Напряжения в вязкой жидкости

Понятие о вязкости и ее роли в механических процессах при течении жидкости сформулировал Ныотон, а обобщил Стокс. Подход Стокса до сих пор является основой построения модели вязкой среды ньютоновского типа. Согласно этому подходу компоненты тензора вязких напряжений являются линейными функциями первых производных ноля скоростей. Этот простой вид зависимости постулируется при установлении связи и достаточно хорошо отражает проявление вязкости в ламинарных течениях. Однако при течениях сложной структуры с большими деформациями могут быть построены и более сложные зависимости. В частности, линейная зависимость от компонентов тензора скоростей деформаций является дискуссионным моментом при применении уравнений Навье — Стокса для прямого численного моделирования турбулентных течений.

В основе подхода Стокса лежат два допущения о напряжениях. Согласно первому из них составляющие тензора напряжений при отсутствии вязкости приводятся к составляющим в идеальной жидкости:

Второе допущение определяет вид взаимосвязи напряжений и скоростей деформации. Постулируется, что величины вязких напряжений Tij являются линейными однородными функциями от составляющих тензора скоростей деформаций, причем коэффициенты этих функций не зависят от выбора прямоугольной системы координат. Линейность здесь присутствует как простейший вид зависимости, а независимость от системы координат связана с изотропностью. Главные оси тензора скоростей деформации и тензора напряжений совпадают.

Для вывода основных соотношений перейдем в главную СК, оси которой направлены по главным осям тензора напряжений и тензора скоростей деформации (рис. 4.2). Тензоры вязких напряжений и скоростей деформации в главной системе имеют вид.

Запишем соотношения связи между напряжениями и деформациями.

Свойство линейности и однородности для главного вязкого напряжения т представится как.

Повернем теперь систему координат относительно оси Х так, чтобы новое положение оси ох2 пошло по старому направлению охз. Новая С К также является главной (собственные вектора определяются с точностью до знака, а их порядок устанавливается произвольно). Будем помечать компоненты в этой новой системе штрихами. Очевидно, что т[ = т.

Рис. 4.2. Поворот главной системы координат.

В новой СК запишем.

Но из непосредственного рассмотрения следует:

откуда Сравнивая это соотношение с (4.24), получим «2 = аз или.

Аналогичные соотношения получатся и для других главных напряжений. Переписывая их в тензорном виде и полагая а — (12 = 2р, 02 = А, получим закон, который справедлив в любой (и не главной) системе координат:

или, в индексной форме,.

Здесь мы принимаем во внимание, что след тензора скоростей деформаций является его первым инвариантом и представляется как дивергенция векторного поля скорости:

Как мы видим, вязкие напряжения определяются двумя вязкими константами: д и, А. Чтобы изучить роль этих констант, проведем преобразование тензора вязких напряжений т = {т^} — представим его в виде суммы шаровой и дсвиаторной частей:

Как видим, шаровая часть определяет влияние скорости объемной деформации среды на вязкие напряжения.

Введем для комбинации вязких констант, присутствующих в шаровой части, новое обозначение р! — + А и назовем эту новую константу второй вязкостью. Через нее можно выразить вязкую константу, А: А = р! — и переписать реологический закон в виде.

Если жидкость является несжимаемой, то объемная деформация отсутствует и шаровая часть тензора вязких напряжений представляет нулевой тензор. В случае сжимаемой среды именно вторая вязкость определяет влияние скорости объемной деформации ёкк = = div v на вязкие напряжения. Если ц' = 0, то шаровая часть тензора вязких напряжений и в сжимаемой среде становится нулевой и объемная деформация не влияет на напряжения.

Вторая вязкость. Вторая вязкость выпадает из рассмотрения в несжимаемых течениях, в которых отсутствует объемная деформация. Проявляется эта составляющая вязкости при быстром всестороннем сжатии или растяжении. В этом случае, в силу быстроты протекания процессов, может быть нарушено термодинамическое равновесие и возникнут релаксационные процессы, стремящиеся восстановить его. Эти процессы могут быть связаны с установлением равномерного распределения энергии по внутренним и внешним степеням свободы молекул (колебательная релаксация) или с перестройкой кристаллической структуры (структурная релаксация). Если релаксационные процессы не успевают за процессами объемного деформирования, то в возникшем неравновесном состоянии появятся внутренние потоки, приводящие к диссипации энергии — необратимому переходу в теплоту механической энергии при термодинамически неравновесной объемной деформации. Процессы такого рода и определяют вторую вязкость. Объемная вязкость проявляется при прохождении через сред}' ультразвуковых волн, высокая частота которых определяет значительную роль релаксационных процессов в поглощении звука.

Вторая вязкость непосредственно нс измеряется и может быть определена на основе вычитания стоксовской части из коэффициента поглощения ультразвука при его прохождении через среду. Иногда вторым коэффициентом вязкости называют величину, которая стоит коэффициентом при скорости объемной деформации в реологическом законе для вязкой среды:? = 2/3 р — р!

Гипотеза Стокса о второй вязкости. Еще Стокс предложил в качестве гипотезы положение, эквивалентное предположению о равенстве нулю коэффициента второй вязкости. Согласно этой гипотезе сумма нормальных вязких напряжений тензора напряжений равна нулю. Это означает, что вязкость не приводит к деформации объемного сжатия и вторая вязкость может быть принята равной нулю. Тензор напряжений в этом случае имеет вид.

Выпишем теперь компоненты тензора напряжений в координатном виде:

Среда, в которой напряжения определяются по таким зависимостям, называется ньютоновской средой, а соотношение (4.27) — законом Ньютона.