Математические основы работы в 2d. Преобразования на плоскости

Прежде чем переходить к изучению трехмерного случая, рассмотрим двухмерный случай — координаты и преобразования на плоскости. Главным достоинством работы с плоскостью является то, что на ней можно легко рисовать двухмерные объекты.

Системы координат

Если у нас есть плоскость и на этой плоскости задана система координат, то мы получаем в результате двухмерное координатное пространство. В двухмерном случае координаты произвольной точки А на плоскости являются упорядоченной парой вещественных чисел (х_а, у_а) (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Координаты на плоскости.

Каждой точке на плоскости соответствует своя пара координат, а каждой паре координат — своя точка на плоскости. Таким образом, система координат устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множеством точек на плоскости и множеством всевозможных пар вещественных чисел, обозначаемым как R². Наличие системы координат позволяет вместо непосредственной работы с точками на плоскости работать с их координатами.

Одной и той же плоскости может соответствовать бесконечное количество различных систем координат, и координаты одной и той же точки А в различных системах координат будут, скорее всего, различаться (рис. 4.2). Более подробно переход между различными системами координат рассмотрен в гл. 5.

Рис. 4.2. Две различные системы координат на плоскости.

Системой координат на плоскости называется пара координатных прямых, пересекающихся всего в одной точке О, называемой началом координат. Координатной прямой (осью) называется прямая, на которой задано положительное направление и единица длины (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Система координат на плоскости.

Обычно рассматривают только декартовы (cartesian) системы координат, в которых координатные оси перпендикулярны друг другу. Однако в общем случае это не так, более того, могут быть и такие системы координат, где нет двух осей.

Примером системы координат на плоскости, где есть всего одна ось, является полярная система координат (рис. 4.4). В ней координаты каждой точки задаются также с помощью двух чисел — (г, ф). Величина г является расстоянием от точки А до начала координат и принимает только положительные значения. Величина ф — угол между лучом ОА и положительным направлением координатной оси, принимает значения из интервала [0, 2п).

Рис. 4.4. Полярная система координат.

Соответствующую точке А пару координат мы можем записать.

(х^.

или как вектор-строку (х_а, у_а), или как вектор-столбец. Далее.

_КУа)

на протяжении всей книги мы будем использовать для обозначения координат только вектор-столбцы.

В матричной алгебре есть операция транспонирования, которая переводит вектор-столбец в вектор-строку и наоборот:

Из этой формулы следует, что разница между вектор-строками и вектор-столбцами заключается лишь в применении операции транспонирования. Соответственно, все описываемые далее свойства легко переносятся и на случай вектор-строк.