эталоном европейской дедуктивной науки. Зато ни «Конические сечения» Аполлония, ни «Арифметика» Диофанта не дотягивают до этого эталона. Но Диофанта эти ученые никак не хотят отнести к восточной традиции, ибо уж слишком сложны представленные там задачи. Ведь тогда придется приписать восточной математике явное превосходство над греческими знаниями.

Даже сама форма «Арифметики» явно не античная. Думается, что на примере Диофанта следует отказаться от этих формальных различий и всегда смотреть содержание произведений. Очевидно следующее. После Платона греки свободно раскрывали свои математические знания, в то время как оба древних математических египетских папируса (папирус Ранда и петербургский папирус) были переписаны и сделаны достоянием гласности во времена завоевания Египта гиксосами. А от времен до и после этого завоевания почему-то ничего не осталось, хотя по идее должно было быть наоборот. Также среди вавилонских глиняных табличек находятся лишь дидактические и хозяйственные математические записи. Думается, что математические знания были и в Египте, и в Вавилоне предметом сакрального знания. Причем самой большой «утечкой» было греческое «чудо» VII—VI вв. до н.э.

Теперь начнем разбор методов Диофанта. Сущность общего метода Диофанта заключается в решение уравнений. «Основная проблема „Арифметики“ — это решение неопределенных уравнений в положительных рациональных числах»^[7]. Способ решения Диофанта превращает неопределенное уравнение в определенное. Это достигается за счет подстановки, которая выражает обе переменные через одну новую. «Многие задачи Диофанта эквивалентны нахождению рациональных точек на окружности или гиперболе, а подстановки, которые он делает, отвечают проведению прямых через некоторую точку рассматриваемой кривой и нахождению второй точки пересечения с кривой»^[8].

Пусть а и b будут координатами точки, которая является решением уравнения кривой второго порядка F₂(x, у) = 0. Это координаты точки на кривой, которая является первым решением, а теперь нам надо найти второе решение. Для этого Диофант делает подстановки х = а + tny = b + + kt. Новой общей переменной будет теперь t. Эта переменная обозначает то приращение, которое получит х. Само х имеет в момент рассмотрения значение а, ибо Диофант исходит из уже имеющегося первого решения. Теперь к этому х = а он прибавляет приращение по оси х, равное t. Так и получается х = а + t.

Вторая подстановка получается умножением приращения по х, равного t, на некоторое произвольное целое положительное число к. И затем точно так же, как для первой подстановки, к значению у в первой точке, равному Ь, прибавляется приращение по оси у, равное kt. В итоге получаем вторую подстановку у = b + kt, причем эту подстановку можно выразить в форме у = b + k (pc — а), если вместо t подставить его значение из первой подстановки.

Теперь посмотрим, как эти подстановки действуют в конкретной задаче. Возьмем одну из самых известных задач «Арифметики» Диофанта. Это восьмая задача второй книги. Именно к этой задаче Ферма сделал свое знаменитое примечание, в котором сформулировал свою теорему, названную впоследствии Великой теоремой Ферма. Условием этой задачи требуется представить заданный квадрат в виде суммы двух квадратов, т. е. а^[8] = х^[8] + у^[8]. Геометрический смысл этой задачи будет показан чуть ниже, пока дадим алгебраическое решение. Сначала Диофант находит очевидное первое решение х = 0, у = -а. Путем подстановки этих значений в уравнение а^[8] = х^[8] + у^[8] можно легко в этом убедиться. Тогда подстановки будут иметь вид х = 0 + t, у = -а + kt. Теперь Диофант уточняет значение для k и для а. Он всегда так делает, превращая общее решение в некоторый частный пример. Такими частными значениями будут k = 2 и а = 4.

Если подставить подстановки Диофанта (х = t, у = -а + kt) в уравнение а^[8] = х^[8] + у^[8], то получаем а^[8] = t^[8] + (kt — а)^[8]. И теперь решаем данное квадратное уравнение, как всех нас учили в средней школе. Вот решение, которое дает Диофант: x-t- 2ak/(l + к²). И соответственно, для у получаем у = = kt — а = a (k² — 1)/(?² + 1).

Теперь, наконец, дадим геометрическую интерпретацию этого примера (рис. 2.7). Уравнение задает на плоскости XOY кривую второго порядка (например, окружность); при этом начальному решению отвечает рациональная точка М этой кривой. Подстановка Ay = кАх представляет уравнение прямой, проходящей через точку М и имеющей угловой коэффициент к. Эта прямая пересечет кривую еще в одной и только одной точке Mj, которая, как нетрудно видеть, тоже будет рациональна. При этом между рациональными точками кривой и рациональными значениями параметра к устанавливается взаимно однозначное соответствие, так что, придавая к всевозможные рациональные значения, мы получим все рациональные точки кривой.

Рис. 2.7.

Теперь раскроем метафизическую сущность этого метода Диофанта. Самое важное здесь заключается в том, что Диофант находит сначала одну точку на кривой, а затем с помощью значения этой точки находит вторую точку кривой, т. е. все это делается последовательно одно за другим. Учитывая, что любая кривая содержит бесконечное количество рациональных решений, то и количество точек, найденных, но этой методике, тоже бесконечно. Но здесь речь не идет об актуальной бесконечности атомизма, ибо точки не даны все и сразу.

Методы Диофанта — это образы потенциальной бесконечности, когда можно найти последовательно бесконечное количество точек одну задругой или одну с помощью другой. Это первый важный метафизический аспект диофантовых методов. Второй аспект заключается в том, что для нахождения точек кривой используется операция ее пересечения с другой линией. В нашем примере такой линией была прямая у — b = к (х — а). Но в других задачах Диофант использовал также параболы. Это опять же воспроизводит модель вращающегося эфира и соприкасающегося с эфирным вихрем тяжелого тела, которое движется либо по прямой, либо по параболе. Место каждого удара и оказывается отмечено точкой кривой, которая и является решением алгебраического неопределенного уравнения.

Большая часть второй книги «Арифметики» посвящена исследованию вышеприведенного уравнения F₂(x, у) = 0. Но последние задачи второй книги и задачи третьей книги рассматривают задачи с большим, чем два, числом переменных. Это системы с тремя, четырьмя и большим числом уравнений, каждое из которых имеет степень не ниже двух. Диофант постоянно использует подстановки, для того чтобы обратить уравнения в тождество, кроме одного или двух. В последнем случае он часто использует метод двойного равенства. При этом Диофант вычитает одно уравнение из другого, исключая таким образом одно неизвестное. Геометрически это можно выразить как проекцию.

В четвертой книге Диофант дает описание решений неопределенных уравнений третьей и четвертой степени. В отличие от решений неопределенных уравнений второй степени здесь нельзя выразить неизвестные в виде рациональных функций одного параметра. «Однако, зная одну или две рациональные точки кубической кривой F₃(x, у) = 0, можно найти новую ее рациональную точку. Для этого надо применить одну из следующих процедур: 1) в рациональной точке Р_х провести касательную. Она в общем случае пересечет кривую F₃(x, у) = 0 еще в одной точке, которая также будет рациональной (эта точка может оказаться бесконечно удаленной); 2) через две рациональные точки Ру и Р₂ провести прямую, которая пересечет кривую F₃(x, у) = 0 еще в одной рациональной точке Q»^[21].

Опять же все результаты достигаются с помощью операции пересечения кривой либо с касательной, либо с секущей. Здесь же Диофант дает и иррациональные решения, но это только эпизодические моменты (задача IV.9). В этой же книге впервые появляются эллиптические кривые, которые станут несомненными алгебраическими героями только в середине XIX в. Эллиптические кривые относятся к кривым, неизвестные которых не могут быть выражены как рациональные функции параметра.

В пятой книге Диофант рассматривает уравнения Пелля аХ^[22] + 1 = Y^[22]. «Последующие три задачи книги сводятся к отысканию рациональных точек на кубических поверхностях. Примененные при их решении методы эквивалентны проведению пучка плоскостей, каждая из которых проходит через бесконечно удаленную прямую, лежащую на поверхности. Кривая, полученная в сечении, распадается на две компоненты: прямую и коническое сечение.

Подобрав параметр так, чтобы на коническом сечении имелась рациональная точка, Диофант обычным способом находит другие рациональные точки этой кривой"^[22]. Исходя из этого комментария к данным задачам можно сделать вывод, что Диофант пытается свести задачи с поверхностями к задачам с кривыми линиями. Именно как такое сведение следует интерпретировать приемы решения таких задач. Шестая книга рассматривает задачи, связанные с прямоугольными треугольниками с рациональными сторонами. Эти задачи удовлетворяют уравнению X^[25][26] + У^[26] = Z^[26].

• [1] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. М., 1974. С. 8.
• [2] Там же. С. 142.
• [3] Там же. С. 142.
• [4] Там же. С. 142.
• [5] Там же. С. 142.
• [6] Там же. С. 142.
• [7] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 146.
• [8] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [9] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [10] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [11] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [12] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [13] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [14] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [15] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [16] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [17] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [18] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [19] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [20] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 10.
• [21] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 148.
• [22] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 21.
• [23] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 21.
• [24] Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах. Вступительная статьяИ. Г. Башмаковой. С. 21.
• [25] История математики с древнейших времен до начала XIX века. Т. 1. С. 222.
• [26] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.
• [27] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.
• [28] Розенфельд Б. А. Указ. соч. С. 151, 155.