Алгоритмы решения задач

Задачи на вычисление доходности. Методика решения подобных задач выглядит следующим образом:

• 1) определяется тип финансового инструмента, для которого требуется вычислить доходность. Как правило, тип финансового инструмента, с которым совершаются операции, известен заранее. Эта информация необходима для определения характера дохода, которого следует ожидать от этой ценной бумаги (дисконтный или процентный), и характера налогообложения полученного дохода (ставка и наличие льгот);
• 2) выясняются те переменные в формуле (1), которые необходимо найти;
• 3) если в результате получилось выражение, позволяющее составить уравнение и решить его относительно искомого неизвестного, то на этом процедура решения задачи практически заканчивается;
• 4) если не удалось составить уравнение относительно искомого неизвестного, то формулу (1), последовательно используя выражения (2)—(4), (6), (8) и (9), приводят к такому виду, который позволяет вычислить неизвестную величину.

Приведенный выше алгоритм можно представить схемой (рис. 7.1).

Задачи на сравнение доходности. При решении задач данного типа в качестве исходной используется формула (11). Методика решения задач подобного типа выглядит следующим образом:

• 1) определяются финансовые инструменты, доходность которых сравнивается между собой. При этом считается, что при нормально функционирующем рынке доходности различных финансовых инструментов приблизительно равны друг другу;
• 2) далее алгоритм решения задачи повторяет предыдущий, а именно:
  • • выясняются известные и неизвестные переменные в формуле (11);
  • • если в результате получилось выражение, позволяющее составить уравнение и решить его относительно искомого неизвестного, то уравнение решается и процедура решения задачи на этом заканчивается;
  • • если не удалось составить уравнение относительно искомого неизвестного, то последовательно используя выражения (2)—(4), (6), (8) и (9), формулу (11) приводят к такому виду, который позволяет вычислить неизвестную величину.

Приведенный выше алгоритм представлен на рис. 7.2.

Рис. 7.1. Алгоритм решения задачи на вычисление доходности

Рассмотрим несколько типовых вычислительных задач, решаемых с использованием предложенных методик.

Пример 1 (вычисление доходности). В начале года акция была куплена за 1000 руб. В конце года она была продана. При этом дисконтный доход от операции составил 200 руб. Определите (без учета налогов) годовую доходность этой операции.

Шаг 1. Ценной бумагой является акция. Эта ценная бумага может принести своему владельцу как процентный (дивиденды), так и дисконтный доход. В условии задачи говорится только о дисконтном доходе.

Шаг 2. Для решения задачи используем формулу (1). В этой формуле нам известны:

• — затраты на приобретение акции Z = 1000 руб;
• — доход, полученный владельцем акции, D = 200 руб.

Подставляя известные переменные в формулу (1), получаем выражение.

Шаг 3. Из условия задачи известно, что доход был получен за год (At = 1), и в задаче необходимо вычислить годовую доходность (АТ = 1). Используя формулу (2), получаем т = 1.

Рис. 7.2. Алгоритм решения задачи на сравнение доходностей

Шаг 4. Подставляем вычисленное значение т в формулу, полученную на шаге 2. В результате получаем значение годовой доходности операции.

Пример 2 (вычисление стоимости финансового инструмента). По какой цене инвестор может купить облигацию, если сложившаяся на рынке годовая доходность операций с финансовыми инструментами составляет 15%, а через год облигация погашается с купонной выплатой в размере 300 руб. Налогообложение не учитывать.

Шаг 1. Ценной бумагой является облигация. Эта ценная бумага может принести своему владельцу как процентный (купонные выплаты), так и дисконтный доход. В условии задачи говорится только о процентном доходе. Процентный доход выплачивается при погашении облигации. По условию задачи облигация была продана за год до срока погашения. Таким образом, процентный доход по ней не выплачивался.

Шаг 2. Для решения задачи используем формулу (1). В этой формуле нам известны:

— сложившаяся на рынке доходность операций с финансовыми инструментами d = 15%;

доход, который владелец облигации получит через год, D = 300 руб.

Подставляя известные переменные в формулу (1), получаем выражение.

Шаг 3. Из условия задачи известно, что доход будет получен за год (At = 1), и в задаче известна годовая доходность финансовых операций (АТ =1). Используя формулу (2), получаем т = 1.

Шаг 4. Подставляем вычисленное значение т в формулу, полученную на шаге 2, и получаем выражение.

Шаг 5. Разрешаем полученное выражение относительно Z В результате получаем формулу.

из которой следует, что Z = 2000 руб.

Пример 3 (вычисление дохода от операции с финансовым инструментом). Инвестор приобрел за 20 183 руб. облигацию с погашением через полгода. Доходность этой операции совпадала со среднерыночной и составила 18% годовых. На какой доход может рассчитывать инвестор при погашении облигации?

Шаг 1. Ценной бумагой является облигация. Эта ценная бумага может принести своему владельцу как процентный (купонные выплаты), так и дисконтный доход. В условии задачи вид дохода не утоняется, т. е. он может быть как процентам, так и дисконтным.

Шаг 2. Для решения задачи используем формулу (1). В этой формуле нам известны:

• — сложившаяся на рынке доходность операций с финансовыми инструментами d = 18%;
• — затраты на приобретение облигации Z = 20 183,49 руб.

Подставляя известные переменные в формулу (1), получаем выражение.

Шаг 3. Из условия задачи известно, что доход будет получен за пол года (At = ½), и в задаче известна годовая доходность финансовых операций (АТ =1). Используя формулу (2), получаем т = 2.

Шаг 4. Подставляем вычисленное значение т в формулу, полученную на шаге 2, и получаем выражение

Шаг 5. Разрешаем полученное выражение относительно D. В результате получаем выражение.

из которого следует, что D = 1816,51 руб.

Пример 4 (вычисление доходности). Депозитный сертификат был куплен за шесть месяцев до срока его погашения по цене 10 000 руб. и продан за два месяца до срока погашения по цене 10 400 руб. Определите (без учета налогов) доходность этой операции в пересчете на год.

Шаг 1. Тип ценной бумаги указан явно: депозитный сертификат. Эта ценная бумага, выпущенная банком, может принести своему владельцу как процентный, так и дисконтный доход. Однако по условию задачи депозитный сертификат был продан за два месяца до погашения, т. е. по нему процентный доход не выплачивался (Дб = 0).

Шаг 2. Из формулы (1) получаем выражение.

Однако уравнения для решения задачи мы еще не получили, так как в полученном выражении величины D их остались неопределенными.

Шаг 3. Используем для решения задачи формулу (2), в которой АТ = = 12 месяцев и At = 6- 2 = 4 месяца. Таким образом, т = 3. В результате получаем выражение.

Данное уравнение также не может быть использовано для решения поставленной задачи, так как величина D не определена.

Шаг 4. Из формулы (3), учитывая, что Дб = 0, получаем выражение.

Данное выражение также не позволяет решить поставленную задачу, так как дисконтный доход (Ad) не определен.

Шаг5. Из формулы (4), учитывая, что Р_пр = 10 400 руб. и Р_пок = 10 000 руб., получаем выражение, которое позволяет решить поставленную задачу:

Пример 5 (сравнение доходностей). Определите цену размещения Z банком своих векселей (дисконтных) при условии, что вексель выписывается на сумму 200 000 руб. со сроком платежа At₂ = 300 дней, банковская процентная ставка равна Р = 14% годовых. Год принять равным 360 дням.

Шаг 1. Первый финансовый инструмент представляет собой депозитный вклад в банке. Второй финансовый инструмент является дисконтным векселем.

Шаг 2. В соответствии с формулой (10) доходности финансовых инструментов должны быть приблизительно равны друг другу:

Однако эта формула не представляет собой уравнение относительно неизвестной величины.

Шаг 3. Детализируем уравнение, используя для решения задачи формулу (11). Примем во внимание, что AjTj = ДТ₂ = 360 дней, At_{ = 360 дней и Дt₂ = 300 дней. Таким образом, = 1 и т₂ = 360: 300 = 1,2. Учтем также, что Z_{ = Z₂ = Z. В результате получаем выражение.

Данное уравнение также не может быть использовано для решения поставленной задачи.

Шаг 4. Из формулы (6) определяем сумму, которая будет получена в банке при выплате дохода по простой процентной ставке с одной процентной выплатой:

Из формулы (4) определяем дисконтный доход, который получит владелец векселя:

Подставляем данные выражения в формулу, полученную на предыдущем шаге, и получаем.

Данное уравнение решаем относительно неизвестного Z и в результате находим цену размещения векселя, которая будет равна Z= 179 104,48 руб.