Схема построения производственных функций

Классическая схема построения производственных функций с помощью оценок коэффициентов состоит из двух этапов.

Этап 1. Сначала на основе качественного анализа объекта моделирования и его целей из списка классов математических функций выбирается параметрический класс F = {f (х_и …, х_пУ а_)Р …, а_к))_у все элементы которого как функции от Х,…, х_п обладают нужными характеристиками поведения (при этом предполагается, что все функции, входящие в F, вычислимы). Таким образом устанавливается «вид производственной функции».

Этап 2. Затем функция данного «вида» у = / {х_х, …, х"_} а_ь …, а_к) рассматривается как регрессионное уравнение, оценки параметров …, а_к которого находятся из условия минимизации суммы квадратов отклонений значений функции / (х, а) в наблюдавшихся точках х (?), t = 1, …, Г, от наблюдавшихся значений у (t), t= 1, …Г:

В случае когда функция/линейна по параметрам или сводится к такой, поиск значений а, минимизирующих сумму квадратов отклонений, сводится к решению системы линейных уравнений.

Таким образом, задача построения производственной функции представляет собой задачу аппроксимации.

Основная задача аппроксимации — построение приближенной (аппроксимирующей) функции, наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Суть процесса состоит в сглаживании экспериментальных данных.

Аппроксимация — процесс подбора эмпирической функции ф (х) для установления из опыта функциональной зависимости у = ф (х).

Эмпирические формулы служат для аналитического представления опытных данных.

В простейшем случае задача аппроксимации экспериментальных данных сводится к следующему.

Пусть есть какие-то опытные данные, которые можно представить парами чисел (х, у). Зависимость между ними приведена в таблице ниже:

На основе этих данных требуется подобрать функцию у = ф (х), которая наилучшим образом сглаживала бы экспериментальную зависимость между переменными и по возможности точно отражала общую тенденцию зависимости между х и у, исключая погрешности измерений и случайные отклонения. Это означает, что отклонения у_{ — ф (х,) в каком-то смысле были бы наименьшими.

В теории существует два подхода к решению задачи аппроксимации. В первом подходе задача аппроксимации распадается на две части.

• 1. Сначала устанавливают вид зависимости у = /(х) и, соответственно, вид эмпирической формулы, т. е. решают, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой.
• 2. После этого определяются числовые значения неизвестных параметров выбранной эмпирической формулы, для которых приближение к заданной функции оказывается наилучшим.

Второй подход к решению задачи аппроксимации состоит в следующем: если нет каких-либо теоретических соображений для подбора вида формулы, обычно выбирают функциональную зависимость из числа наиболее простых, сравнивая их графики с графиком заданной функции.

После выбора вида формулы определяют ее параметры. Для наилучшего выбора параметров задают меру близости аппроксимации экспериментальных данных. Во многих случаях, в особенности если функция/(х) задана графиком или таблицей (на дискретном множестве точек), для оценки степени приближения рассматривают разности /(х,) — ф (х,) для точек х₀, x_t, …, х_п.

Обычно определение параметров при известном виде зависимости осуществляют методом наименьших квадратов. При этом функция ф (х) считается наилучшим приближением к /(х), если для нее сумма квадратов отклонений е, = f (Xj) — (р (лг₁) значений <�р (лг,), найденных по эмпирической формуле, от соответствующих опытных значений г/, имеет наименьшее значение по сравнению с другими функциями, из числа которых выбирается искомое приближение.

Используя методы дифференциального исчисления и метод наименьших квадратов, формулируют аналитические условия достижения суммой квадратов отклонений а своего наименьшего значения.

Если аппроксимирующая функция строится таким образом, чтобы в узлах (х/) она точно принимала значения г/, процедура называется интерполированием, а функция — интерполирующей.

Как правило, интерполирование используется для аппроксимации функции в промежуточных точках диапазона. Приближенное вычисление функции за пределами диапазона — экстраполяция.