Простые и сложные проценты

Рассмотрим пример размещения 100 руб. на банковском депозите под 10% сроком на один год. Текущая стоимость PV составляет 100 руб.

Через год инвестор на вложенный вклад получит 10%, или 10 руб. Сумма денежных средств через год равна сумме вклада плюс накопленные проценты (100 + 10 = 110 руб.). Следовательно, будущая стоимость сегодняшних 100 руб. равна 110 руб.

Будущую стоимость (future value, FV) можно определить по формуле.

где PV — текущая стоимость; г — рыночная процентная ставка.

В нашем примере будущая стоимость.

Если через год инвестор из банка не забирает ни проценты, ни сумму первоначального взноса, а размещает эти средства на депозите сроком еще на один год, то будущая стоимость размещенных средств составит.

В общем виде будущую стоимость текущих денежных средств можно представить как.

где г — годовая процентная ставка; (1 + г) — коэффициент наращения; п — число лег наращения.

В рассмотренном примере условиями размещения денежных средств предусмотрено, что инвестор вкладывает средства на несколько лет под определенный процент. При этом сумма накопленных процентов не изымается, а остается на счете инвестора, и на нее начисляются проценты.

Однако условия вклада могут быть и иные. Инвестор каждый год забирает накопленные проценты, а проценты за следующий год начисляются только на первоначальную сумму. В зависимости от способа начисления процентов на вложенный капитал различают простые и сложные проценты.

Простые проценты. По отдельным видам финансовых вложений доход начисляется по методу простых процентов. К таким формам инвестиций относятся депозитные сертификаты и облигации, по которым проценты начисляются на номинальную стоимость данных финансовых инструментов. Например, если инвестор приобрел облигацию номинальной стоимостью 1000 руб. со сроком погашения через 1,5 года под 10% годовых, то по окончании срока его доход составит 1000 * 0,1 • 1,5 = 150 руб.

Таким образом, если годовая ставка составляет 10%, то при методе простых процентов доход инвестора через год составит 10%: через 1,5 года — 15; через 2 года — 20; через 3 года — 30% и т. д.

При начислении простых процентов будущая стоимость определяется по формуле

Рассмотрим пример, когда на вложенные инвестиции доход начисляется по методу простых процентов. Вкладчик размещает 1 млн руб. на депозите сроком на пять лет под 10% годовых. После завершения срока сумма средств, которыми будет располагать инвестор, составит 1(1 + 0,1−5)=1,5 млн руб., из которых 1 млн руб.— это сумма первоначального взноса и 500 000 руб. представляют накопленные проценты.

Сложные проценты. При проведении финансовых вычислений в большинстве случаев пользуются не простыми, а сложными процентами, начисляемыми не только на первоначальную сумму, но и на сумму процентов, накопившихся за истекший период. В этом случае процентный доход не изымается, а остается на счете и прибавляется к величине первоначального взноса.

В основе метода сложных процентов лежит та же методика начисления ежегодных простых процентов, которые начисляются на первоначальный вклад и накопленную сумму. Будущую стоимость, но методу сложных процентов рассчитывают, но формуле.

Рассмотрим, как изменится сумма вклада в рассмотренном выше примере, если при начислении использовать метод сложных процентов. При размещении на банковском депозите суммы в размере 1 млн руб. сроком на пять лет под 10% годовых конечная сумма при исчислении методом сложных процентов составит.

Полученная сумма на 110 510 руб. больше, чем сумма, полученная при начислении простых процентов.

Метод сложных процентов всегда интриговал людей. Джон Кейнс назвал этот процесс магией сложных процентов. Действительно, на длительных отрезках времени первоначальные суммы, вложенные под сложный процент, увеличиваются очень существенно. Это хорошо очевидно из табл. 4.1, в которой приведены данные, но приросту инвестиций в размере 100 долл, при простом и сложном проценте на 200-летнем отрезке времени.

Интересные факты

• 1. Английский астроном Френсис Бейли в 1810 г. подсчитал, что если в год рождения Христа положить 1 иене иод 5% годовых, то за эти годы он превратился бы в такое количество золота, которого хватило бы для заполнения 357 млн земных шаров.
• 2. Остров Манхэттен (США) был приобретен в 1626 г. Питером Минуитом у местных индейцев за сумму, равную примерно 25 долл. США. В настоящее время совокупная стоимость острова исчисляется миллиардами долларов. Однако если бы Питер вложил свои 25 долл, в банк под 7% годовых, то в настоящее время он бы получил 3,6 трлн долл. США, что существенно больше нынешней стоимости острова со всеми сооружениями на нем. Вот к чему приводит принятие однажды неправильного решения.

Таблица 4.1

Стоимость инвестиций в размере 100 долл, на конец года при 10% ставке

Таблица показывает, что в первый год разница в доходе между простым и сложным процентом равна нулю. Затем эта разница начинает незначительно возрастать. Она весьма велика для 50-летнего и громадна для 200-летнего периода.

Для удобства расчета будущей стоимости применяют специальные таблицы, показывающие будущую стоимость денежной единицы через п лет при соответствующей годовой процентной ставке (приложение 1). Фрагмент этой таблицы представлен ниже (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Будущая стоимость денежной единицы.

Пользуясь табл. 4.2, определим, сколько денежных средств будет на счете инвестора, положившего 1000 руб. на банковский депозит под 10% сроком на 15 лет. Мы движемся по столбцу «годы» до строки 15 лет, а затем перемещаемся, но этой строке вправо до столбца 10%. Па пересечении строки и столбца показано, во что превратится 1 руб. через 15 лет, положенный на депозит под 10% годовых. Эта цифра равна 4,177. Следовательно, для нашего примера будущая стоимость вклада.

Динамика изменения первоначального вклада при простом и сложном начислении процентов представлена на рис. 4.3.

При простом проценте увеличение стоимости идет равномерно. Первоначальная сумма инвестиций каждый год увеличивается па одинаковую величину, что иллюстрирует прямая линия. При сложном проценте наблюдается ускоренный рост накоплений. Кривая роста тем круче, чем выше ставка процента и длиннее срок инвестирования.

Интересные наблюдения Правило 72 (удвоение сбережений)

Инвестор приобрел пакет акций компании «Уралкалий» за 10 млн руб., а через четыре года продал его за 20 млн руб., увеличив свой капитал в два раза. Интересно узнать, какую среднегодовую доходность он получил от своих инвестиций, рассчитанную по методу сложных процентов?

«Правило 72» позволяет нам быстро без помощи калькулятора определить доходность этих инвестиций. «Правило 72» гласит: если число 72 разделить на число лет, за которое было достигнуто удвоение инвестиций, то получим процентную ставку, показывающую среднегодовую доходность наших инвестиций. В рассматриваемом примере Доходность = 72/Число лет = 72/4 = 18%.

Если известна процентная ставка, под которую можно разместить денежные средства на финансовом рынке, то, пользуясь «правилом 72», легко определить, сколько лет должно пройти, чтобы инвестиции удвоились. Например, банк предлагает депозит под 7% годовых. Чтобы рассчитать период удвоения, необходимо 72 поделить на процентную ставку, что в нашем примере составит Число лет = 72/7 = 10,3 года.

Следует отметить, что «правило 72» дает приближенное значение числа лет и процентов, необходимых для удвоения инвестиций. Например, для удвоения вложений за четыре года необходима годовая доходность в размере 19%, а не 18%, как получилось при использовании «правила 72». Для того чтобы вложения, размещенные иод 7% годовых, удвоились, необходимо 10,2 года, а, но «правилу 72» получилось 10,3 года. Как видите, разница несущественна, и этот подход вполне может применяться для приблизительной оценки инвестиционных решений.

Изменяющиеся процентные ставки. Финансовый рынок — очень динамичный, что отражается в изменении процентных ставок. Когда экономика находится на стадии роста, то спрос на денежные средства со стороны компаний высокий, вследствие чего растут процентные ставки. Если экономика находится в состоянии застоя, то спрос на средства маленький, и соответственно снижаются процентные ставки. Принимая долгосрочные финансовые решения, финансовые менеджеры и частные инвесторы должны учитывать изменение процентных ставок, чтобы определить будущую стоимость своих вложений.

Например, банк предлагает разместить средства на депозите сроком на три года под 8% годовых. По годовому депозиту процентная ставка установлена на уровне 7%. На первый взгляд предпочтение следует отдать трехлетнему депозиту, так как там процентная ставка выше. Но для правильного принятия решения необходимо учесть изменение процентных.

Рис. 43. Рост стоимости при простом и сложном проценте ставок в последующие годы. Если мы ожидаем, что экономика будет развиваться и процентные ставки будут меняться в сторону повышения, то расчеты следует делать с учетом прогнозных процентных ставок. Ожидаемые процентные ставки через год составят 9%, а еще через год 10,0%.

На основании прогнозных данных сделаем расчеты ожидаемой доходности за три года. При размещении на трехлетием депозите суммарная доходность (7?з) составит.

Если средства разместить на годовом депозите, а затем их реинвестировать по прогнозным процентным ставкам, то суммарная ожидаемая доходность (i?_OJK) составит.

Как мы видим, второй вариант оказывается более выгодным.

Частота процентных платежей (эффективные процентные ставки).

Кроме годового начисления процентов, встречаются формы инвестиций, по которым проценты начисляются несколько раз в течение года. Типичный пример такой ситуации — это банковские кредиты и депозиты.

Банки в большинстве случаев предлагают вкладчикам депозитные вклады с начислением процентов один раз в год. Однако в ряде случаев банки предлагают депозиты с начислением процентов несколько раз в течение года. Рассмотрим пример поведения вкладчика при выборе депозитного вклада. Банк предлагает два вида годовых депозитов. Условия первого депозита предусматривают начисление на сумму вклада 10,2%, которые выплачиваются по истечении года. По второму депозиту ставка составляет 10% годовых, при этом проценты на сумму вклада начисляются ежемесячно и капитализируются.

Предположим, человек размещает средства на банковском депозите сроком на год. При размещении средств на депозите первого вида, но которому начисление процентов идет один раз в год, вкладчик в конце срока действия депозитного договора получит сумму 110 200 руб.

По второму депозиту с капитализацией процентов вкладчик фактически размещает свои средства под 0,833% в месяц (10%: 12). Чтобы рассчитать сумму, которую получит вкладчик в конце срока действия депозитного договора, необходимо воспользоваться формулой сложных процентов:

Таким образом, доходность по второму депозиту составит 10,47%. Поэтому рациональный инвестор выберет депозит второго вида, так как итоговая доходность данного депозита за счет капитализации процентов получается выше.

Процентная ставка, учитывающая частоту процентных выплат, называется эффективной процентной ставкой. Общая формула определения эффективной процентной ставки (г_Эф) имеет следующий вид:

где г — номинальная процентная ставка; т — частота начисления процентов в течение года.

В рассматриваемом примере эффективная процентная ставка.

Наиболее часто приходится сталкиваться с начислением процентов несколько раз в течение года при банковском кредитовании. Банки предпочитают выдавать кредиты, по условиям которых предусмотрены месячные выплаты процентов. Например, в кредитном договоре установлена годовая процентная ставка 12%. При этом оговорено, что заемщик должен выплачивать проценты, но кредиту ежемесячно. По сути, заемщик получил деньги под 1% в месяц. В этом случае по истечении каждого месяца заемщик должен выплачивать банку сумму, равную 1% величины кредита, а банк полученные проценты будет реинвестировать на финансовом рынке и получать дополнительный доход.

Таким образом, доходность инвестиций может различаться в зависимости от условий начисления процентов. Для того чтобы обеспечить сопоставимость процентных ставок, необходимо рассчитывать эффективные процентные ставки, учитывающие частоту процентных выплат.

Эффективная годовая процентная ставка — это годовая процентная ставка, обеспечивающая такой же процентный доход, как и номинальная процентная ставка при начислении процентов несколько раз в году.

Номинальные и эффективные процентные ставки приведены в табл. 4.3.

Таблица 43

Номинальные и эффективные процентные ставки

Из табл. 4.3 очевидно, что если выплаты осуществляются один раз в год, то номинальная процентная ставка, указанная в договоре, равна эффективному проценту. Если же проценты начисляются несколько раз в году, то эффективный процент больше номинальной процентной ставки. Например, если в договоре указана годовая процентная ставка 15%, а начисление процентов осуществляется ежеквартально, то фактически через год инвестор заработает 15,87%. Если банк предлагает два варианта размещения средств на депозите:

• а) 15,5% с выплатой раз в год;
• б) 15% с ежеквартальным начислением процентов,

то вариант 6) более выгоден, так как фактическая доходность составит 15,87%.

Данные таблицы свидетельствуют о том, что чем чаще осуществляется начисление процентов в течение года, тем выше фактическая доходность по сравнению с номинальной. Поэтому при инвестировании средств необходимо учитывать частоту процентных выплат.