Овладение десятичной системой

Для того чтобы разобраться в вопросе, как идет арифметическое развитие маленького школьника, надо помнить разницу между количественными и порядковыми числами: количественное число отвечает на вопрос «сколько?» и есть название данной совокупности однородных предметов, порядковые же числа могут рассматриваться как числа-номера. Оказывается, что порядковыми числами ребенок овладевает раньше, чем количественными. Так, например, один и тот же ребенок может уметь считать до 20, притом не механически твердя слова в определенном порядке, но пересчитывая предметы по порядку, и в то же время не сможет взять из лежащей перед ним кучи пуговиц 10 пуговиц. Поэтому для ребенка в области арифметики самое легкое — простое перечисление, простой счет: он может довольно далеко идти в счете, не умея в то же время оперировать с количественными числами. В связи с этим, понятия равенства и неравенства в математическом смысле вырабатываются у ребенка первоначально так, как они употребляются в арифметике порядковых чисел: большее число — одно из следующих по счету; меньшее — одно из предыдущих, равное — то же самое число в результате перечисления. Складывать на этой стадии для ребенка — значит присчитывать к одному числу другое. Само собой разумеется, что термины «количественное» и «порядковое» число мы употребляем здесь в математическом, а не в грамматическом смысле: в фразе «я живу в квартире номер восемь» восемь — порядковое число, хотя по грамматической форме это — количественное число. Порядковые числа в грамматическом смысле (так называемые числительные-прилагательные) маленький школьник употребляет редко.

Обыкновенно поступающий в школу ребенок владеет количественными числами до пяти. Эксперименты показали, что ребенку легче ответить на вопрос «сколько?», если с этим вопросом связано какое-нибудь соответствующее его собственное действие, чем если он просто смотрит на данную совокупность. Так, например, ребенку легче исполнить: «дай мне пять пуговиц», чем ответить на вопрос: «сколько у меня пуговиц?», если они лежат на руке экспериментатора. Еще трудней ребенку иметь дело с так называемыми отвлеченными числами. Поэтому методисты вполне правильно советуют в начале обучения арифметике пользоваться в качестве учебных пособий разными однородными конкретными предметами (палочки, бусы и т. п.), которыми оперировали бы сами дети. Общеизвестно, как любят дети пользоваться пальцами при оперировании числами первого десятка. Многие педагоги (Монтессори, Штеклин и др.) считают на этом этапе обучения пальцы незаменимым пособием.

На этом этапе (числа первого десятка или, точнее, числа второго пятка, так как первый пяток большинство детей уже знает при поступлении в школу) каждое новое количествсннос число усваивается детьми особо и оперирование с ним требует многих упражнений. При оперировании вначале ребенок пробует еще сводить оперирование с количественными числами к оперированию с порядковыми числами. Например, при решении задачи: «к трем прибавить три» он к трем присчитывает следующие три по единице, вместо того чтобы к трем сразу прибавить именно три (а не один… два… три и нс четыре… пять… шесть). Опытный педагог в таких случаях правильно старается отучивать ученика от такого присчитывания. Так как при десятичной системе все последующие оперирования включают в себя оперирование с однозначными числами, то твердое усвоение операций с однозначными числами — основа всего последующего. Опытный учитель стремится пройти этот начальный отдел арифметики возможно основательнее. Недоучивание здесь очень опасно. Наоборот, необходимо даже некоторое переучивание.

Уже давно школьная практика обратила внимание на то, что, пожалуй, никакой отдел арифметики не представляет для детей такой или большей трудности, как так называемый переход во второй десяток. Но причина этой трудности была неизвестна. Ее удалось открыть только в самое последнее время. В чем же она состоит? Некоторые методисты уже раньше обращали внимание на то, что эти трудности сразу же ликвидируются, если ребенку предлагать соответствующие задачи написанными не арабскими, а старыми римскими цифрами: тот самый ребенок, который беспомощно стоит перед задачей 6+9, сразу же легко решает ее, если она выглядит, как VI и VIIII. Давалось и объяснение этому: 6 и 9 не дают ребенку никакого наглядного представления, тогда как VI и VIIII он легко постигает как две руки и пять палочек, т. е. три руки, или 15. Объяснение это правильное, но не полное: оно не договаривает, почему ребенок легко оперирует рукой, как пятью, и стоит в затруднении перед всякой задачей, в которой результат превышает десять, если ему не удастся здесь воспользоваться своим умением оперировать пятью. Полное объяснение состоит в том, что ребенок в этой стадии еще не овладел десятичной системой: он только овладевает ею. Только после того как ребенок научился решать задачи, где сумма или уменьшаемое— число второго десятка, можно считать, что он уже вполне созрел для овладения десятичной системой. Это овладение заканчивается в тот момент курса арифметики, когда ребенок уже умеет считать десятками и записывать цифрами любое двузначное число.

Уже первые исследователи детских арифметических ошибок нашли, что наряду с «ошибками счета» и «ошибками мысли» (непонимание, неправильное рассуждение и т. п.) очень большое место занимают «ошибки письма». Кортис (Courtis) нашел, что ¾ всех ошибок при сложении на бумаге происходит от неправильного списывания цифр. Дело в том, что цифры 1, 7, 9 и 4, а также цифры 3, 8 и 5 в письме легко смешиваются. «Цифра 3 должна быть широко раскрыта, чтобы она отличалась от цифры 8; верхняя часть ее должна быть закругленной, чтоб се легко было отличить от 5; нижняя часть цифры 9 должна быть почти или совершенно прямой; цифры 1, 4, 7 и 9 должны быть легко различаемыми одна от другой. Есть несколько способов сделать их таковыми: пожалуй, лучше всего будет изображать 1 прямой линией, у цифры 4 оставлять верхнюю часть открытой и резко выражать угол, верхнюю черту у цифры 7 делать достаточно длинной, а верхнюю часть цифры 2 замыкать отчетливой кривой» (Торндайк).