Логическое строение математических теорий. 
Аксиомы, требования к системе аксиом

Математические теории отличаются аксиоматическим или логическим построением. Чтобы раскрыть суть такого построения, рассмотрим некоторые понятия.

Суждения — предложения, в которых выражена мысль о предмете, объектах, явлениях.

Два основных свойства суждений: что-то отрицает или утверждает; является истинным или ложным.

Структура суждения: логическое подлежащее (субъект мысли); логическое сказуемое (предикат мысли); логическая связка.

Виды суждений'.

• • общеутвердительное (образуется с помощью кванторных слов: всякий, любой);
• • частноутвердительное (образуется с помощью кванторных слов: существуют, некоторые…);
• • общеотрицательное (образуется с помощью кванторных слов: ни один, никакой, не существует…);
• • частноотрицательное (образуется с помощью кванторных слов: не всякий, не любой…).

Часто кванторные слова опускаются, считается, что они понятны из смысла всего предложения.

Математическое предложение — повествовательное предложение, выражающее суждение о математических объектах. Множество математических предложений, описывающее какую-то структуру или какой-то аксиоматизируемый класс структур, образует математическую теорию. В школе учащихся знакомят с таким методом построения научных теорий, как аксиоматический метод.

Дать определение всем понятиям невозможно. Определяя понятия через какие-то другие, мы приходим к исходным понятиям — «кирпичикам» теории. В математической теории эти понятия называют неопределяемыми, а описываются они аксиомами.

Аксиома (в переводе с греч. — значимое, принятое положение, считаю достойным…) — математическое предложение, которое принимается без доказательств в рамках данной теории. Выделенные курсивом слова важны, так как в рамках одной системы аксиом математическое утверждение может быть теоремой, а в рамках другой — аксиомой.

Изначально к аксиомам относили очевидные утверждения. Евклид (около III в. до н.э.) выделил 14 аксиом в «Началах». Их оказалось недостаточно, чтобы вывести остальные утверждения логическим путем. Да и очевидность оказалась необязательна для аксиомы, что доказало открытие неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским, Я. Больяи и, как предполагают, К. Гауссом. Они установили, что, заменив V постулат Евклида о параллельных, его отрицанием можно чисто логическим путем развивать геометрическую теорию. Этот факт заставил математиков XIX в. обратить специальное внимание на дедуктивный способ построения математических теорий, что повлекло за собой возникновение связанной с самим понятием аксиоматического метода формальной (аксиоматической) теории, па основе которой выросла так называемая теория доказательств.

Аксиоматика, традиционно изучаемая в школе, была разработана Д. Гильбертом и описана в «Основаниях геометрии» (1899). Аксиоматика включает пять групп аксиом.

Построение научной теории предполагает выделение конечной системы аксиом, обладающей свойствами непротиворечивости, полноты и независимости. Новые понятия вводятся через определения, которые включают лишь логически независимые свойства понятия (основное содержание). Остальные свойства логически зависимы от основного содержания и выводятся из него. Отношения между понятиями выражают математические предложения. Кроме аксиом, все остальные предложения теории выводятся логическим путем с использованием законов логики, правил вывода, положений теории множеств. Понятно, что в школе учащимся многие знания не даются, поэтому изучение математики в школе ведется в рамках содержательной теории, в значительной мере присутствует интуитивный компонент. Не все требования к системе аксиом выполняются.

Принадлежность предложения к некоторой математической теории определяется двумя признаками:

• • предложение сформулировано или записано на языке данной теории, состоит из математических и логических (принадлежащих языку теории) терминов или символов и не содержит никаких других терминов или символов;
• • предложение истинно в силу того, что оно является исходным истинным предложением в данной теории (аксиомой) или его истинность доказывается (используются исходные или ранее доказанные истинные предложения).

Например, рассмотрим математическое предложение: «Сумма углов треугольника равна 180°». Опущено слово «любого»: «Сумма углов любого треугольника равна 180°».

Кванторы играют в математике важную роль, они влияют в определенной мере на выбор способа доказательства, поэтому целесообразно при работе с теоремой обратить внимание учащихся на вид суждения и выделить кванторные слова.

Предложение общеутвердительное, геометрическое, принадлежит теории евклидовой геометрии, так как:

• • сформулировано на языке геометрии: состоит из геометрических терминов (сумма углов, треугольник, 180°), логических терминов (любой, равна);
• • оно истинно, так как доказывается в рамках евклидовой геометрии.

Самостоятельно объясните принадлежность или не принадлежность соответствующим математическим теориям следующих предложений: «Прямая имеет вид туго натянутой нити» (1); «Неравенства одинакового смысла можно складывать» (2); «Сумма углов треугольника не равна 180°» (3).

Но следует отметить, что первое предложение выполняет дидактическую функцию на первоначальном этапе изложения евклидовой геометрии.