Теория. 
Реализация метода Рунге-Кутты-Фельберга на языке программирования Delphi

Методы Рунге-Кутты являются модифицированными методами Эйлера. Они служат для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Наиболее часто реализуется и используется метод Рунге-Кутты 4 порядка точности. Построение схем более высокого порядка приводит к громоздким расчетам и сопряжено с большими вычислительными трудностями. Схема Эйлера, является представителем семейства схем Р-К. Построение схем основано на разложении функции в ряд Тейлора вблизи инвариантной точки, и взятие конечного числа членов разложения.

Пусть дана задача:

.

Тогда приближенное решение задается формулой:

.

где h — величина шага сетки, а kвычисляется по формуле:

.

.

.

Метод определяется числомs и коэффициентами b_i, a_{i, j}и c_i

Причем:

.

Порядок аппроксимации (точнее порядок сходимости) определить сложно, однако можно определить количество этапов, необходимых для реализации метода.

.

Конкретно метод Р-К 4 для системы ДУ.

.

имеет следующий вид.

.

.

.

.

.

По сути, берется значение методом Эйлера, и уточняется 3 раза. За счет этого возрастает точность вычислений, ценой вычислительных трудностей.

Для метода Рунге-Кутты 5 порядка уравнения будут такими:

.

.

.

.

.

.

.

Стоит сказать и об адаптивных процедурах. В ходе выполнения процедуры, шаг, для достижения необходимой точности в следующей точке, выбирается автоматически.

Метод Рунге-Кутты-Фельберга, заключается в том, что на каждом шаге метода точность функции определяется разностью значений между результатами методов РК-4 и РК-5 (Поэтому этот метод иногда называют РК-45). Если они отличаются не более чем на е — локальную погрешность, то значение, уточненное по Рунге, считается приближенным значением функции в точке на рассматриваемом шаге.