Типовые математические схемы для моделирования систем

Под типовыми математическими схемами, используемыми при моделировании систем, понимаются стандартные математические описания свойств моделируемого объекта или системы (для статических моделей и систем) и изменений объекта во времени (для динамических моделей и систем), а также агрегатные схемы (для сложных систем). Типовые математические схемы являются промежуточным звеном перехода от концептуальной модели к математической.

Основные виды математических схем, применяемые при моделировании систем, представлены на рис. 3.5.

Рис. 3.5. Основные виды математических схем, используемые для моделирования систем

Таким образом, для моделирования систем в непрерывном и дискретном времени всегда требуется их описание с помощью различных математических схем. Оно является эффективным для широкого круга процессов функционирования реальных объектов и систем.

Детерминированные системы

Детерминированные системы — это системы, в которых все их элементы однозначно определены детерминированными величинами и могут быть рассчитаны или предсказаны на момент принятия решения, а также определен конечный набор факторов, учитываемых в системах. Детерминированной величиной считается величина, траектория которой однозначно определяется ее взаимосвязями с другими величинами. В детерминированных моделях однозначно определены все факторы, оказывающие влияние на развитие ситуации принятия решения, известны точные значения параметров на момент принятия решения.

Детерминированные системы также бывают открытыми, закрытыми, относительно обособленными. К тому же детерминированные системы могут подразделятся на детерминированные системы без последействий и детерминированные системы с последействиями.

На рис. 3.6 представлены те виды математических схем, которые наиболее часто используются для моделирования детерминированных систем.

Рис. 3.6. Основные виды математических схем, используемые для моделирования детерминированных систем S.

Использование дифференциальных уравнений в рамках непрерывного времени для моделирования детерминированных систем S позволяет достаточно точно описывать траекторию изменения во времени объектов моделирования за счет использования функции одной или нескольких переменных, а также их производных высших порядков. Поскольку математические схемы должны отражать динамику моделируемой системы во времени, то они называются D-схемами и активно используются в качестве математического инструментария в теории автоматического управления.

При моделировании различных систем автоматического управления используются различные классы дифференциальных уравнений, формализующих реальные процессы в системах. Динамические и статические параметры системы S определяют порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов.

Таким образом, использование D-схем позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем S и интегрирования совокупности дифференциальных уравнений, описывающих движение во времени выбранных объектов моделирования, с учетом входных (задающих), возмущающих (управляющих) воздействий, случайных ошибок и выходных переменных.

Использование типовых математических схем для моделирования детерминированных систем в дискретном времени (рис. 3.7) предполагает использование дискретно-детерминированных моделей (D-схем) или конечных автоматов.

Для моделируемых объектов обязательно наличие как дискретных состояний, так и дискретного характера работы во времени, тогда моделируемая детерминированная система представляется в виде автомата, принимающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени, выдавая на выходе сигналы (см. рис. 3.7).

Понятие конечного автомата является еще одним типом математической абстракции, удобным для моделирования процессов в автоматизированных системах и управления.

Через дискретные промежутки времени t осуществляется подача входного сигнала X (t) на автомат (см. рис. 3.7), который оказывает или не оказывает воздействие на состояние системы S (t) и оказывает влияние на величину конечного выходного сигнала Y (t).

Рис. 3.7. Использование конечного автомата без памяти для моделирования детерминированных систем S.

Принцип действия конечного автомата с памятью представлен на рис. 3.8.

Рис. 3.8. Использование конечного автомата с памятью для моделирования детерминированных систем S.

Асинхронный F-автомат, в отличие от синхронного, считывает входной сигнал непрерывно, поэтому он меняет свое состояние, выдавая соответствующий выходной сигнал, пока не достигнет устойчивого состояния работы, которое уже не может быть сильно изменено данным входящим сигналом.

В синхронных^{-автоматах} выбираются те моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы специальными синхронизирующими сигналами.

На практике автоматы всегда являются асинхронными, а устойчивость их состояний обеспечивается введением сигналов синхронизации, но в виде математической схемы и абстракции удобнее использовать синхронные конечные автоматы.

Визуализация программы работы P-автомата возможна как в табличном, так и графическом или матричном виде. При решении задач моделирования систем часто более удобной формой считается матричное задание схемы работы конечного автомата.