Оптико-механическая аналогия и построение изображений в электронных линзах

Впервые аналогия между распространением света в средах с различными показателями преломления и движением материальных частиц в силовых полях была установлена английским физиком Уильямом Р. Гамильтоном в середине XIX в. В параксиальной электронной оптике, использующей прямую оптико-механическую аналогию, обычно не проводят расчеты всего множества траекторий частиц в поле, создаваемом электродами. Это позволяет упростить анализ электронно-оптических систем, применяя те же простые аналитические выражения, которые используются для описания прохождения лучей света сквозь световые линзы. В таком случае электронная линза полностью определяется (рис. 2.10), если известны положения ее главных фокусов (точки и F₂) и главных плоскостей (точки Я, и Я₂). На рисунке 2.10, а показан ход электронных лучей в электростатической линзе, т. е. в области, занятой полем, в которой вторая производная распределения потенциала вдоль оси z U₀" (z) не обращается в ноль. Видно, что линза уменьшает объект величиной г₀ до величины г_н в плоскости изображения. При этом все лучи, выходящие из плоскости объекта параллельно оси z, пересекают главную оптическую ось в точке F₂, а расстояние от точки А, где происходит преломление лучей, до точки F₂ называется фокусным расстоянием в пространстве изображения (/^). Также существуют точка фокуса F_} и фокусное расстояние /, в пространстве объекта. Следует отметить, что у электронных линз, в отличие от световых, главные плоскости в пространстве объекта и изображения смещены друг относительно друга в противоположные стороны (см. рис. 2.10, я), а плоскость симметрии линзы (точка Я₀) может не лежать между ними. Это связано с ускоряющим (или тормозящим) действием поля на частицы и соответствующим изменением кривизны траекторий. В частности, это характерно для иммерсионной линзы, описание которой будет приведено ниже.

Рис. 2.10. Построение изображения объекта в электростатической электронной линзе:

а — ход лучей в области действия поля линзы; б — упрощенная схема (тонкая линза)

Заменим линзу для простоты преломляющей плоскостью, считая ее тонкой (рис. 2.10, б). Углы расхождения и схождения траекторий пучка а, и а₂ назовем апертурными углами. Пользуясь рисунком 2.10 и основным уравнением параксиальной электронной оптики в виде (2.21), выразим связь между потенциалами, примыкающими к линзе, и геометрическими характеристиками лучей. Главные лучи r,(z) и r₂(z) образуют с оптической осью соответственно углы ф, и ф₂. Введем еще два луча, один из которых создает изображение точки А, а другой — точки В, обозначив их соответственно г, *(z) и r₂*(z). Луч r,*(z) образует с оптической осью в точках АиА' апертурные углы а, и а₂. Из элементарных геометрических соображений видно, что отношение этих углов так же как и в световой оптике определяет угловое увеличение т:

Аналитические выражения для лучей г, *{z) и r₂*(z) в соответствии с уравнением параксиальной оптики (2.21) можно представить в виде:

Умножив первое выражение на r₂*(z), а второе на г, *(z) и приравняв их вследствие оавснства поавых частей, получаем:

Интегрирование полученного выражения дает:

где С — константа, определяемая начальными условиями. Тогда в точках А и А где г, *(z) обращается в нуль (см. рис. 2.10, б), получаем:

Приравняв выражения (2.28) и (2.29), можно записать:

или для малых углов а, и а₂:

Формула (2.31) является полным аналогом уравнения ЛагранжаГельмгольца, применяемого в световой оптике, в котором роль показателей преломления среды играют квадратные корни электрического потенциала ^jlT и ₂. Для электронных линз также справедливо понятие масштаба, или линейного увеличения, определяемого как.

С учетом определенного углового увеличения и масштаба (см. выражения (2.23) и (2.32)), уравнение Лагранжа-Гельмгольца можно представить в виде:

Аналогичным образом, интерпретируя геометрически полученные выражения 2.23—2.30, можно показать связь между фокусными расстояниями и электронно-оптическими показателями преломления, которая выражается так же, как и для световой линзы в виде:

Соотношения (2.14)—(2.32) полезны для понимания принципов фокусировки электронных пучков электрическим полем. Именно такое действие на электронный пучок оказывает первая, электростатическая линза электронной пушки. Эта линза является ускоряющей, и чаще всего представляет собой иммерсионную линзу (см. раздел. 2.6).