Метод подвижного корепера в геометрии дифференциальных уравнений
Диссертация
Основой применения групп Ли для изучении дифференциальных уравнений является конструкция группы симметрий. В настоящее время имеется большое количество книг, детально описывающих этот подход, см. В рамках классической теории Ли группа симметрий дифференциальных уравнений состоит из тех невырожденных (обратимых) замен его независимых и зависимых переменных и порожденных ими преобразований… Читать ещё >
Содержание
- 1. Дифференциальные уравнения, метод Картана и псевдогруппы Ли
- 1. 1. Расслоения джетов и дифференциальные уравнения
- 1. 2. Накрытия дифференциальных уравнений
- 1. 3. Системы Пфаффа в инволюции
- 1. 4. Локальные группы Ли
- 1. 5. Метод эквивалентности Картана
- 1. 5. 1. Частная проблема эквивалентности
- 1. 5. 2. Общая проблема эквивалентности
- 1. 5. 3. Различные обобщения проблемы эквивалентности
- 1. 6. Псевдогруппы Ли
- 2. Проблема Ли — Лиувилля — Тресса
- 3. Сравнение различных подходов к применению метода Картана в изучении псевдогрупп симметрий дифференциальных уравнений
- 3. 1. Априорно известные геометрические свойства изучаемого дифференциального уравнения
- 3. 2. Использование разложения инфинитезимальных генераторов транзитивных псевдогрупп Ли в ряды Тейлора
- 3. 3. Инвариантизованные определяющие уравнения для форм Маурера-Картана
- 4. Псевдогруппы контактных преобразований на расслоениях джетов
- 4. 1. Формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы точечных преобразований на 71(Мп, Ет)
- 4. 2. Формы Маурера-Картана и структурные уравнения псевдогруппы контактных преобразований на 72(ЖП, М)
- 5. Псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений
- 5. 1. Метод подвижного корепера и псевдогруппы точечных симметрий дифференциальных уравнений
- 5. 2. Метод подвижного корепера и псевдогруппы контактных симметрий дифференциальных уравнений
- 6. Проблемы эквивалентности для дифференциальных уравнений
- 6. 1. Проблема Лапласа для линейных гиперболических уравнений
- 6. 2. Проблема Лапласа для линейных параболических уравнений
- 6. 3. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения Калоджеро — Хантера — Сакстона
- 6. 4. Проблема эквивалентности для уравнения Христиановича-Рыжова
- 7. Накрытия дифференциальных уравнений и интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий
- 7. 1. Накрытия и псевдогруппы симметрий дифференциальных уравнений
- 7. 2. Контактные интегрируемые расширения псевдогрупп симметрий
- 7. 3. Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного модифицированного уравнения Хохлова-Заболотской
- 7. 4. Контактное интегрируемое расширение и накрытие уравнения Дунайского
- 7. 5. Накрытия и многозначные решения дифференциальных уравнений
- 7. 6. Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного бездисперсионного (2+1)-мерного уравнения
- Дима
- 7. 7. Контактные интегрируемые расширения и накрытия обобщенного дважды модифицированного бездисперсионного уравнения Кадомцева-Петвиашвили
Список литературы
- Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1989
- Ахатов И.Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход. // Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 34, М.: ВИНТИ, 1989.
- Бахвалов Н.С., Жилейкин Я. М., Заболотская Е. А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982
- Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны. Нелинейные интегрируемые уравнения. М.: Наука, 1991
- Васильев A.M. Системы трех дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при трех неизвестных функциях и двух независимых переменных (локальная теория) // Матем. сборник, 1996, Т. 70 (112), С. 457 480
- Васильева М.В. Структура бесконечных групп Ли преобразований. М.: МГПИ, 1972
- Васильева М.В. Бесконечные группы Ли и их геометрические приложения. М.: МГПИ, 1975
- Виноградов A.M. Теория высших инфинитезимальных симметрий нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными // ДАН СССР, 1979, Т. 248, № 2, С. 274−278
- Виноградов A.M., Красильщик И. С., Лычагин В. В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986
- Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988
- Дубровский В.Г. Применение метода обратной задачи к построению точных решений (2+1)-мерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений. Дисс.. д.ф.-м.н., Новосибирск, 1999
- Захаров В.Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов. Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980
- Захаров В.Е., Шабат А. Б. Схема интегрирования нелинейных эволюционных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функц. анализ и его прил., 1974, Т. 6, № 3, С. 43 53
- Звягин М.Ю. Преобразования Бэклунда уравнений Монжа-Ампера. Дисс.. к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1985
- Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983
- Ибрагимов Н.Х. Инварианты гиперболических уравнений: решение проблемы Лапласа // Прикл. мат. техн. физ., 2004, Т. 45, № 2, С. 11−21
- Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985
- Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические приложения. М.: МГУ, 1962
- Картан Э. Избранные труцы. М.: МЦНМО, 1998
- Киселев О.М. Асимптотики решений многомерных интегрируемых уравнений и их возмущений // Современная математика. Фундаментальные направления. 2004, Т. 11, С. 3−149
- Кричевер И.М. Метод усреднения для двумерных «интегрируемых» уравнений // Функц. анализ и прил., 1988, Т. 22, № 3, С. 37−52
- Кузьмина Г. М. О геометрии системы двух дифференциальных уравнений в частных производных // Ученые записки МГПИ, 1965, № 243, С. 99 108
- Кузьмина Г. М. О возможности сведения системы двух уравнений с частными производными первого порядка к одному уравнению второго порядка // Ученые записки МГПИ, 1967, № 271, С. 67 76
- Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968
- Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка // УМН, 1979, Т. 34, № 1, С. 137 165
- Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения^ 2003, Т. 39, № 3, С. 423−424
- Морозов О.И. Проблема эквивалентности для класса рациональных обобщенных уравнений Абеля // Дифференциальные уравнения, 2005, Т. 41, № 6, С. 855−856
- Морозов 0: И. Геометрия класса уравнений Абеля и метод эквивалентности Картана// Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2005,. № 91 (9), С. 28−35
- Морозов О.И. Линеаризуемость и интегрируемость обобщенного уравнения^ Калоджеро-Хантера-Сакстона // Научный вестник МГТУ ГА, сер. Матем., физ., 2007, № 114 (4), С. 34−41
- Морозов О.И. Формы Маурера-Картана псевдогруппы симметрий и накрытие второго небесного уравнения Плебанского // Научный вестник МГТУ ГА, 2009, № 140, С. 14−21
- Морозов 0-И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. I // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 92−99
- Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. II // Научный вестник МГТУ ГА, 2010, № 157, С. 100−106
- Морозов О.И. Проблема точечной эквивалентности обобщенных уравнений Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения, 2010, Т. 46, № 6, С. 902−903
- Олвер П.Дж. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989
- Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: СО АН СССР, 1962
- Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978
- Павлов M.B. Уравнение Калоджеро и уравнения типа Лиувилля // Теор. мат. физ., 2001, Т. 128, С. 927−932
- Цоммаре Ж. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М-: Наука, 1983
- Рождественнский Б. Л. Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газодинамике. М.: Наука, 1968.
- Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / Под ред. A.M. Виноградова и И. С. Красильщика, М.: Факториал, 1997
- Синцов Д.М. Заметки об уравнениях, аналогичных уравнению Рикка-ти. // К вопросу о рациональных интегралах линейных дифференциальных уравнений. Казань, 1897
- Солитоны / под ред. Р. Буллафа и Ф. Кодри. М.: Мир, 1983
- Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир- 1970
- Суровихин К.П. Внепшие формы Картана и отыскание основной группы, допускаемой данной системой уравнений // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1965, № 6, С. 70 81
- Суровихин К.П. О грзчшовой классификации методом Картана уравнений одномерного течения газа // ДАН СССР, 1966, Т. 171, № 1, С. 55 -58
- Суровихин К.П. Структурные уравнения при наличии интранзитивной группы в случае общих одномерных течений газа // Вестник МГУ, Сер. Мат. Мех., 1967, № 1, С. 56 64
- Ферапонтов Е.А. Преобразования Бэклунда квазилинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка при двух независимых переменных. Дисс.. к.ф.-м.н., Москва, МГУ, 1987
- Фиников С.П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Теория совместности систем дифференциальных уравнений в полных дифференциалах и частных производных. М.: ГИТТЛ, 1948
- Хамитова P.C. Структура группы и базис законов сохранения // Теор. мат. физ., 1982, Т. 52, № 2, С. 244−251
- Христианович С.А., Рыжов О. С. О нелинейном отражении слабых ударных волн // Прикл. мат. техн. физ., 1958, Т. 58, № 5, С. 586−595
- Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.: Гостехиздат, 1949
- Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М.: ИЛ, 1954
- Alfinito Е., Profilo G., Soliani G. Properties of equations of the continuous Toda type // J. Phys. A, 1997, Vol. 30, P. 1527−1547
- Anderson I.M., Fels M.E. Transformations of Darboux integrable systems // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 21 -48
- Anderson I.M., Juras M. Generalized Laplace invariants and the method of Darboux // Duke J. Math., 1997, Vol. 89, P. 351−375
- Babich M.V., Bordag L.A. Projective differential geometrical structure of the Painleve equations // J. Diff. Eq., 1999, Vol. 157, P. 452 485
- Backlund A.V. Ueber Flachentransformationen // Math. Ann., 1876, Vol. 9, P. 297−320
- Backlund Transformations, the Inverse Scattering Method, Solitons, and Their Applications. Lect. Notes Math., 515 / Miura R.M., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1976
- B-laszak M. Classical R-matrices on Poisson algebras and related dispersi-onless systems // Phys. Lett. A, 2002, Vol. 297, P. 191−195
- Bluman G.W., Kumei S. Similarity Methods for Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 13, N.Y.: Springer-Verlag, 1989
- Bluman G.W., Anco S.C. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. N.Y.: Springer-Verlag, 2002
- Bluman G.W., Cheviakov A.F., Anco S.C. Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations. Appl. Math. Sci., No 168. N.Y.: Springer-Verlag, 2010
- Bogdanov, L.V., Konopelchenko, B.G.: On the 8 -dressing method applicable to heavenly equation // Phys. Lett. A, 2005, Vol. 345, P. 137−143
- Bordag L.A., Dryuma V.S. Investigation of dynamical systems using tools of the theory of invariants and projective geometry // Z. Angew. Math. Phys., 1997, Vol. 48, P. 725 743
- Brunelli J.C., Das A., Popowicz Z. Deformed Harry Dym and Hunter-Zheng equations // J. Math. Phys., 2004, Vol. 45, P. 2646−2655
- Bryant R.L., Chern S.S., Gardner R.B., Goldschmidt H.L., Griffiths P.A. Exterior Differential Systems. N.Y.: Springer-Verlag, 1991
- Bryant R.L., Griffiths Ph.A.: Characteristic cohomology of differential systems (II): conservation laws for a class of parabolic equations // Duke Math. J., 1995, Vol. 78, P. 531−676
- Bryant R.L., Griffiths Ph.a., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. I // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 1, No 1, P. 21−112
- Bryant R.L., Griffiths Ph.A., Hsu L. Hyperbolic exterior differential systems and their conservation laws. II // Selecta Math. New Ser., 1995, Vol. 2, No1, P. 265−323
- Calogero F. A solvable nonlinear wave equation // Stud. Appl. Math., 1984, Vol. 70, P. 189−199
- Campbell J.e. Introductory Treatise on Lie Theory of Finite Continuous Transformation Groups. Oxford, 1903
- Cartan E. Sur la structure des groupes infinis de transformations // ?uvres Completes, Part II, Vol. 2, P. 571−715. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]г
- Cartan Е. Les sous-groupes des groupes continus de transformations // ?uvres Completes, Part II, Vol. 2, P. 719−856. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]
- Cartan E. Les problemes d’equivalence // ?uvres Completes, Part II, Vol.2, P. 1311−1334. Paris: Gauthier Villars, 1953
- Cartan E. La structure des groupes infinis // ?uvres Completes, Part II, Vol. 2, P. 1335−1384. Paris: Gauthier Villars, 1953, русский перевод в 19]
- Cartan E. Sur les varietes a connexion projective // Bull. Soc. Math. France, 1924, Vol. 52, P. 205 241
- Chang J.-H., Tu M.-H.: On the Miura map between the dispersionless KP and dispersionless modified KP hierarchies // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5391 5406
- Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan equations for Lie symmetry pseudo-groups of differential equations // J. Math. Phys., 2005, Vol. 46, 23 504
- Cheh J., Olver P.J., Pohjanpelto J. Algorithms for differential invariants of symmetry groups of differential equations // Foundations of Computational Mathematics, 2008, Vol. 8, R 501−532
- Clairin J. Sur les transformations de Baecklund // Ann. Sci Ecole Norm. Sup. 1902, Vol. 3, Supplement, P. 1−63
- Clelland J.N. Geometry of conservation laws for a class of parabolic partial differential equations I // Selecta Mathematical New Series, 1997, Vol- 3, P- 1−77
- Clelland JiN. Geometry of conservation laws for a class of parabolic PDEs E: Normal forms for equations with conservation laws // Selecta Mathematica, New Series, 1997, Vol. 3, P. 497−515
- Clelland J.N. Homogeneous Backlund transformations of hyperbolic Mon-ge-Ampere systems // Asian J. Math., 2002, Vol. 6, P. 433 480
- Clelland JiN., Ivey T.A. Parametric Backlund transformations I: phenomenology // Trans. Amer. Math. Soc. 2005, Vol. 357, P. 1061 1093
- Clelland J.N., Ivey T.A. Backhand transformations and Darboux integrabi-lity for nonlinear wave equations // Asian J. Math., 2009, Vol. 13, P. 15 -64
- Cohen A. An Introduction to the Eie Theory of One-Parameter Groups, with Applications to the Solution of Differential Equations. N.Y.: D.C. Heath & Co, 1911
- Dickson L.E. Differential equations from the group standpoint // Ann. Math., 1924, Vol. 25, P. 287−378
- Dodd R.K., Morris H.C. Backlund transformations // 104], P. 63 94
- Dodd R., Fordy A. The prolongation structures of quasi-polynomial flows // Proc. Roy. Soc. London, A, Vol. 385, P. 38929
- Dryuma V. On the Riemann and Einstein-Weil geometry in theory of the second order ordinary differential equations. Preprint, www. arXiv. org: math. DG/104 278 (2001)
- Dunajski M. A class of Einstein-Weil spaces associated to an integrable system of hydrodynamic type // J, Geom. Phys., 2004, Vol. 51, P. 126 137
- Dunajski M. Interpolating dispersionless integrable system // J. Phys. A, 2008, Vol. 41, 315 202
- Ermakov S. Short wave / long wave interaction and amplification of decimeter-scale wind waves in film slicks // Geophysics Research Abstracts, 2006, Vol. 8, 469
- Estabrook F.B.: Moving frames and prolongation algebras // J. Math. Phys., 1982, Vol. 23, P. 2071−2076
- Fels M., Olver P.J.: Moving coframes. I. A practical algorithm // Acta. Appl. Math., 1998, Vol. 51, P. 161−213
- Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R.: The characterization of two-component (2+l)-dimensional integrable systems of hydrodynamic type // J. Phys. A.: Math. Gen., 2004, Vol. 37, P. 2949 2963
- Ferapontov E.V., Khusnutdinova K.R., Tsarev S.P.: On a class of three-dimensional integrable Lagrangians // Comm. Math. Phys., 2006, Vol. 261, P. 225 243
- Ferapontov E.V., Moro A., Sokolov V.V.: Hamiltonian systems of hydrodynamic type in 2+1 dimensions. Preprint www. arXiv :0710.2012 (2007)
- Foltinek K. Third-order scalar evolution equations with conservation laws // Selecta Math., New Ser., 2002, Vol. 8, P. 201−235
- Gardner R.B. The Method of Equivalence and Its Applications. CBMS-NSF regional conference series in applied math., Philadelphia: SLAM, 1989
- Gardner R.B., Kamran N. Characteristics and the geometry of hyperbolic equations in the plane // J. Diff. Eq., 1993, Vol. 104, P. 60−116
- Gardner R.B., Kamran N. Normal forms and focal systems for determined systems of two first-order partial differantial equations in the plane // Indiana Math. J., 1995, Vol. 44, P. 1127−1161
- Geometrical Approaches to Differential Equations. Lect. Notes Math., 810. / Martini R., Ed. N.Y.: Springer-Verlag, 1980
- Golovin S.V. Group foliation of Euler equations in nonstationary rotatio-nally symmetrical case // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2004, Vol. 50, Part 1, P. 110−117
- Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations / Ibragimov N.H., Ed. Vol. 1 -3, Boca Raton (Fl): CRC Press, 1994 1996
- Harrison B.K. On methods of finding Backlund transformations in systems with more than two independent variables // J. Nonlinear Math. Phys., 1995, Vol. 2, P. 201−215
- Harrison B.K. Matrix methods of searching for Lax pairs and a paper by Estevez I I Proc. Inst. Math. NAS Ukraine, 2000- Vol. 30, Part 1, P. 17−24
- Hoenselaers C. More Prolongation Structures // Prog. Theor. Phys., 1986, Vol. 75, P. 1014−1029
- Hsu L., Kamran N. Classification of second-order ordinary differentialequ-ations admitting Lie groups of fiber-preserving symmetries // Proc. London Math. Soc., 1989, Vol-. 58, P. 387 416
- Hunter J.K., Saxton R*. Dynamics of director fields // SIAM J. Apph Math., 1991, Vol. 51, P. 1498- 1521
- Husain V. Self-dual gravity and the chiral model // Phys. Rev. Lett., 1994, Vol. 72, P. 800 803
- Ibragimov N. H-. Infinitesimal method in the theory of invariants of algebraic and differential equations // Notices of the South' African Mathematical Society, 1997, Vol. 29, P. 61 70
- Ibragimov N.H. Elementary Lie Group* Analysis and Ordinary Differential Equations. New York: John Wiley and Sons, 1999
- Ibragimov N.H. Laplace type invariants for parabolic equations // Nonlinear Dynamics, 2002, Vol. 28, P. 125 -133
- Igonin, S. Coverings and the fundamental group for partial differential equations // J. Geom. Phys., 2006, Vol. 56, P. 939−998
- Igonin, S., Krasil’shchik, J. On one-parametric families of Backlund transformations. Preprint arXiv: nlin/10 040 (2000)
- Igonin, S., Kersten, P., Krasil’shchik, I. On symmetries and cohomological invariants of equations possessing flat representations. Preprint DIPS-07, The Diffiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2002)
- Ivey T. A., Landsberg J.M. Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and-Exterior Differential Systems. Grad. Stud. Math. 61. Providence (RI): AMS, 2003
- Jakobsen P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena, I. Preprint, Troms0 University, 1997
- Jakobsen P., Lychagin V., Romanovsky Y. Symmetries and non-linear phenomena, II. Applications to non-linear acoustics. Preprint, Troms0 University, 1998
- Johnpillai I.K., Mahomed F.M. Singular invariant equation for the (1+1) Fokker Planck equation // J. Phys. A Math. Gen., 2001, Vol. 34, P. 1 103 311 051
- Johnpillai I.K., Mahomed F.M., Wafo Soh C. Basis of joint invariants for (1+1) linear hyperbolic equations // J. Nonliear Math. Phys., 2002, Vol. 9, Supplement 2, P. 49 59
- Kamran N. Contributions to the Study of the Equivalence Problem of Elie Cartan and its Applications to Partial and Ordinary Differential Equations. Mem. CI. Sci. Acad. Roy. Belg., 1989, Vol. 45, Fasc. 7
- Kamran N., Lamb K.G., Shadwick W.F. The local equivalence problem for y" = F (x, y, y') and the Painleve transcendents // J. Diff. Geom., 1985, Vol. 22, P. 139- 150w
- Kamran N., Shadwick W.F. Equivalence locale des equations aux deriees partielles quasi lineares du deuxieme ordre et pseudo-groupes infinis // Comptes Rendus Acad. Se. (Paris), Serie I, 1986, Vol. 303, P. 555−558
- Konopelchenko B.G. Nonlinear Integrable Equations. Recursion Operators, Group-Theoretical and Hamiltonian Structures of Soliton Equations. Lect. Notes Phys., 270, N.Y.: Springer-Verlag, 1987
- Konopelchenko B.G. Introduction to Multidimensional Integrable Equations. The Inverse Spectral Transform in 2+1 Dimensions. N.Y.: Plenum Press, 1992r
- Konopelchenko B., Martinez Alonso L.: Dispersionless scalar hierarchies, Whitham hierarchy and the quasi-classical d-method // J. Math. Phys., 2003, Vol. 43, P. 3807 3823
- Konopelchenko B.G., Moro A.: Integrable equations in nonlinear geometrical optics // Stud. Appl. Math., 2004, Vol. 113, P. 325 352
- Kraenkel R., Manna M., Merle V. Nonlinear short-wave propagation in ferrites // Phys. Rev. E, 2000, Vol. 61, P. 976−979
- Krasil’shchik, I.S.: On one-parametric families of Backhand transformations. Preprint DIPS-1/2000, The DifFiety Institute, Pereslavl-Zalessky (2000)
- Krasil’shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal symmetries and the theory of coverings // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, P. 79−86
- Krasil’shchik, I.S., Vinogradov, A.M. Nonlocal trends in the geometry of differential equations: symmetries, conservation laws, and Backlund transformations // Acta Appl. Math., 1989, Vol. 15, P. 161−209
- Kruglikov В. Point classification of second order ODEs: Tresse classification revisited and beyound // Differential Equations: Geometry, Symmetries, and Integrability: The Abel Symposium 2008, Abel Symposia 5, Berlin: Springer-Verlag, 2009. P. 199 221
- Kucharczyk P. Group properties of the «short waves"equation // Bull. Acad. Pol. Sei. Ser. Sei. Technol. 1965, Vol. XIII, No 4, P. 469−475
- Kupershmidt, B.A.: The quasiclassical limit of the modified KP hierarchy // J. Phys. A Math. Gen. 1990, Vol. 23, P. 871 886
- Kuranishi M. On E. Cartan’s prolongation theorem of exterior differential systems // Amer. J. Math., 1957, Vol. 9, P. 1−47
- Kushner A.G., Lychagin V.V., Rubtsov V.N. Contact Geometry and NonLinear Differential Equations. 2007 (Cambridge: Cambridge University Press)
- Laplace P. S. Recherches sur le calcul integral aux differences partielles // Memoires de l’Academie Royale de Sciences de Paris, 1773 1777, 341 — 401, переиздано: ?uvres Completes, Vol. IX, Paris: Gauthier — Villars, 1893
- Lie S. Gesammelte Abhandlungen. Bd. 1 6, Leipzig: Teubner, 1919−1927
- Lie S., Engel F. Theorie der Transformationsgruppen. Bd. 1−3, Leipzig, 1888 1893
- Liouville R. Sur les invariants de certaines equations differentielles et sur leurs applications. // J. de l’Ecole Polytechnique, 1889, Vol. 59, P. 7 76
- Lisle I.G. Equivalence Transformations for Classes of Differential Equations. Ph.D. Thesis, University of British Columbia, 1992
- Lisle I.G., Reid G.J., Boulton A. Algorithmic determination of structure of infinite Lie pseudogroups of symmetries of PDEs // Proceedinds of ISS AC'95 New York: ACM Press, 1995
- Lisle I.G., Reid G.J. Geometry and structure of Lie pseudogroups from infinitesimal defining equations // Journal of Symbolic Computation, 1998, Vol. 26, P. 355−379
- Lychagin V.V. Singularities of multivalued solutions of nonlinear differen-• tial equations, and nonlinear phenomena // Acta Appl. Math., 1985, Vol. 3,1. P. 135 173
- Marvan M. On zero-curvature representations of partial differential equations // Proc. Conf. on Diff. Geom. and Its Appl., Opava (Czech Republic), 1992, P. 103−122
- Marvan M. A direct procedure to compute zero-curvature representations. The case sl2 // Proc. Int. Conf. on Secondary Calculus andCohomological Physics, Moscow, Russia, August 24−31, 1997
- Marvan M. On the horizontal gauge cohomology and nonremovability of the spectral parameter // Acta Appl. Math., 2002, Vol. 72, P. 51−65
- Medolaghi P. Classificazione delle equazioni alle derivate parziali del se-condo ordine, che ammettono un grupo infinito di transformazioni puntuali. // Ann. Mat. Pura Appl., 1898, Vol. 1 (3), P. 229−263
- Morozov O.I. Moving coframes and symmetries of differential equations // J. Phys. A, Math. Gen., 2002, Vol. 35, No 12, P. 2965−2977
- Morozov O.I. Contact equivalence problem for linear parabolic equations. Preprint www. arXiv. org/maph-ph/ 0 3 0 4 0 4 5 (2003)
- Morozov O.I. Contact equivalence problem for nonlinear wave equations. Preprint www. arXiv. org/math-ph/ 306 007 (2003)
- Morozov O.I. Symmetries of differential equations and Cartan’s equivalence method. // Proc. of the Fifth Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics Kyiv, Ukraine, 23 29 June 2003, Part 1, P. 196 203
- Morozov O.I. Contact-equivalence problem for linear hyperbolic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2006, Vol. 135, No 1, P. 2680−2694
- Morozov O.I. Contact equivalence of the generalized Hunter Saxton equation and the Euler — Poisson equation. Preprintwww. arXiv. org/math-ph/ 406 016 (2004)
- Morozov O.I. Structure of symmetry groups via Cartan’s method: comparison of four approaches // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2005, Vol. 1, Paper 006
- Morozov O.I. Applications of Cartan’s structure theory of Lie pseudo-groups in geometry of differential equations // Abstracts of International Conference «Geometry in Odessa 2006», Odessa, 22 — 27 May, 2006, P. 127
- Morozov O.I. Coverings of differential equations and Cartan’s structure theory of Lie pseudo-groups // Acta Appl. Math., 2007, Vol. 99, No 3, P. 309 319
- Morozov O.I. Cartan’s structure theory of symmetry pseudo-groups coverings and multi-valued solutions for the Khokhlov-Zabolotskaya equation // Acta Appl. Math., 2008, Vol. 101, No 1−3, P. 231 241
- Morozov O.I. Coverings of differential equations and Lie pseudo-groups // Workshop on Integrable Systems and Related Topics. Abstracts of talks. Institute of Mathematics, Academia Sinica, Taipei, Taiwan, 15−16 March 2009. P. 6
- Morozov O.I. Contact integrable extensions of symmetry pseudo-groups and coverings of (2+1) dispersionless integrable equations // Journal of Geometry and Physics, 2009, Vol. 59, No 11, P. 1461 1475
- Morozov O.I. Cartan’s structure of symmetry pseudo-group and coverings for the r-th modified dispersionless Kadomtsev-Petviashvili equation // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, No 1, P. 257 272
- Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions // J. Math. Phys., 1976, Vol. 17, P. 1870−1872
- Morris H.C. Prolongation structures and nonlinear evolution equations in two spatial dimensions: a general class of equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1979, Vol. 12, P. 261−267
- Nonlinear Evolution Equations and Dynamical Systems. / Boiti M., Pempi-nelli F., Soliani G., Eds. Lect. Not. Phys., 120. N.Y.: Springer-Verlag, 1980
- Nucci M.C. Pseudopotentials for nonlinear evolution equations in 2+1 orders // Int. J. Non-Lin. Mech., 1988, Vol. 23, P. 361−367
- Olver PJ. Evolution equations possessing infinitely many symmetries // J. Math. Phys., 1977, Vol. 18, P. 1212−1215
- Olver P.J. Equivalence, Invariants, and Symmetry. Cambridge: Cambridge University Press, 1995
- Olver P.J., Pohjanpelto J. Maurer-Cartan forms and the structure of Lie pseudo-groups // Selecta Math., 2005, Vol. 11, P. 99−126
- Olver P.J., Pohjanpelto J. Moving frames for Lie pseudo-groups // Canadian J. Math., 2008, Vol. 60, P. 1336−1386
- Olver P.J., Rosenau Ph. Tri-Hamiltonian duality between solitons and solitary wave solutions having compact support // Phys. Rev. E, 1996, Vol 53, P. 1900 1906
- Ovsienko V., Roger C. Looped cotangent Virasoro algebra and non-linear integrable systems in dimension 2 + 1 // Comm. Math. Phys., 2007, Vol. 273, P. 357 388
- Ovsienko V. Bi-Hamiltionian nature of the equation utx = uxy uy — uyy ux. Preprint www. arxiv. org/ 0802.1818 (2008)
- Page J.M. Ordinary Differential Equations. An Elementary Text-Book with an Introduction to Lie’s Theory of the Group of One Parameter. L.: Macmillan & Co, 1897
- Painleve P. Memoire sur les equations differentielles dont l’integrale generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France, 1900, Vol. 28, P. 201 261
- Painleve P. Sur les equations differentielles du second ordre et d’ordre superieur, dont l’integrale generale est uniforme // Acta Math., 1902, Vol. 25, P. 1 86
- Palese M. Backlund loop algebras for compact and non-compact non-linear spin models in (2+1) dimensions // Theor. Math. Phys., 2005, Vol. 144, No 1, P. 1014−1021
- Palese M., Leo R.A., Soliani G. The prolongation problem for the heavenly equation // Proc. SIGRAV Conference «Recent developments in general relativity» (Bari, 1998). Springer, 2000
- Pavlov M.V. Integrable hydrodynamic chains // J. Math. Phys., 2003, Vol. 44, P. 4134−4156
- Pavlov, M.V. The Kupershmidt hydrodynamics chains and lattices // Intern. Math. Research Notes, 2006, Vol. 2006, article ID 46 987, P. 1 43
- Plebanski J.F. Some solutions of complex Einstein equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 2395 2402
- Rabelo M.L. On equations which describe pseudospherical surfaces // Stud. Appl. Math., 1989, Vol. 81, P. 221−248
- Reyes E.G. The soliton content of the Camassa-Holm and Hunter-Saxton equations // Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2002, Vol. 43, Part 1, P. 201 -208
- Ritt J.F. Integration in Finite Terms. Liouville’s Theory of Elementary Methods. N.Y.: Columbia University Press, 1948
- Roy S., Roy Chowdhury A., De M. Loop algebra of Lie symmetries for a short-wave equation // International Journal of Theoretical Physics, 1988, Vol. 27, No 1, P. 47−55
- Sakovich S.Yu. On zero-curvature representations of evolution equations // J. Phys. A, Math. Gen., 1995, Vol. 28, P. 2861−2869
- Schwarz F. Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations. Boca Raton (Fl): Chapman & Hall/CRC, 2008
- Stohny V. Symmetry properties and exact solutions of the Fokker-Planck equation // Nonlinear Mathematical Physics, 1997, Vol. 4, No 1−2, P. 132 -136
- Stormark O.: Lie’s Structural Approach to PDE Systems. Cambridge: Cambridge University Press, 2000
- Takasaki, K.: Quasi-classical limit of BKP hierarchy and W-infinity symmetries // Lett. Math. Phys., 1993, Vol. 28, P. 177−185
- The D. Contact geometry of hyperbolic equations of generic type // Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 2008, Vol. 4, Paper 058
- The Painleve Property: One Century Later / Ed. by R. Conte, CRM Series in Math. Phys., Berlin: Springer-Verlag, 1999.
- Tod K.P. Einstein-Weil spaces and third order differential equations // J. Math. Phys., 2000, Vol. 41, P. 5572 5581
- Tondo G.S. The eigenvalue problem for the three-wave resonant interaction in (2+1) dimensions via the prolongation structure // Lett. Nuovo Cimento, 1985, Vol. 44, P. 297−302
- Tresse A. Sur les invariants differentielles des groupes continus de transformations // Acta Math., 1894, Vol. 18, P. 1 88
- Tresse A. Determination des invariants ponctuels de l’equation differentielle ordinaire de second ordre y» = w (x, y, y') Il Preisschriften der furstlichen Jablonowski’schen Gesellschaft. 1896, Vol. 32. Leipzig: Hirzel.
- Valiquette F. Structure equations of Lie pseudo-groups // Journal of Lie theory, 2008, Vol. 18, No 4, P. 869−895
- Vessiot E. Sur l’integraton des systemes differentiels des groupes continues de transformations // Acta Math., 1904, Vol. 28, P. 307−349
- Vinogradov A.M. Local symmetries and conservation laws // Acta Appl. Math., 1984, Vol. 2, No 1, P. 21−78
- Wahlquist H.D., Estabrook F.B. Prolongation structures of nonlinear evolution equations // J. Math. Phys., 1975, Vol. 16, P. 1−7
- Xu Xiaoping. Stable range approach to short wave and Khokhlov-Zabolot-skaya equations // Acta Appl. Math., 2009, Vol. 106, No 3, P. 433−454
- Yumaguzhin V.A. Differential invariants of second order ODEs, I // Acta Appl. Math., 2010, Vol. 109, P. 283 313
- Zakharov V.E. Integrable systems in multidimensional spaces // Lect. Notes Phys., 1982, Vol. 153, P. 190−216