Натуральное число — элемент алгебраической системы

Вопросы для обсуждения

• 1. Что такое алгебраическая операция на множестве?
• 2. Являются ли сложение, вычитание, умножение и деление алгебраическими операциями на множестве натуральных чисел?
• 3. Почему вычитание и деление не являются алгебраическими операциями на множестве натуральных чисел?
• 4. Что такое обратная алгебраическая операция?
• 5. Являются ли вычитание и деление операциями, обратными сложению и умножению соответственно?
• 6. Какие свойства сложения и умножения изучаются в начальной школе?
• 7. Какие свойства вычитания и деления изучаются в начальной школе?
• 8. Почему свойства вычитания и деления являются следствиями свойств сложения и умножения?
• 9. Почему 0 и 1 являются особыми элементами алгебраической структуры натуральных чисел?

Еще одной теоретической моделью, характеризующей множество натуральных чисел и имеющей непосредственные выходы в обучение математике младших школьников, является алгебраическая структура системы натуральных чисел.

Алгебраическая структура — это непустое множество, на котором определены алгебраические операции и отношения.

Например, алгебраической структурой является множество А = {0, 1,2, 3}, если на нем определена бинарная алгебраическая операция «+», заданная табл. 3.1, в которой первым компонентом операции является элемент столбца, вторым — элемент строки, а значение находится на пересечении этих столбца и строки.

Таблица 3.1

Операция «+» на, А = {0, 1,2,3}

ь следующее:

Изучение таблицы позволяет установи'.

• 1) любым двум элементам множества А, взятым в определенном порядке, поставлен в соответствие единственный элемент того же множества;
• 2) имеется особый элемент 0, такой, что его сумма с любым другим элементом А равна этому же элементу, такой элемент называют нейтральным;
• 3) симметричность таблицы относительно главной диагонали означает равенство a + b = b + a для любых элементов А, т. е. операция «+» коммутативна;

4) на А можно определить еще одну операцию, производную от данной. Если уравнения для всех а> b е А имеют единственные и совпадающие решения, т. е. х = у, то их можно записать, используя специальный знак «-»:

Отсюда

Это означает, что на А определена еще одна операция, которая называется обратной данной.

Например, 0−1=3, так как 0=1+3, или 2−3 = 3, так как 3 + 3 = 2.

Определение 3.7. Бинарной алгебраической операцией «о» па множестве А называется отображение множества А х А в А. Единственный элемент с е А, поставленный в соответствие двум элементам а, b е А, взятым в определенном порядке, называется значением выражения а ° 6, т. е. имеет место равенство а ° Ъ — с.

Рассмотрим примеры.

• 1. Операция «+», определенная выше на множестве А = {0, 1,2, 3}, является бинарной алгебраической операцией на этом множестве.
• 2. Сложение и умножение на множестве натуральных чисел N являются бинарными алгебраическими операциями, но вычитание и деление на N не являются алгебраическими операциями, в силу того что в N не существует, например, числа 3 — 5, или числа 3/5.
• 3. На множестве подмножеств некоторого множества объединение и пересечение множеств являются бинарными алгебраическими операциями.
• 4. Вычитание на множестве целых чисел и деление на множестве рациональных чисел (деление на 0 исключается) — бинарные алгебраические операции.

Бинарная алгебраическая операция «о» на множестве Л может обладать определенными свойствами (подчиняться следующим законам).

Ассоциативность. Для всяких а, Ь, с е А выполняется равенство.

Сложение и умножение натуральных чисел — ассоциативные операции. Вычитание целых чисел — не ассоциативная операция, так как, например

Так как скобки указывают порядок действий, то свойство ассоциативности означает, что от перемены порядка действий значение выражения не изменяется. Если операция ассоциативная, то скобки в выражениях, содержащих только данную операцию, можно опустить.

Коммутативность. Для всяких а, b е А имеем равенство.

Сложение и умножение натуральных чисел — коммутативные операции. Вычитание целых чисел не коммутативно.

Свойство коммутативности означает, что от перемены порядка компонентов значение выражения не изменяется.

Сократимость. Для всяких х, уеА из того, что следует х = у.

Пример. Сложение и умножение в N сократимы, но в произведении нельзя сокращать на 0 — 0 • 3 = 0 • 8, но 3 * 8.

Существование нейтрального элемента. Нейтральным элементом операции называется элемент е е А такой, что для всякого а € А справедливы равенства

Если такой элемент существует, то он единственный. Действительно, предположив, что е' — также нейтральный элемент, имеем.

Примеры. Нуль — нейтральный элемент сложения, единица — нейтральный элемент умножения, пустое множество — нейтральный элемент объединения множеств. Нейтральный элемент операции называют также единицей или нулем этой операции.

Существование обратного элемента. Если для каждого, а е А уравнения.

имеют единственные и совпадающие решения, тох-у называется обратным (противоположным к а) элементом, он обозначается а~^х или (-а). Таким образом,

Примеры. Элементом, обратным рациональному числу а по умножению, является 1 /а. Элементом, противоположным целому числу а по сложению, является число (-а). (Знак «-» здесь — знак оператора).

Существование поглощающего элемента. Элемент р е А называется поглощающим относительно операции «о», если для всякого а &А имеют место равенства

Пример. Нуль является поглощающим элементом для умножения.

Монотонность относительно порядка. Пусть на множестве А задано отношение порядка «<�», тогда операция «о» монотонна относительно этого отношения, если для всяких а> b, с е, А а < b тогда и только тогда, когда а ° с < b ° с.

Дистрибутивность. Пусть на множестве А заданы две операции «о» и «*». Операция «о» дистрибутивна слева относительно «*», если для всяких а, Ь, с е А выполняется равенство.

Если для всяких а, Ь, с е А выполняется равенство.

то говорят, что «о» дистрибутивна справа относительно «*».

Примеры. Умножение дистрибутивно относительно сложения и вычитания справа и слева. Деление дистрибутивно относительно сложения и вычитания только справа.

Существование обратной операции. Если уравнения.

имеют единственные и совпадающие решения при всех а, b е А, то на множестве А определяется еще одна операция, производная от операции «о», которую называют обратной к данной «о». Если ее обозначить «?», то записывают х = у = а^яЬп имеют место равенства.

Примеры. На множестве целых чисел вычитание — операция, обратная сложению, так как уравнения

имеют единственные и совпадающие решения для всех аЬ из этого множества:

Вычитание на множестве целых чисел не имеет обратной операции, так как решениями уравнений.

являются Деление на множестве рациональных чисел также не имеет обратной операции. Если для каждого а е А существует обратный элемент и операция «о» ассоциативна, коммутативна и сократима, то уравнения.

имеют единственные и совпадающие решения, т. е. операция «°» имеет обратную операцию.

Действительно, решением данных уравнений является х = у = а о fe-i, так как.