Возможные варианты методики введения понятия «производная функции» и изучения приложений производной

Изучение производной функции и ее приложений направлено:

• • на знакомство с одним из фундаментальных понятий математики;
• • введение нового метода решения задач (нового метода исследования моделей);
• • демонстрацию прикладного значения математики, реализацию межпредметных связей;
• • систематизацию функциональных знаний.

Основное содержание раздела: понятие производной, техника дифференцирования, приложение производной к исследованию функций и решению задач. На основе имеющихся знаний о пределе функции в точке может быть сформулировано определение производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, при этом можно воспользоваться как геометрической иллюстрацией (подготовка к рассмотрению геометрического смысла производной), так и обратиться к физической интерпретации. Выбор иллюстративного материала осуществляет учитель, но оптимальным будет введение производной на геометрической основе, что позволит еще раз показать идею линеаризации (возможность замены части кривой в окрестности точки касания отрезком касательной) и подготовить учеников к изучению приложения производной к приближенным вычислениям («основной потребитель» — школьный курс физики).

Закрепление понятия производной можно провести, заполняя совместно с учениками таблицу, в результате которой будет получена часть таблицы производных (табл. 20.1).

В эту же таблицу по усмотрению учителя могут быть включены некоторые тригонометрические функции (синус и косинус), без доказательства даны производные тангенса и котангенса. Для проверки усвоения определения производной может быть предложена письменная работа, состоящая, например, из заданий на вычисление по определению производных функций у = -Зх + 6 и у = = Зх² + 5х — 4. Решение этих задач можно рассматривать как один из способов мотивации изучения теорем о производной суммы, произведения, частного, производной сложной функции.

Таблица 20.1

В классах нематематической специализации будет достаточно показать процедуру вывода формулы производной суммы (ученики могут не запоминать этот вывод), а остальные формулы привести без доказательства. Особое внимание следует уделить сложной функции и ее производной, поскольку именно с ней связано наибольшее число ошибок (следующая по числу ошибок — производная дроби, где обычно ученик делит производную числителя на производную знаменателя). Можно предложить следующие задания.

Задание 20.4

Из функций / = 5л:² + Зл: — 8, g = -, р = л[х составьте композицию л:

функцийр о go/и найдите ее производную. Составьте другие композиции этих функций и также вычислите производные.

Задание 20.5

Представьте функцию ^т^2л: — — 1 в виде композиции элементарных функций, найдите производную исходной функции. Какие композиции вы можете составить из полученных в результате декомпозиции функций? Вычислите производные составленных вами функций.

Кроме того, учитель может предложить ученикам самостоятельно составить сложные функции и найти их производные. Поскольку производные тригонометрических функций уже были включены в таблицу производных, то в качестве элементарных функций для составления и дифференцирования сложных могут быть включены и тригонометрические функции.

Вторым разделом данной темы является применение производной к решению задач. Традиционное содержание этого раздела: применение производной в геометрии и физике, в приближенных вычислениях; исследование функций и построение графиков с помощью производной; решение задач на наибольшее и наименьшее значения.

При изучении уравнения касательной к графику функции можно опираться на известный ученикам геометрический смысл производной.

Интересным представляется знакомство учащихся с формулой Тейлора, применение которой в учебном процессе имеет значительные возможности для реализации различных образовательных целей. Формула Тейлора может рассматриваться как средство закрепления и обобщения материала темы, развития и закрепления навыков применения аппарата анализа как для исследования функций, так и для решения прикладных задач. Формула Тейлора, обладая внушительным внутренним содержанием, аккумулирует в себе практически все изученные понятия анализа: производную, уравнение касательной и вопросы линеаризации, приближенные вычисления и анализ тонких моментов исследования функций, например выяснение промежутков выпуклости функций. На основе формулы Тейлора строятся задания на разложение элементарных функций в ряд Тейлора, ведется содержательный разговор по вопросам погрешности вычислений с использованием этой формулы. При этом учащимся демонстрируется интегративный (в смысле объединения различных математических понятий) характер формулы Тейлора и подчеркивается ее универсальный характер.

Несколько замечаний относительно знакомства учащихся с понятием «дифференциал». Несмотря на то что изучение этого понятия по программе базовой школы не предусматривается, целесообразно в практике обучения элементам математического анализа в школе искать возможности знакомства учеников с этим понятием даже с учетом того, что оно имеет достаточно высокий для учащихся уровень математической абстракции. Можно рекомендовать следующие методики изучения понятия.

Возможны различные подходы к введению понятия «дифференциал» в школьном курсе математики. Один из подходов, связанный с историей вопроса, заключается в определении этого понятия на основе применяемого Г. Лейбницем специального вида производной функции в точке в виде «дифференциального отно- df г, df

шения": —, т. е. / = — и, далее, at = tах. Это выражение и при- ах ах

нимается за определение понятия дифференциала функции /. На этой основе можно достаточно формально вычислять дифференциалы элементарных функций и составить таблицу дифференциалов на основе таблицы производных. Например,/(х) = x², f^,(x) = 2х, df = 2xdx. Слабым местом такого подхода является сложность обоснования наличия множителя dx и, как следствие, возможность синдрома формализма знаний.

Другой подход опирается на геометрический смысл дифференциала и предполагает работу учителя по разъяснению вводимого понятия с привлечением рассуждений о «потенциальном» характере изменения этой величины. Имеются в виду рассуждения, приводящие к заключению о том, что при Ах -* 0 главный вклад в приращение функции Л С (АС = ЛВ + ВС), соответствующее приращению Ах у вносится именно линейной частью АВ приращения функции. При таком подходе, записывая формулу для тангенса угла наклона касательной к графику функции у = f (x) в точке N в соответствии с геометрическим смыслом производной и определением функции тангенс, получаем естественное выражение для дифференциала df:

tga =/' (х>), tga = = —, тогда df=f'(x₀)Ax и, далее, df=f^,(x₀)dx.

NA Ах

Очевидно, что наглядность в данном случае играет решающую роль в формировании понятия дифференциала, сознательном его использовании и применении.

Понятие дифференциала позволяет сделать приближенные вычисления более естественными с точки зрения их проведения в прикладных отраслях математики. Вообще практика приближенных вычислений как в физике, так и в технике в большей степени связана с решением прямой или обратной задачи теории погрешностей. Прямая задача в общем случае состоит в определении погрешности функции по известным погрешностям аргументов. Рассмотрим примеры прямой и обратной задач теории погрешностей и методики работы с ними.

Пусть у = f (x_v х₂,…, х_п) — данная функция нескольких действительных переменных x_vx₂, …, х_и, имеющая соответствующие непрерывные частные производные по указанным переменным, Ax_v Ах₂, …, Ах_п — предельные абсолютные погрешности величин х_х, х₂,…, х_п, тогда предельная абсолютная погрешность значения функции у может быть определена по формуле.

Сущность обратной задачи теории погрешностей заключается в определении погрешности аргументов Ax_v Аг₂,Ах_п по известной погрешности А/функции f (pc_v х₂, …, х_п). В отличие от прямой задачи теории погрешностей, обратная в силу некорректной математической постановки не имеет единственного решения.

Указанные задачи теории погрешностей могут рассматриваться как дальнейшее развитие содержательно-методической линии приближенных вычислений, так как в курсе основной школы учащиеся уже получили представление об арифметических действиях с приближенными числами. Там же были введены определения абсолютной и относительной погрешности. Кроме того, в курсе физики, как правило, во втором полугодии 9-го класса предусматривается лабораторный практикум, в котором учащиеся снимают экспериментальные данные с приборов, имеющих заданную погрешность измерения величин, обрабатывают полученные результаты с применением простейших правил работы с приближенными числами.

В профильной старшей школе следует расширить представления учащихся об элементах теории погрешностей, в частности ввести понятия о предельной абсолютной и предельной относительной погрешностях приближенного числа, о верных десятичных знаках (в узком и широком смысле); познакомить с прямой и обратной задачей теории погрешностей, имеющей важное практическое значение, а также провести обобщение задачи на случай многих переменных.

В школьном курсе начал анализа учащиеся решают эту задачу, но в другой постановке: они находят приближенные значения функции одной переменной, используя линейный член разложения функции f (x) в ряд Тейлора в окрестности точки х₀. Однако из курсов физики и геометрии учащиеся уже имеют представление о функциях двух и большего числа переменных. Поэтому на примере решения задач этой тематики появляется возможность осуществления пропедевтики изучения такого математического объекта, как функция многих переменных. Эти же задачи предоставляют возможность дальнейшей отработки навыков дифференцирования.

AJV. V.' 1 1 1 V/1 W J 1СиЦ1 1Л1^/1 V/ WIJ lU/l •.

1. Случай функции одной переменной: Ау ~ -— Ах_{ = f'(x)Ax.

СЛ/V j.

Методика работы с задачами на использование этой формулы традиционна: построить аналитическую зависимость /(х), вычислить производную f'(x), найти df * заменить его приближенно А/.

Работа с задачами этой тематики начинается с рассмотрения известного учащимся одномерного случая.

5/.

Задание 20.6

Ребро куба измерено с помощью миллиметровой линейки и равно 20 мм. Оцените абсолютную погрешность, допускаемую при вычислении его объема.

Строим аналитическую зависимость V (x), где Vих — объем и ребро куба соответственно: V (x) =х Находим производную V'(x) = Зх² и, далее, dV (x) = 3x²dx. Заменяя дифференциалы конечными приращениями, получим AV (x) = Зх²Ах. При х = 20 мм и Ах= - мм (так как погрешность определения величины с помощью измерительных инструментов, как знают учащиеся из курса физики, принимается равной половине.

цены деления инструмента) получаем, что Д ⁷(20) = 3 • 20² • - = 600 мм³.

2. Случай функции многих переменных.

Задание 20.7.

Определите погрешность вычисления длины окружности, если се радиус, измеренный сантиметровой линейкой, равен 10 см.

Решение этой задачи не отличается от предыдущей. Действительно, пусть С — длина окружности, a R — ее радиус, тогда C® = 2kR и погрешность вычисления длины окружности можно определить, используя следующую цепочку формул:

Оказывается, что AC® от R не зависит, а зависит от цены деления измерительного инструмента AR. По это еще не все. Учащиеся, преодолевая трудности психологического характера, приходят к мысли, что АС зависит также и от погрешности при выборе приближенного значения л, т. е. л ведет себя не как постоянная величина, а как переменная. В этом случае приходится признать, что вместо C® надо писать С (л, R) = 2nR. Следовательно, получим формулу для вычисления предельной абсолютной погрешности длины окружности.

Определяя производные, получим искомое выражение для АС'(л, R):

Таким образом можно прийти к понятию частной производной на основе идеи независимости каждого из слагаемых друг от друга при определении общей погрешности и ввести ее обозначение.

Вычислите погрешность определения периода колебаний Т^[1][2] математического маятника длины /, если Т = 2тс —.

U

Эту задачу учащиеся «пытаются» решить в курсе школьной физики, и на ее основе построена работа лабораторного практикума в 9-м классе. Рассматривая эту задачу как прямую задачу теории погрешностей, получим ее решение в виде:

• • область определения;
• • область значений;
• • четность и нечетность;
• • пересечение с осями;
• • знакопостоянство;
• • производная и критические точки;
• • монотонность и экстремумы;
• • выпуклость;
• • точки перегиба;
• • поведение на бесконечности и около точек разрыва.

Поиск области значений нередко сводится к поиску области определения обратной функции, поэтому реализация данного пункта исследования возможна лишь в классах математического профиля. Учитель должен обратить внимание школьников, что при исследовании функции на четность и нечетность они должны доказываться, а для функций общего вида достаточно привести конкретный пример. Определение промежутков знакопостоянства основано на поиске корней функции (координат точек пересечения с осью абсцисс). Поиск корней требует включения в базовый курс дополнительного материала, который раскрывается на примере. Исследуя функцию у = х³ — Зх + 2, учитель показывает, что некоторые корни многочлена могут быть найдены подбором (они являются делителями свободного члена), далее на основе теоремы Безу может быть выполнено деление многочлена на двучлен х — а, где а — найденный корень многочлена (нередко учителя показывают старшеклассникам схему Горнера). Понижение степени многочлена на основе деления многочлена на многочлен может быть рассмотрено при изучении основных методов решения тригонометрических уравнений (сведение к алгебраическому), чтобы не перегружать теоретическим материалом данную тему. Теоретический материал, связанный с выпуклостью и точками перегиба, вводится без доказательства и иллюстрируется с помощью функции у = х¹_у выпуклой вниз (вторая производная положительна), функции у = -х², выпуклой вверх (вторая производная отрицательна), функции у = х³, меняющей характер выпуклости в нуле (у второй производной в этой точке происходит смена знака). Аналогично на примере функции 1.

у = х + — вводятся понятия вертикальной и наклонной асимптот.

х

С горизонтальными и вертикальными асимптотами ученики познакомились ранее на примере функции у =.

Кроме уже упомянутых примеров (функций у = х³ — Зх + 2, 1.

у = х+ -) рекомендуется совместно с учащимися рассмотреть ис;

X

следование и построение графиков соответствующих функций.

В заключение надо отметить, что наиболее трудным для школьников является построение графика функции по результатам ее исследования.

Еще одним трудным вопросом является решение задач на наибольшее и наименьшее значения, связанных с построением и исследованием некоторой модели. Ученики далеко не всегда осознают, какую же функцию следует составить на основе условия задачи. Здесь требуется грамотный анализ условия, опора на полученный при работе с сюжетными задачами опыт поиска решения.

Для совместной работы можно предложить следующий набор заданий.

Задание 20.9.

Представьте число 10 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Задание 20.10.

Из всех цилиндров заданного объема 167 Г м³ найдите цилиндр с наименьшей полной поверхностью.

Задание 20.11.

Из всех прямоугольников, вписанных в окружность, найдите прямоугольник наибольшей площади.

Работая с первой задачей, учитель показывает, что искомая модель обозначена в условии задачи. Надо составить функцию суммы квадратов двух чисел и исследовать ее на наибольшее значение, для этого следует выбрать переменную — одно из слагаемых, на которые разбивается число 10.

Вторая задача с геометрическим содержанием (часто при решении задач на наибольшее и наименьшее значения требуется определенный объем геометрических знаний). Здесь следует составить функцию полной поверхности цилиндра и исследовать ее на наименьшее значение. Этот пример показывает, почему такие задачи называют задачами «на оптимизацию», надо выяснить, при каких размерах на изготовление цилиндрической емкости заданного объема потребуется наименьшее количество материала.

Особенностью третьей задачи является тот факт, что, во-первых, в условии явно не задан радиус окружности, во-вторых, если в качестве переменном принять половину одном из сторон прямоугольника, то функция площади будет иметь вид S (x) = 2 WR² — Ах²,0 < х < Я/2 и вместо нее удобно исследовать на наибольшее значение функцию Р (х) = Ах²Я² — 6х⁴ (точки экстремума функций 5 и Рсовпадают).

• [1] Обратную задачу теории погрешностей можно рассмотреть факультативно в соответствующих профильных классах. Еще один вид примеров, связанных с приближенными вычислениями, основан на использовании формулы f (x) ~ f (x0) + f'(x0)Ax.Относительным недостатком методики обучения приближеннымвычислениям с использованием этой формулы является отсутствие оценок погрешности получаемого результата. Следует заметить, однако, что в приближенных вычислениях важны два аспекта — собственно приближенное значение величины и погрешностьее вычисления (причем отдать предпочтение одному из них невозможно). Несмотря на это, такой подход получил распространениев практике обучения не только математике, но и физике. Учащиесяшироко используют как в расчетах в задачах по физике, так и приполучении теоретических фактов, особенно в теме «Свойства света», формулы для приближенного извлечения корней, вычислениязначений тригонометрических функций малых углов и т. д. Возможны различные варианты введения теоретического материала по исследованию функции с помощью производной: • сформулировать все утверждения и оставить их без доказательства; • показать схему доказательства теорем;
• [2] оставить без доказательства формулу Лагранжа и на ее основевыполнить остальные доказательства. Выбор методики изложения этого материала следует осуществить учителю. Опыт показывает, что наиболее оптимальным является вариант изложения материала в логике учебника А. Н. Колмогорова. Также возможны различные варианты схемы исследованияфункции с помощью производной. Рекомендуется придерживаться следующей схемы исследования функции: