Введение понятия многогранника
Изучение многогранников и тел вращения в школе можно условно разделить на три этапа. Первый — это курс математики 1—6-го классов, где ученики на уровне предпонятий изучают некоторые виды многогранников и тел вращения. К началу изучения систематического курса геометрии школьники знакомы с параллелепипедами и пирамидами, а также с цилиндром, конусом и шаром. Второй этап — изучение многогранников… Читать ещё >
Введение понятия многогранника (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Изучение многогранников и тел вращения в школе можно условно разделить на три этапа. Первый — это курс математики 1—6-го классов, где ученики на уровне предпонятий изучают некоторые виды многогранников и тел вращения. К началу изучения систематического курса геометрии школьники знакомы с параллелепипедами и пирамидами, а также с цилиндром, конусом и шаром.
Второй этап — изучение многогранников и тел вращения в курсе 7—9-х классов, что дает учителю возможность не только подготовить учеников к изучению систематического курса стереометрии, но и широко использовать эти объекты при изучении планиметрии. Рассматриваются призмы и пирамиды, цилиндры, конусы, шары, элементы фигур, приводятся формулы объемов.
Третий этап изучения — собственно курс стереометрии, где уже подробно рассматриваются частные виды призм, пирамид, устанавливаются и обосновываются свойства фигур, выводятся формулы площадей поверхности и объемов.
Понятие многогранника является родовым понятием как для призм, так и для пирамид. Па разных этапах изучения многогранников реализуются различные подходы к введению этого понятия. На первом этапе — без определения, на уровне представлений, которые сложились у учеников, предъявляются фигуры, входящие в объем понятия (выпуклые, невыпуклые многогранники, кольцеобразные многогранники). В курсе планиметрии многогранник определяют как ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, не формулируя при этом определений ограниченного тела и поверхности. В старшей школе целесообразно на основе последнего определения выстроить родословную понятия: определяется понятие тела (внутренние, граничные точки, связность, граница), понятие поверхности, актуализируется определение понятия многоугольника, показывается, из каких многоугольников состоит граница (почему, например, поверхность куба состоит из шести квадратов, а нс из двенадцати прямоугольных треугольников). Материалы для этого можно найти в любом из действующих учебников геометрии, а подробности учитель может почерпнуть из статьи А. Д. Александрова «Что такое многогранник»[1], где также описывается подход к определению многоугольника, который может быть реализован в школе.
При изучении стереометрии на первых уроках следует актуализировать и систематизировать полученные школьниками знания о многогранниках и их видах или ввести эти понятия как новые, если по каким-то причинам соответствующий материал в курсе планиметрии не был изучен. Далее при изучении отношений параллельности и перпендикулярности в пространстве вводятся свойства частных видов многогранников либо учителем, либо устанавливаются самостоятельно учениками в ходе выполнения заданий. Так, свойства правильной пирамиды могут быть получены при анализе следующей конструкции: в правильной пирамиде из вершины на плоскость основания опущен перпендикуляр. Основание перпендикуляра соединено отрезками с вершинами основания пирамиды и серединами ребер основания, вершина пирамиды соединена с серединами ребер основания. Найдите на рисунке равные отрезки, равные углы, сформулируйте свойства правильной пирамиды. Определения и свойства других видов пирамид могут появиться как результат выполнения следующих заданий.
Задание 16.11.
Какие виды пирамид вы знаете? Вспомните определение правильной пирамиды. Сформулируйте определение пирамиды с равноиаклоненными ребрами, с равионаклоиенными гранями, основываясь на этимологии этих понятий. Где в каждом случае будет располагаться основание высоты этих пирамид? Является ли правильная пирамида пирамидой с равионаклоиенными ребрами, с равионаклоиенными гранями? Вспомните свойства правильной пирамиды. Какими из них будут обладать пирамиды с равионаклоиенными ребрами, с равнонаклоненными гранями? Будут ли они обладать какими-либо свойствами, которых нет у правильных пирамид?
Как будут расположены основания высот каждого из видов пирамид относительно вершин, относительно сторон основания?
Изучение многогранников традиционно сопровождается знакомством с правильными многогранниками — Платоновыми телами, здесь же целесообразно обзорно рассмотреть и полуправильные многогранники — архимедовы тела. Сделать это можно на основе докладов учащихся, материал для которых они могут найти в Энциклопедическом словаре юного математика, Энциклопедии для детей и других изданиях. Большую помощь в изучении многогранников может оказать изготовление моделей как выпуклых, так и невыпуклых многогранников. Описание моделей и инструкции по их изготовлению приведены в книге М. Веннпнджера «Модели многогранников»[2].