Основные уравнения. 
Технология конструкционных материалов. 
Основы размерного анализа

Найдем зависимости между основными параметрами замыкающего звена и составляющих звеньев плоской размерной цепи с параллельными звеньями. Для этого сначала обратимся к рис. 1.1, а.

Рис. 1.5. Три вида связей размерных цепей: а — параллельный; б — последовательный; в — параллельно-последовательный

Очевидно, что номинальное значение замыкающего звена А_д составит В общем случае при п увеличивающих и р уменьшающих звеньев в размерной цепи получим.

Это уравнение принято называть уравнением размерной цепи или уравнением номиналов.

Используя понятие передаточного отношения которое равно +1 для увеличивающих и -1 для уменьшающих звеньев, уравнение размерной цепи можно записать в более компактной форме:

Очевидно (рис. 1.1, а), что наибольшее и наименьшее предельные значения замыкающего звена А_д выразятся через предельные значения составляющих звеньев А| и А₂ следующим образом:

Для установления зависимости между допуском замыкающего звена и допусками составляющих звеньев размерной цепи вычтем почленно из уравнения (1.3) уравнение (1.4). При этом получим или окончательно.

В общем случае.

то есть допуск замыкающего звена равен сумме допусков составляющих звеньев.

Найдем зависимости между предельными отклонениями замыкающего звена и составляющих звеньев размерной цепи. Из схемы, приведенной на рис. 1.6, следует, что наибольшее и наименьшее предельные значения составляющих звеньев и замыкающего звена могут быть записаны в виде.

В выражениях (1.6−1.9) А_вА_/5 А_ВА_Д — верхние отклонения составляющих звеньев и замыкающего звена; А_НА,-, А_НА_Д — их нижние отклонения. Подставляя эти выражения в уравнения (1.3) и (1.4), будем иметь:

Таким образом, верхнее отклонение замыкающего звена равно разности сумм верхних отклонений увеличивающих звеньев и нижних отклонений уменьшающих звеньев, а нижнее отклонение замыкающего звена равно разности сумм нижних отклонений увеличивающих звеньев и верхних отклонений уменьшающих звеньев.

Установим зависимость между координатой середины поля допуска замыкающего звена (Д₀А_д) и координатами середин полей допусков составляющих звеньев (AqA,). Для этого в соответствии со схемой (рис. 1.6) выразим предельные отклонения замыкающего звена и составляющих звеньев через координату середины поля допуска и допуск.

Рис. 1.6. Схема размеров, допуска и отклонений Вычитая почленно из этих уравнений уравнение (1.1), получим:

Подставляя эти выражения в уравнения (1.10) и (1.11), имеем:

Сложив почленно эти уравнения и разделив левую и правую части полученного в результате этого равенства на 2, получим следующую зависимость:

т. е. координата середины поля допуска замыкающего звена равна разности сумм координат середин полей допусков увеличивающих и уменьшающих звеньев.

Если ввести передаточные отношения, то уравнение (1.16) примет вид.

Выразим среднее значение замыкающего звена (А_д) через средние значения составляющих звеньев (А,). Для этого сложим почленно.

'ср уравнение (1.16) и уравнение (1.1). В результате получим Учитывая, что (см. рис. 1.3).

будем иметь.

т. е. среднее значение замыкающего звена равно разности сумм средних значений увеличивающих и уменьшающих звеньев.

Используя передаточные отношения, уравнение (1.18) можно записать в виде Зависимости (1.3−1.5) и (1.10—1.11) получены в предположении, что в размерной цепи возможно одновременное сочетание наибольших увеличивающих и наименьших уменьшающих звеньев или их обратное сочетание. Метод расчета размерных цепей, основанный на использовании этих зависимостей, получил название метода максимума-минимума. Он обеспечивает полную взаимозаменяемость, исключая появление брака.

Между тем вероятность такого сочетания составляющих звеньев у конкретного изделия весьма мала. Указанное обстоятельство, а также законы распределения размеров этих звеньев учитываются в вероятностном методе расчета размерных цепей, который отличается от метода максимума-минимума расчетом допуска замыкающего звена.

Полагая, что распределения размеров составляющих звеньев соответствуют нормальному закону, а границы полей рассеивания со₍ = 6а_Л

совпадают с границами их полей допусков, можно принять:

или Так как среднее значение замыкающего звена представляет собой алгебраическую сумму средних значений составляющих звеньев, то в соответствии с известной в теории вероятностей теоремой о дисперсии суммы независимых случайных величин (составляющих звеньев) будем иметь:

Учитывая соотношение (1.20), можем записать:

или.

Отмстим, что при расчете по формуле (1.21) у 0,27% изделий значение замыкающего звена может выйти за пределы допуска.

В общем случае, в том числе при распределениях размеров составляющих звеньев, отличающихся от нормального, допуск замыкающего звена плоской размерной цепи с параллельными звеньями определяется по формуле где t_A — коэффициент риска; 3, — - относительное среднее квадратическое отклонение (безразмерный коэффициент).

Эго отклонение находится из соотношения.

или Коэффициент риска t_A определяет вероятность попадания размеров замыкающего звена в пределы его поля допуска. Этот коэффициент выбирают из таблиц значений функции Лапласа Ф (/) в зависимости от принятого риска Р.

При нормальном законе распределения размеров замыкающего звена и равновероятном его выходе за обе границы поля допуска значение Р, %, связано со значением Ф (/) формулой.

Ряд значений коэффициента /_д приведен в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Значения коэффициента А, — составляют:

? при нормальном законе (законе Гаусса) распределения размеров составляющих звеньев А, = 1 / 9;

• ? при распределении по закону Симпсона (равнобедренного тре-
• 2

угольника) А" = 1/6;

• 2
• ? при распределении по закону равной вероятности А, = 1 / 3.

Нормальное распределение размеров чаще всего имеет место при крупносерийном и массовом производстве изделий, распределение по закону Симпсона — при серийном производстве, распределение по закону равной вероятности — при единичном производстве.

Если принять, что распределение размеров составляющих звеньев является нормальным, а риск Р = 0,27%, то А,² = 1/9, коэффициент t_A = 3 (см. табл. 1.1) и формула (1.22) преобразуется в формулу (1.21).

При расчетах размерных цепей возникают две основные задачи: прямая (проектная) и обратная (проверочная).

Прямая задача состоит в том, чтобы по известным номинальным значениям всех звеньев размерной цепи, допуску и предельным отклонениям замыкающего звена определить допуски и предельные отклонения составляющих звеньев.

Обратная задача заключается в том, чтобы по известным номинальным значениям, допускам и предельным отклонениям составляющих звеньев определить номинальное значение, допуск и предельные отклонения замыкающего звена.