Функция длины и матричные алгебры

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

исследования.

Длиной конечной системы порождающих S конечномерной ассоциативной алгебры Л над произвольным полем называется наименьшее натуральное число Z («S), такое что слова длины не большей l (S) порождают данную алгебру как векторное пространство. Длиной алгебры называется максимум длин ее систем порождающих, обозначим ее 1(A).

Задача вычисления длины полной алгебры матриц Мп (¥-) как функции порядка матриц возникла в работах Спенсера и Ривлина 1959;60гг. [24], [25] в связи с возможным применением в механике. В общей формулировке эта проблема была поставлена Пазом в 1984 году в работе [20] и до сих пор является открытой. Существует гипотеза, состоящая в том, что зависимость между длиной и порядком матриц линейная и задается следующей формулой:

Гипотеза ([20]). Пусть F — произвольное поле. Тогда l (Mn (F)) = 2п — 2.

Известно, что эта гипотеза верна при п = 2,3,4 (см. [20, пример]). Однако, все существующие верхние оценки длины алгебры матриц не являются линейными.

Оценка, полученная в работе Паза, является квадратичной относительно порядка матриц.

Теорема 1 ([20, теорема 1, замечание 1]). Пусть F — произвольное поле. Тогда п2 -4- 2.

1(Мп (¥-))< где [.] обозначает наименьшее целое число, большее или равное данному.

В работе 1997 г. [19] Паппачена предложил обобщение метода комбинаторного подсчета линейно независимых слов, использованного Пазом, и с его помощью получил верхнюю оценку длины произвольной ассоциативной алгебры Л в виде функции двух ее инвариантов: размерности и т (Л) — максимальной степени минимального многочлена элементов алгебры.

Теорема 2 ([19, теорема 3.1]). Пусть F — произвольное поле и пусть.

1 ч / 2 d 1 т п.

Тогда 1(A) < /(dim А, т (Л)).

Для матричной алгебры эта теорема дает верхнюю оценку вида 0(п3//2): Теорема 3 ([19, следствие 3.2]). Пусть F — произвольное поле. Тогда.

Некоторые системы порождающих, длины которых не превосходят 2п — 2, рассмотрены в работе Константайна и Дарнолла [11] и в работе Лонгстаффа [18]. Пример системы порождающих длины 2п — 2 в случае, когда основное поле является алгебраически замкнутым характеристики 0, построен в работе Лаффи [16, раздел 4]. Это направление тесно связано с изучением коммутативных подалгебр матричной алгебры — классической областью исследований, восходящей еще к работе Шура [22]. Эта область активно развивается в течение последнего столетия, достаточно упомянуть работы [5], [10], [12], [13], [15], [17], [23]. В работе Паза [20, теорема 2], например, было доказано, что верхняя оценка длины коммутативной матричной подалгебры над полем комплексных чисел С равна п — 1, т. е. для коммутативных подалгебр получена линейная относительно порядка матриц точная верхняя оценка длины.

Приложения разрабатываемой теории возникают в следующем классе задач вычислительных методов в теории матриц (см., например, [1], [9]): пусть дана подалгебра в полной алгебре матриц Мп (F) порядка п над полем F (обычно полем комплексных или действительных чисел), заданная порождающим множеством Ai,., Ak, и требуется проверить, обладает ли данная алгебра некоторым заданным свойством. При этом процедура проверки должна быть рациональной, т. е. использующей конечное число арифметических операций с элементами матриц. Такие процедуры как правило включают в себя рациональную процедуру вычисления базиса алгебрыдлина порождающего множества Ai,., Ak ограничивает сверху число матриц, участвующих в рассматриваемых произведениях матриц, т. е. является мерой сложности этой процедуры. Также длина определяет сложность рациональной процедуры проверки, является ли некоторое множество системой порождающих для заданной алгебры.

Отметим, что в ряде вычислительных задач требуется оценить длину произвольного подмножества S1 в алгебре А, которое может порождать не всю алгебру, а ее собственную подалгебру Л! С Л. Или, найти такое число М Е N, что для любой подалгебры Л' С Л будет справедлива оценка l (A') < М. В силу тривиальной оценки длины l (A') < dim Л' — 1, всегда можно положить М = dim Л — 1. Однако, как показывает, например, оценка в теореме 3, тривиальная оценка может не быть точной.

Таким образом, вопросы, связанные с вычислением и оцениванием длин различных матричных подалгебр, мотивированы приложениями и активно разрабатываются. Поэтому построение общей теории функции длины представляет не только самостоятельный теоретический интерес, но и является эффективным инструментом работы с различными классами вычислительных задач в прикладной и теоретической алгебре. Этим объясняется актуальность.

Цель работы.

Изучение основных алгебраических свойств функции длины и применение этих результатов к вычислению или оцениванию длин классических матричных подалгебр.

Научная новизна.

Полученные в диссертации результаты являются новыми. Среди них:

• Исследование основных теоретико-кольцевых свойств функции длины: сохранение длины алгебры при добавлении внешней единицыточные верхняя и нижняя оценки длины прямой суммы алгебрнеубывание длины при переходе к алгебраическому расширению основного поляневозрастание длины алгебры при эпиморфизмахнижняя оценка длины тензорного произведения алгебрверхняя оценка длины локальной алгебры как функция индекса нильпотентности ее радикала Джекобсона и размерности фактора по радикалу.

• Доказательство того, что длина подалгебры может превышать длину содержащей ее алгебры на любое натуральное число, и что отношение длины подалгебры к длине алгебры может быть любым рациональным числом из отрезка [1, 2].

• Нахождение точной верхней оценки длины коммутативных матричных алгебр в случае произвольного поля (теорема 2.2.1). Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольными полями в терминах порождающих элементов (теоремы 2.4.12 и 2.4.17).

• Исследование верхней оценки длины коммутативной алгебры как функции двух инвариантов этой алгебры — размерности и максимальной степени минимального многочлена элементов алгебры (теорема 2.5.14).

• Вычисление длин следующих классических матричных подалгебр: алгебры верхнетреугольных матрицалгебры диагональных матрицалгебры Шураалгебры' Куртера.

Основные методы исследования.

Наряду с классическими методами и результатами линейной алгебры и тео- 1 рии колец, используются также методы комбинаторной алгебры, ориентированные на исследование функции длины алгебр, развитые автором.

Теоретическая и практическая значимость.

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории колец, линейной алгебры, вычислительных методов.

Апробация результатов i.

Результаты диссертации неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах: научно-исследовательский семинар по алгебре кафедры Высшей алгебры МГУ, «Кольца и модули», «Теория матриц» и «Избранные вопросы алгебры» кафедры Высшей алгебры МГУна семинаре факультета математики университета г. Билефельда, Германия в 2005 и 2006 гг.

Также результаты докладывались на следующих конференциях:

• Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, Москва, 2004;

• Международный семинар по компьютерной алгебре и информатике, посвященный 30-летию лаборатории вычислительных методов, Москва, 2005;

• 2-я международная конференция по матричным методам и операторным уравнениям, Москва, 2007;

• 8-я конференция по линейной алгебре, Любляна, Словения, 2008;

• Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Москва, 2008;

• Международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений,» посвященная 70-летию ректора МГУ академика В. А. Садовничего, Москва, 2009;

• Научная конференция «Ломоносовские чтения» Москва, 2009. Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Общий объем работы составляет 129 страниц.

Список литературы

включает 35 наименований.

1. Ю. А. Альпин, Х. Д. Икрамов, Об унитарном подобии матричных семейств, Матем. заметки, 74:6 (2003), 815−826.

2. И. Ламбек, Кольца и модули, Москва: Мир, 1971.

3. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, Изд.4, Москва: Наука, 1975.

4. Р. Пирс, Ассоциативные алгебры, Москва: Мир, 1986.

5. Д. А. Супруненко, Р. И. Тышкевич, Перестановочные матрицы. 2-е изд. Москва: УРСС, 2003.

6. В. В. Воеводин, Е. Е. Тыртышников, Вычислительные процессы с теп-лицевыми матрицами, Москва: Наука, 1987.

7. Фам Вьет Хунг, Верхняя граница для размерности коммутативных нильпотентных подалгебр алгебры матриц, Известия Академии Наук БССР, Серия физико-математических наук, 3(1987), 110−111.

8. Р. Хорн, Ч. Джонсон, Матричный анализ, Москва: Мир, 1989.

9. Yu.A. Al’pin, Kh.D. Ikramov, Reducibility theorems for pairs of matrices as rational criteria, Linear Algebra Appl!, 313(2000), 155−161.

10. W. C. Brown, F. W. Call, Maximal commutative subalgebras of n x n matrices, Coramun. Algebra, 21(12)(1993), 4439−4460.

11. D. Constantine, M. Darnall, Lengths of finite dimensional representations of PWB algebras, Linear Algebra Appl., 395(2005), 175−181.

12. R. C. Courter, The dimension of maximal commutative subalgebras of Kn, Duke Math. J., 32 (1965), 225−232.

13. M. Gerstenhaber, On dominance and varieties of commuting matrices, Ann. Math., 73 (1961), Issue 2, 324−348.

14. R. A. Horn, C. R. Johnson, Topics in matrix analysis, Cambridge University Press, 1991.

15. Т. J. Laffey, The minimal dimension of maximal commutative subalgebras of full matrix algebras, Linear Algebra Appl., 71 (1985), 199−212.

16. T. J. Laffey, Simultaneous reduction of sets of matrices under similarity, Linear Algebra Appl., 84(1986), 123−138.

17. T. J. Laffey, S. Lazarus, Two-generated commutative matrix subalgebras, Linear Algebra Appl., 147(1991), 249−273.

18. W. E. Longstaff, Burnside’s theorem: irreducible pairs of transformations, Linear Algebra Appl., 382(2004), 247−269.

19. C. J. Pappacena, An upper bound for the length of a finite-dimensional algebra, J. Algebra, 197(1997), 535−545.

20. A. Paz, An application of the Cayley-Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables, Linear Multilinear Algebra, 15(1984), 161— 170.

21. H. Radjavi, P. Rosenthal, Simultaneous triangularisation, Springer, 2000.

22. I. Schur, Zur theorie der vertauschbaren matrizen, J. Reine Angew. Math., 130(1905), 66−76.

23. Youngkwon Song, A construction of maximal commutative subalgebra of matrix algebras, J. Korean Math. Soc., 40 (2003), No. 2, 241−250.

24. A. J. M. Spencer, R. S. Rivlin, The theory of matrix polynomials and its applications to the mechanics of isotropic continua, Arch. Ration. Mech. Anal., 2(1959), 309−336.

25. A. J. M. Spencer, R. S. Rivlin, Further Results in the theory of matrix polynomials, Arch. Ration. Mech. Anal., 4(1960), 214−230.

26. A. Wadsworth, The algebra generated by two commuting matrices, Linear Multilinear Algebra, 27(1990), 159−162.Публикации автора по теме диссертации.

27. Маркова О. В., О длине алгебры верхнетреугольных матриц, Успехи математических наук, 60:3 (2005), 177−178.

28. Маркова О. В., Вычисление длин матричных подалгебр специального вида, Фундаментальная и прикладная математика, 13:4 (2007), 165−197.

29. Markova O.V., Matrix algebras and their length, в сб. Matrix methods: theory, algorithms, applications., World Scientific Publishing, 2008, 116−139.

30. Guterman A.E., Markova O.V., Commutative matrix subalgebras and length function, Linear Algebra and its Applications, 430(2009), 1790−1805.

31. Маркова О. В., Характеризация коммутативных матричных подалгебр максимальной длины над произвольным полем, Вестник Московского университета. Сер.1. Математика. Механика. 5(2009), 53−55.

32. Markova O.V., On the length of matrix subalgebras, Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, Тезисы докладов, Москва, 2004, стр. 233.

33. Markova O.V., On the commutative matrix subalgebras of maximal length, Международный семинар по компьютерной алгебре и информатике, посвященный 30-летию лаборатории вычислительных методов, Тезисы докладов, Москва, 2005, стр. 18−19.

34. Markova O.V., Matrix algebras and their length, 2-я международная конференция «Матричные методы и операторные уравнения», Тезисы докладов, Москва, 2007, 55−56.

35. Markova O.V., On the algebraic properties of the length function, Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша, Тезисы докладов, Москва, 2008, 327−328.