Сопоставление двух экспериментальных распределений

При сравнении двух экспериментальных выборок их объемы, в общем случае, могут различаться — обозначим их n_f и п_у число градаций признака, безусловно, одинаково для обеих выборок и составляет g; тогда количество измерений в каждой выборке, попадающих в градацию номер / обозначим, соответственно, п_и и п.₂ (7 = l…g). Значение Х²_Ш11 находится по формуле:

В ряде пособий, посвященных статистической обработке экспериментальных результатов, X¹ вычисляется через частоты попадания измерений в тот или иной интервал (градацию) — такой подход точнее передает смысл критерия, однако, на наш взгляд, для практического использования приведенные выше формулы более удобны, поскольку основываются непосредственно на экспериментальных данных и не требуют промежуточных расчетов частот; при необходимости, не составляет труда перейти от п_и и п.₂ к соответствующим частотам:

Следует подчеркнуть то обстоятельство, что поскольку в расчетную формулу х²_жп, входят квадраты разностей частот, данный критерий фиксирует только существование различий в распределениях, но не направление изменения признака. Другими словами, одинаковое различие распределений может быть получено как в случае, когда в экспериментальной группе доля хорошо успевающих студентов выросла по сравнению с контрольной, так и в случае, когда она понизилась.

Для выявления направления сдвига необходимо пользоваться иными статическими методами ({/-критерий Манна-Уитни, 5-критерий Джонкира, G-критерий знаков и др.).

Критическое значение (х*) определяется по числу степеней свободы (v) данной задачи, которое на единицу меньше числа возможных градаций признака (g):

Далее для v и р по таблице «Критических значений х^2- критерия Пирсона» находится критическое значение критерия. При условии Х²_ЖСЛ > Х²_кр принимается экспериментальная гипотеза; при обратном соотношении — она отвергается. С ростом v возрастает и х²_кр*.

Следует обратить внимание на то, что, в отличие от других методов, критическое значение критерия Пирсона не зависит от объема экспериментальных выборок и определяется только числом степеней свободы. В то же время, при увеличении объема выборки чаще всего растет %²_шп — по этой причине при одних и тех же соотношениях частот большая выборка сможет обеспечить принятие экспериментальной гипотезы, а меньшая — нет.

Пример 5. На констатирующем этапе опытно-экспериментальной работы было зафиксировано отношение студентов к различным циклам дисциплин вузовского курса (табл. 28). Опрос был проведен с целью выяснения степени значимости различных дисциплин в будущей профессиональной деятельности выпускников вуза. Общее число опрошенных составило 97 человек. Можно ли утверждать, что зафиксировано достоверное различие в предпочтениях?

Если бы предпочтения отсутствовали, то в среднем каждый цикл дисциплин указали бы 25 % студентов, то есть реализовалось бы равномерное распределение испытуемых по четырем возможным градациям; результаты опроса, на первый взгляд, отличаются от равномерного распределения; проверить, достоверно ли это, можно с помощью критерия Пирсона, поскольку выполнены условия его применимости.

Н₀ Отсутствует достоверное отличие распределения предпочтений циклов учебных дисциплин у студентов вуза от равномерного.

Я_;: Распределение предпочтений достоверно отличается от равномерного.

Таблица 28

Оценка степени значимости различных дисциплин в будущей профессиональной деятельности (сводные по вузам, в % к числу опрошенных).

Рассмотрим вариант решения. Из данных опроса выделим число студентов, ответивших по циклам дисциплин, имеющим важное значение в профессиональной деятельности (табл. 29).

Таблица 29

Оценка студентами различных дисциплин, имеющих важное значение в профессиональной деятельности.

п. — количество студентов; g = 4; v= 3.

Находим суммы значений: числа испытуемых и сумма (п_ь)².

Для равномерного распределения Вычисляем у² =1,597.

Число степеней свободы в данной задаче v = 3. Для v = 3 и р ?0,05 по таблице критических значений х² — критерия Пирсона находим Х²_кр⁼ 7,815 [48, с. 208].

Поскольку %²_эксп < Х²_Ч> принимается гипотеза Н₍₎

Пример 6. Рассмотрим на основе данных примера 5 степень значимости цикла специальных дисциплин в профессиональной деятельности по данным опроса студентов (табл. 30).

Таблица 30

Оценка степени значимости специальных дисциплин в профессиональной деятельности.

п- количество студентов; g = 4; v = 3.

Находим сумму значений: числа испытуемых и сумму (n.J².

Вычисляем у² = 11.

^Л эксп

Число степеней свободы в данной задаче v = 3. Для v= 3 и р < 0,05 по таблице критических значений х^2-кР^итерия Пирсона [48, с. 208] находим у²_кр = 7,815.

Поскольку у² _жс> у}_кр принимается гипотеза Н_г