Определение интервальной оценки для условного математического ожидания

Пусть имеем уравнение регрессии и его оценку.

(4.21).

где  — оценки метода наименьших квадратов параметров уравнения 113, 291.

Величина у есть линейная функция двух случайных величин и , имеющих нормальный закон распределения. Следовательно, также имеет нормальный закон распределения. Параметры этого закона получим, учитывая выражения (4.10) и (4.15). Математическое ожидание.

откуда . Для определения дисперсии предварительно докажем независимость величин и

Так как величины и имеют нормальный закон распределения, то независимость этих величин следует из их некоррелированности. Следовательно, нам достаточно доказать, что

Учитывая выражения (4.10) и (4.20) и то, что хi есть неслучайная величина, получим.

Так как , по условию есть независимые случайные величины с , то при , где . Следовательно,.

где :. Учитывая, что , после подстановки окончательно получим.

Этот результат получен для центрированных величин (), для которых выполняется условие . В этом случае и  — независимые случайные величины. Тогда согласно выражению (4.21) дисперсия величины равна сумме дисперсий слагаемых, т. е.

Подставив выражения (4.11) и (4.16) в это равенство, получим.

Таким образом,

Тогда нормированный нормальный закон распределения имеет величина.

(4.22).

. Учитывая статистики (4.22) и (4.12), получим выборочную характеристику.

которая имеет распределение Стьюдента (^распределение) с степенями свободы, т. е.

Тогда с надежностью у доверительный интервал для при заданном равен.

(4.23).

где определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости и числа степеней свободы

Интервальная оценка для прогнозного значения в точке определяется как.

(4.24).

Из формулы (4.24) следует, что у прогнозного значения дисперсия на больше, чем у величины . Согласно формуле (4.23) по мере удаления от среднего значения () ширина доверительного интервала увеличивается, а точность оценки уы снижается. Доверительный интервал имеет наименьшую величину, когда . Расположение доверительного интервала для при заданной у иллюстрирует рис. 4.2.

Рис. 4.2. Расположение доверительных границ в случае линейной регрессии.