Игровые модели в условиях коммерческого риска

Риск определяется возможностью отклонения от желаемого результата в сторону ущерба или успеха в ситуации выбора решения с несколькими альтернативами.

Для принятия решений в условиях риска используют методы теории вероятностей и математической статистики. В таком случае факторы, например, определяющие состояние среды, представляют собой либо случайные величины, либо случайные функции. Они описываются какими-либо статистическими характеристиками, например математическим ожиданием и дисперсией, и обладают статистической устойчивостью. Принимающий решение ориентируется на средние, наиболее вероятные результаты, например, дохода, однако при этом не исключен риск получения не того результата, на который была рассчитана коммерческая стратегия, тогда мерой риска можно считать среднее квадратическое отклонение.

Тогда путем сравнения на плоскости соответствующих каждому решению, например, среднего ожидаемого дохода q_x и риска г_х можно выбрать доминирующее решение. Однако если появляются несравнимые пары q_iy r_v и, следовательно, недоминирующие решения, то образуется множество оптимальностей, но Парето, среди которого и следует искать лучшее решение.

Ситуации, в которых риск связан не с сознательным противодействием противоположной стороны (среды), а с недостаточной осведомленностью о ее поведении или состоянии лица, принимающего решение, называются «играми с природой».

В таких играх человек старается действовать осмотрительно, например используя стратегию, позволяющую получить наименьший проигрыш. Второй игрок (природа) действует незлонамеренно, совершенно случайно, возможные стратегии его известны (стратегии природы). Такие ситуации исследуются с помощью теории статистических решений.

Рассмотрим «игру с природой» в условиях частичной неопределенности. Пусть у игрока I имеется т возможных стратегий ЛI, А2,…, А_т и можно сделать п предположений о состояниях природы (среды) П_1? Г1₂, …, П" с известными вероятностями их появления р_у Пусть известен выигрыш а_1р г = 1, m, j = 1, Пу который получает игрок I при выборе стратегии А, для каждого состояния природы П_у.

Тогда можно составить платежную матрицу А следующего вида:

Таблица 3.11

n

В этом случае XPj = 1 и можно найти величину математического ожидания выигрыша для каждой стратегии Л,.

Оптимальной будет считаться та стратегия, для которой эта величина принимает максимальное значение М* = тахМ,.

j

При этом следует заметить, что оптимизация в среднем не исключает полностью влияния фактора случайности.

Пример 3.11. Для доставки свежих фруктов из Кишинева в Москву можно использовать три вида транспорта: Т — воздушный, Т₂ — автомобильный, Г₃ — железнодорожный. Ожидаемые величины дохода а" с учетом затрат на транспортировку, погрузочно-разгрузочные работы и сроков доставки фруктов и потерь и вместе с условными вероятностями их получения Ру представлены в виде матрицы в табл. 3.12.

Таблица 3.12

Для выбора наиболее оптимального варианта доставки свежих фруктов сначала находим для каждого вида транспорта математическое ожидание выигрыша:

а затем определяем максимальное значение этого показателя, которое и указывает на оптимальное решение.

следовательно, наиболее выгодно доставлять свежие фрукты в Москву из Кишинева железнодорожным транспортом.

При исследовании «игры с природой» вводится показатель, позволяющий оценить, насколько то или иное состояние «природы» влияет на исход. Этот показатель называется риском.

При пользовании стратегией Л, и состоянием среды П_; разность между максимально возможным выигрышем (3, при данном состоянии «природы» П₇ и выигрышем ау при выбранной стратегии Л, называется риском ц.

где Ру = rnaxtfy, т. е. максимальное число в столбце состояния среды П_;.

Очевидно, что риск всегда положительное число, т. е. ц > 0.

Пользуясь этими положениями, найдем для задачи (см. табл. 3.12) все значения ру и построим матрицу рисков R (табл. 3.13).

Таблица 3.13

Для решения задачи можно пользоваться значениями среднего риска.

Оптимальным в этом случае будет та стратегия, для которой средний риск будет минимальным.

В связи с этим для каждого решения находим средний риск

который следует стремиться сделать минимальным, т. е. выбрать такую стратегию Тдля которой величина г* минимальна.

следовательно, наиболее целесообразно доставлять свежие фрукты из Кишинева в Москву железнодорожным транспортом.

Заметим, что максимум среднего выигрыша и минимум среднего риска достигается при выборе одной и той же стратегии, в данном случае Г₃.

Мы рассмотрели вариант выбора только одной вполне определенной стратегии, которая называется чистой. В коммерческой практике встречаются такие ситуации, в которых выгоднее применять или случайное чередование чистых стратегий, что увеличивает размер гарантированного выигрыша, или одновременное использование всех стратегий с некоторыми вероятностями. В таких играх необходимо найти оптимальную смешанную стратегию ?*(рьР2> —>Рп) ^и найти цену игры при известной платежной матрице.

Предположим, что на предприятии оптовой торговли имеется п типов товаров какой-либо товарной группы. В магазин необходимо завести Q = 1000 ед. всего ассортиментного набора данной группы товаров. Требуется определить объемы товаров каждого типа, которые целесообразно завезти в магазин, и гарантированный уровень дохода. При этом известно, что если товар типа j (1 < п) будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыль d_}, в противном случае издержки, связанные с его хранением, порчей и т.и., составят убыток с_у Моделью такого экономического конфликта является игра, в которой в качестве одной стороны выступает магазин (игрок М), а в качестве другой — «природа» — спрос населения, причем он неизвестен. Каждая из сторон имеет по п-стратегий: М, — стратегия игрока М по завозу i-го товара объемом Q,; П, — стратегии игрока П — спрос на j-й товар. Полезностью магазина, очевидно, будет его доход Д. В таком случае конечная игра задается матрицей выигрышей (табл. 3.14).

Допустим, что доходы от продажи по каждому виду товаров равны, т. е. d = d₂ = … = d" = d. Для упрощения матрицы вычтем из всех ее элементов число d, что не изменит множество оптимальных смешанных стратегий, а только значение.

игры уменьшится на d, в результате чего (-с, — - d) = -h, матрица выигрышей примет другой вид.

Для решения задачи воспользуемся данными табл. 3.15.

Таблица 3.15

С учетом этих данных матрица выигрышей будет иметь следующий вид:

Преобразуем эту матрицу путем вычитания из каждого элемента г/ = 32 к виду.

Определим при неизвестном спросе рентабельность завоза товаров рассматриваемой группы, для чего необходимо проверить выполнение следующего неравенства:

Поскольку в нашем случае условие.

выполняется, то товар завозить в магазин целесообразно.

Очевидно, правильная торговая политика наблюдается при использовании смешанной стратегии S_M= (РьР2>Рз> •••"Рь где вероятности р, показывают доли от всего объема Q = 1000 ед. каждого типа товаров, которые следует завозить в магазин, и определяются по формуле.

Например, для стратегии М₃ находим.

Аналогично определяем остальные доли завозимых объемов товаров, после чего записываем оптимальную смешанную стратегию:

согласно которой следует завозить в магазин товаров, но каждому типу соответственно в следующих объемах:

В этом варианте снабжения товарами доход магазина будет равен значению игры, которое определяется по формуле.

При использовании смешанной стратегии, т. е. завоза товаров разного типа, доход гарантируется лишь в среднем, является ожидаемым и не может совпадать точно с реальным выигрышем, что и является характерным в условиях риска.