Постановка задачи и условия разрешимости

Пусть объект описывается матричной передаточной функцией размерности N х N, элементами которой являются последовательно соединенные апериодические звенья и звенья чистого запаздывания. Требуется разработка процедуры для оптимизации регулятора, которая позволила бы рассчитать регулятор в виде функциональной матрицы, также размерности N х N, элементами которой были бы физически реализуемые звенья в виде рациональных дробей, например ПИД-регуляторы.

Задача разрешима, если матрица объекта не вырождена. Если же эта матрица вырождена, т. е. определитель ее равен нулю, то задача не может быть решена.

В отношении функциональной матрицы понятие вырожденное™ формально может и не выполняться, но детерминант может оказаться малым либо нулевым в области, например, только малых частот (или нулевых частот). Это означает, что задача не имеет статического решения, хотя в динамике она может быть решена.

Пример 12.4. Рассмотрим пример неразрешимой задачи управления многоканальным объектом. Пусть передаточная функция объекта имеет следующий вид:

Первый столбец матрицы (12.2) пропорционален второму столбцу. Поэтому выходные сигналы такого объекта связаны, обеспечить автономное управление выходными величинами невозможно.

Пример 12.5. Рассмотрим пример неразрешимой задачи управления многоканальным объектом. Пусть передаточная функция объекта имеет следующий вид:

Первый столбец матрицы (12.3) непропорционален второму столбцу, поэтому выходные сигналы такого объекта не связаны и обеспечить автономное управление выходными величинами возможно. Однако в статическом режиме (при t —> °о) матрица превращается в числовую матрицу, 5 = 0, и эта числовая матрица вырождена:

Значит, система не может пребывать в произвольном требуемом статическом состоянии при статическом состоянии управляющих сигналов. Это может быть достигнуто лишь при непрерывном изменении управляющих сигналов. В некоторых случаях такое решение может считаться удовлетворительным, в других случаях оно недопустимо.