Система автоматического регулирования с регулятором косвенного действия и астатической характеристикой

На рис. 1.12 приведена схема САУ с регулятором косвенного действия. В этой системе управление уровнем жидкости происходит за счет дополнительного источника электрической энергии |4|. В рассматриваемой системе поплавок 2 автоматического управляющего устройства соединен системой рычагов 3 с правым ползунком потенциометра R. Левым ползунком потенциометра задают значение уровня Н жидкости, который должен поддерживаться постоянным. На сервомотор М постоянного тока подается сигнал управления с левого и правого ползунков потенциометра R. Серводвигатель через редуктор 5 управляет положением задвижки 4.

Если ползунки потенциометра R находятся на одном уровне, то потенциалы, или напряжения, на обоих ползунках равны и сигнал управления, подаваемый на сервомотор М, равен нулю. Изменение уровня жидкости Н в резервуаре 1 воспринимается поплавком 2 и через систему рычагов 3 передается правому ползунку потенциометра R. Левый ползунок при этом остается неподвижным. Напряжения на ползунках становятся разными, и между ползунками возникает напряжение рассогласования. Под действием этого напряжения сервомотор М начинает вращаться, перемещая задвижку 4 до тех нор, пока правый движок потенциометра с помощью поплавка 2 не вернется в исходное положение, при котором напряжения на обоих ползунках будут равны. При этом уровень жидкости в резервуаре примет исходное значение.

Например, при увеличении расхода Q_p происходит уменьшение уровня жидкости Я, правый движок поднимается вверх, и сервомотор работает на открытие задвижки 4, которая увеличивает подачу Q, в резервуар и тем самым поддерживает заданный уровень жидкости. При уменьшении расхода уровень Н повышается, правый движок опускается вниз, и сервомотор работает на закрытие задвижки 4_} которая в этом случае уменьшает подачу Q_n в резервуар и тем самым поддерживает заданный уровень жидкости.

В отличие от САР, показанной на рис. 1.2, рассматриваемая САР работает без статической ошибки, т. е. статическая ошибка при поддержании заданного уровня Нравна нулю. Действительно, в этой САР при изменении Q_p сервомотор будет вращаться до тех пор, пока сигнал рассогласования не станет равным нулю, т. е. пока правый ползунок не займет положение левого ползунка. Такие системы, не имеющие статической ошибки, называются астатическими системами.

Конечно, реальные астатические системы имеют незначительную астатическую ошибку, поскольку сервомотор начинает вращаться при некотором минимальном напряжении, не равном нулю. При незначительном изменении уровня Н напряжение рассогласования будет недостаточно для вращения сервомотора и эта астатическая ошибка не будет отрабатываться системой автоматического регулирования. Система в этом случае имеет зону нечувствительности и становится нелинейной. Чтобы эта ошибка была невелика, на практике сигнал рассогласования усиливают с помощью усилителей.

Рис. 1.12. Схема системы управления уровнем жидкости с электрическим регулятором косвенного действия с астатической характеристикой.

Рассмотрим математическое описание анализируемой системы регулирования, пренебрегая незначительной астатической ошибкой и считая систему регулирования идеальной. В качестве регулирующего параметра, как и в системе статического регулирования, будем пользоваться значением статического отклонения h. Производная отклонения h по времени будет такой же, как и в статической системе (см. вывод формулы (1.10)):

Однако подача Q, жидкости уже не будет прямо пропорциональна отклонению h. Изменение подачи произойдет за счет того, что при увеличении расхода Q^ уровень Н жидкости понизится. Следовательно, увеличится отклонение А, и сервомотор М через редуктор 5 будет поворачивать задвижку 4 в сторону увеличения подачи. Как только отклонение станет равным нулю, серводвигатель остановится и задвижка останется в новом положении с увеличенной подачей. Объект управления с помощью задвижки «запоминает» свое новое состояние. Увеличение подачи за небольшой промежуток времени At. составит.

Здесь k_x — коэффициент пропорциональности с учетом коэффициента передачи редуктора 5; N — число оборотов сервомотора М за промежуток времени At.

Число оборотов N прямо пропорционально частоте вращения п сервомотора М и промежутку времени At:

Частота вращения сервомотора п прямо пропорциональна подаваемому на него напряжению, т. е. сигналу рассогласования U_p:

Здесь k₂ — коэффициент пропорциональности.

В свою очередь, сигнал рассогласования прямо пропорционален отклонению к

Здесь k₃ — коэффициент пропорциональности. Подставляя выражение (1.26) в (1.25), затем (1.25) в (1.24) и, наконец, (1.24) в (1.23), получим или

Здесь k = k_{k₂k₃ — коэффициент усиления разомкнутой системы.

Переходя к пределу при At —>0, получим.

Таким образом, САУ, показанная па рис. 1.12, описывается системой дифференциальных уравнений (1.22) и (1.29). Как следует из уравнения (1.29), управляющее воздействие Q_u прямо пропорционально интегралу от отклонения регулируемой величины к

Поэтому такой закон регулирования называют интегральным законом регулирования, а регулятор называют И-регулятором.

На рис. 1.13 представлено решение системы уравнений (1.22) и (1.29) в интегрированном пакете MathCad численным методом Рунге — Кутта четвертого порядка [23]. Для численного решения системы дифференциальных уравнений правые части D (t, у) дифференциальных уравнений в форме Коши (переменные состояния) и начальные условия у представляются в виде матрицы-столбца.

Поскольку в матрице (рис. 1.13) используется одна и та же переменная, но с разными индексами, то были приняты следующие обозначения компьютерных переменных: у₀ = h, г/, = Q_n. Начальные условия: h = 10 дм, ?)" = 20 дм³/мин. Коэффициент пропорциональности к — 20 м²/мин. Площадь поперечного сечения резервуара 5 = 100 дм².

Рис. 1.13. Пример решения системы уравнений (1.22) и (1.29) в интегрированном пакете MathCad:

верхняя кривая — уровень Я жидкости в резервуаре (10 — /г"); нижняя кривая — уменьшенный в 10 раз расход жидкости (Qp (f")/10).

На рис. 1.14 график показан с указанием масштабных линеек для каждой величины. Как следует из рис. 1.14, среднее значение Я при изменении расхода, как и предполагалось ранее, не меняется и остается равным номинальному Я". Среднее значение астатической ошибки, или отклонения h, также равно нулю. Однако в системе возникают незатухающие колебания, и величины Я и h колеблются относительно их средних значений. Система становится колебательной. Колеблется относительно среднего значения и величина подачи Q, (рис. 1.15). Незатухающие колебания возникают из-за того, что система инерционная. В ней имеются два инерционных элемента: резервуар и сервомотор с задвижкой.

Рис. 1.14. График переходного Рис. 1.15. Изменение уровня и подачи процесса с указанием масштабных жидкости при изменении линеек ее расхода В начальный момент входного воздействия И-регулятор ввиду своих инерционных свойств не успевает выработать значительный управляющий сигнал, и жидкость в резервуаре начинает понижаться. При понижении уровня жидкости подача постепенно увеличивается, и уровень начинает восстанавливаться. Однако, когда уровень достигает заданного значения, подача уже повысилась больше требуемого значения, и уровень начинает подниматься до тех пор, пока подача не уменьшится настолько, что уровень жидкости начнет падать. Так за счет перерегулирования возникают незатухающие колебания.

Остановимся на этом явлении более подробно. Продифференцируем уравнение (1.22), учитывая, что расход Q_p жидкости на отдельных участках постоянный и его производная равна нулю:

Подставим в уравнение (1.30) значение производной подачи из уравнения (1.29):

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (1.31) имеет вид.

Корни характеристического уравнения будут сопряженные мнимые:

Здесь j = л/—1— мнимая единица; со — угловая частота колебаний, рад/мин. Как следует из уравнения (1.33), при чисто мнимых сопряженных корнях колебания носят незатухающий характер.

Замечание 1.4.

Устройство, представляющее собой идеальный колебательный контур, называют осциллятором или консервативным звеном.

ГГ * * 2тг 2−3,14 .

Период колебании составляет — =-= 14 мин, что хорошо совпа;

со 0,447.

дает с графиком на рис. 1.15. Такой режим работы с автоколебаниями является нежелательным. Как следует из рис. 1.16, если обеспечить режим Q_n = Q_p и h = 0, то колебания исчезают. Однако обеспечить такой режим на практике очень трудно. Поэтому поступают следующим образом.

Рис. 1.16. Режим снятия колебаний в колебательной системе.

Колебания можно подавить, если приращение подачи связать не только с отклонением h, но и с производной этого отклонения, т. е. ввести коррекцию и принять В уравнении (1.34) обе производные с обеих сторон частично компенсируют друг друга. Это позволяет демпфировать колебания (рис. 1.17). Дифференциальное и характеристическое уравнения системы автоматического регулирования при этом принимают следующий вид:

Приравнивая нулю дискриминант уравнения (1.36), найдем критическое значение k₂, при котором процесс из колебательного переходит в апериодический:

где k₂ — коэффициент пропорциональности для производной отклонения по времени.

В этом случае подача увеличивается не только пропорционально отклонению, но и тем больше, чем больше скорость отклонения, т. е. чем быстрее снижается уровень жидкости.

Рис. 1.17. Переходный процесс с затухающими колебаниями.

В реальной САР, реализующей уравнение (1.34), добавляется еще одна обратная связь, так называемая гибкая обратная связь, реагирующая на производную. Эта гибкая обратная связь включается параллельно существующей (жесткой) обратной связи, и система из одноконтурной превращается в двухконтурную.

Рис. 1.18. Переходный процесс с расходящимися колебаниями.

Если по ошибке знак корректирующего сигнала будет попутан, то этот сигнал вместо «успокоения» системы будет ее «раскачивать», вызывая возрастающие, но амплитуде колебания и делая систему неустойчивой (рис. 1.18). И наоборот, правильно подобранный коэффициент коррекции может сделать систему регулирования практически идеальной. Следовательно, рассчитывать и экспериментально проверять характеристики САР необходимо не только в статических, но и в динамических режимах.