Методы регуляризации и нормальных форм для сингулярно возмущенных задач со спектральными особенностями и для задач с быстро изменяющимися ядрами

Теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач, рассмотрению которой посвящена настоящая работа, представлена трудами как российских, так и зарубежных исследователей. Свое первоначальное развитие эта теория получила еще в работах Лиувил-ля [93], Биркгофа С. Д. [15], Л. Шлезингера [181], Прандтля [130]. Однако только в конце сороковых годов настоящего столетия проблемами сингулярно возмущенных задач стал интересоваться широкий круг математиков. Благодаря работам [158,159] А. Н. Тихонова, посвященным исследованиям предельного перехода в сингулярно возмущенных уравнениях с медленными и быстрыми переменными, начинается систематический этап развития математической теории асимптотического интегрирования. В конце пятидесятых годов для линейных задач разрабатывается метод Вишика-Люстерника [31,32], а для нелинейных задачметод Ва-сильевой (см. например, [25−30]). Эти методы стали основой исследования пограничного слоя в задачах, решение которых стремится к предельному с экспоненциальной скоростью (когда возмущение стремится к нулю). Существенные результаты, обобщающие и развивающие метод Вишика-Люстерника-Васильевой, были получены В. Ф. Бутузовым (см. например, [9−14]). Рассматривая сингулярно возмущеные задачи в областях с негладкой границей, он приходит к идее углового пограничного слоя, на основе которой создает эффективный метод исследования как линейных так и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. К этому же направлению примыкают и исследования A.B. Нестерова, развивающие идеи метода погранфункций на задачи с более сложными краевыми условиями в неограниченных областях с негладкой границей (см., например, [118−119]). Развитие идей метода пограничных функций для интегродифференциальных уравнений проводилось в основном в работах М. И. Иманалиева (см., например, [71,72]). Эти же уравнения, но рассматриваемые с позиций метода усреднения[112−114], явились объектом изучения работ А. Н. Филатова и его учеников [169,170].

Сингулярно возмущенные уравнения возникают и при изучении периодических процесссов. При рассмотрении дифференциальных уравнений с большими параметрами Дородницын A.A. разрабатывает теорию асимптотического интегрирования, в основе которой лежат идеи, отличные от идей теории пограничного слоя. Желая исключить в асимптотических решениях секулярные (вековые)члены, Дородныцын A.A. разрабатывает метод эталонных уравнений и на его основе проводит глубокое исследование релаксационных колебаний, описываемых уравнением Ван-Дер-Поля (см., например, [56]). Общая теория релаксационных колебаний с точки зрения построения асимптотических решений разработана в трудах Понтрягина Л. С, Мищенко Е. Ф. и Розова Н.Х.(см., например,[И5-И7], [127,128]). Теория асимптотического интегрирования получила развитие и в работах Ханаева М.М.(см., например, [177−180]), посвященных проблеме устойчивости в критических случаях. Сингулярно возмущенные задачи оптимального управления были рассмотрены М. Г. Дмитриевым [см., например, 24−25]. Теория метода погранфункций оргинально трансформируется им в применении к задачам управления. Изучая возможности метода погранфункций при исследовании оптимальных процессов, М. Г. Дмитриев фактически разрабатывает новую теорию оптимального управления сингулярно возмущенных задач, обогащенную идеями метода Вишика-Люстерника-Васильевой.

Существенные трудности возникают при исследовании сингулярно возмущенных задач, содержащих в качестве множителей при производной не только малый параметр е, но и некоторую матричную функцию, определитель которой при е = О обращается тождественно в нуль. Такое «двойное вырождение» сложным образом влияет на существование решений, их количество и на структуру асимптотических решений. Эти проблемы явились объектом изучения Г. С. Жуковой. В ряде ее работ (см., например, [43,68,69]) предложен эффективный метод исследования указанных задач, позволяюпщй во многих случаях исчерпывающе решить эти проблемы. В зарубежной литературе теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач представлена работами Вазова[19], Лангера[91,92], Дж. Коэла [81], Ван Дайка [36], Чанга К. 182] и других исследователей.

В конце пятидесятых и начале шестидесятых годов С. А, Ломов, изучая модельное уравнение Лайтхилла, приходит к идее регуляризации сингулярных возмущений путем перехода в пространство большей размерности. Эта идея глубоко развивается им в последующих работах (см., например, [8, 97−104]) и приводит к созданию метода регуляризации, наиболее полно изложенному в его монографиях [95,96]. Метод регуляризации позволяет строить асимптотические решения в виде рядов по степеням е, сумма которых псевдоаналитична. Это означает, что регуляризованные ряды сходятся не только асимптотически, но и в обычном смысле в некоторой кольцевой окрестности О < {?:| < точки? = 0. Впервые в теории дифференциальных уравнений наметилось новое направление, связанное с развитием аналитической теории сингулярных возмущений (см., например,[89]). Результаты С. А. Ломова по псевдоаналитичности были обобщены на уравнения в частных производных В. И. Прохоренко [133] и на нелинейные уравнения В. Ф. Сафоновым [154], который впервые применил для изучения псевдоаналитичности регуляризацию с помощью нормальных форм (см. 148−156]).

Настоящая работа посвящена развитию методов регуляризации и нормальных форм на некоторые (ранее не изученнные) классы сингулярно возмущенных задач. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритмов построения регуляризованных асимптотических решений для интегральных уравнений Вольтерра с быстро изменяющимися ядрами, для нелинейных сингулярно возмущенных ин-тегродифференциальных уравнений, для интегральных систем с диагональным вырождением ядра, а также для задач оптимального управления с быстро изменяющимися ядрами функционалов и задач с точкой поворота.

Первое применение метода регуляризации к интегродифференциаль-ным уравнениям мы находим в работе С. А, Ломова (1970), посвященной системам типа Вольтерра вида бЩ-= А{1)у+ I К{1,8)у{з,€)аз + ад, 2/(0, а) = /, L 6 [О, Т] (0.1) в условиях стабильности спектра {АА (А)} оператора А{1) :

1а) Л,(а) ф О, Лг (0 ф АДО, г 7а а, г, — = М (е [0,Т]). В отличие от работ школы М. И. Иманалиева здесь предполагается, что КеЛА (А) <л г ф Зч г-, о = 1, п (У£ Е [0,Т]), т. е. допускаются чисто мнимые точки спектра. Основная трудность, которую пришлось преодолеть в этом случае, — это регуляризация интегрального члена 6.

1у = I К{г, з) у{з, е) (1з ,.

Если дифференциальная часть задачи (0.1) допускает довольно очевидное расширение при введении регуляризирующих переменных rJ = 1} ХАтО Л л = (0.2) то интегральная часть 1у при введении указанных переменных приобретает вид.

1у = Г Щ1,8)у (з, Ч*е)с1з, о, А и ее расширение по независимым переменным rj становится проблематичным. Именно это послужило причиной тому, что довольно длительное время метод регуляризации не обобщался на интегродифференциальные уравнения.

Выход из положения был найден самим С. А. Ломовым. Рассматривая простейшие примеры, он заметил, что пространство 11 (см. ниже) безрезонансных решений, инвариантное относительно дифференциального оператора Ь = Ej-l Xj{t) — А (£) •, остается инвариантным, но на сужении г = л) и относительно интегрального оператора /, если в и допустить регулярную зависимость элементов от параметра е. Поясним сказанное простейшим примером.

Пусть (0.1) — скалярная задача. Тогда пространство С/, инвариантное относительно дифференциального оператора Ь, имеет вид и = {y{t.r): y = у,{)Л-У1{)еу,{), y,(t)e С-[0,Т]}.

Образ элемента у{1, т) Е 11 интегрального оператора / будет таким:

1у = I К{г, з) ул (8)(18 + I K (t, s) yl (s) ехр (- / Х (в)(1в]а8. о о А0.

Производя здесь многократное интегрирование по частям, 1у можно представить в виде оо.

1У = I К (1,8)у,(8)а8 + Е (-1)" Л" л+. [{1-К (1,8)у,(8)),=, У< т = 0 хехр{- J X{e)de}ds — (IAK (t, s) yi{s)),=, л 0 где = I’A = A (s)ilsлл'лл m > 1. Стоящий здесь ряд сходится при еч- +0) асимптотически к образу 1у, если выполняются условия:

K (t, s) е с°°(о < s < t < T,&), x (t) = A (t) e [o, r],.

ReA (t) < 0, X{t) фО (Vt G [0,T]).

Таким образом, класс U будет асимптотически инвариантен относительно интегрального оператора / (см. 95, стр. 62]). Этот важнейший факт позволил сдвинуть с «мертвой точки» процесс обобщения метода регуляризации на интегродифференциальные системы типа (0.1). В начале семидесятых годов метод регуляризации был полностью распространен на линейные интегродифференциальные системы типа Вольтерра в случае стабильности спектра, а в конце семидесятых годов были рассмотрены и полностью изучены интегродифференциаль-ные системы типа Фредгольма [123−124]. И, как не странно, с этих пор интерес к интегродифференциальным уравнениям ослаб. В течение десяти лет (1979 -1989) не выходит ни одной работы, в которых получила бы отражение идея регуляризации интегродифференциальных систем. И только в 1990 г. в связи с изучением связи между методом регуляризации и методом эквивалентного соответствия Ларионова интерес к интегродифференциальным системам снова возрос, правда, в несколько иной плоскости. Если до сих пор рассматривались интегральные операторы с медленно изменяющимися ядрами, то интегродифференциаль-ные системы метода эквивалентного соответствия: dy т dr = Ay + ej K{T-s)y{s, e) ds + Цет), y (0,s) = (03) рассматриваемые на асимптотически большом промежутке времени (г 6 О, A]), при замене г = |, 5 = I приводятся к сингулярно возмущенным интегродифференциальным системам t а= У-А JR{'-Ipmf е) ав + h0), У (0,е) = te[0,T] с быстро изменяющимися ядрами — |) (здесь у{Ь, е) = у[А] е)).

Такие системы в теории сингулярных возмущений ранее не рассматри-вались.Чтобы установить связь между методами Ломова и Ларионова, надо было прежде всего распространить метод регуляризации на ин-тегродифференциальные уравнения с быстро изменяющимися ядрами.

Ясно, что в общей ситуации произвольного ядра К{т — й) такое обобщение вряд ли удасться быстро сделать, хотя бы потому, что то или иное поведение ядра (при г Ч-О) может вызвать такие изменения в решениях соответствующих интегродифференциальных уравнений, которые невозможно будет достаточно удовлетворительно проанализировать с помощью существующих асимптотических методов. Поэтому задача была упрощена и конкретизирована для ядер с экспоненциальным изменением:/С (г — в) = е’лл’л~лл (1А < Опостоянная). Такие ядра часто встречаются в прикладных задачах. Исследование этого простейшего случая натолкнуло на мысль рассмотреть более общую задачу t л t dy s. =A (t)yЬ / ехр{- f /d (e)de}K{t, s) y (s, s) dsЬ dt J? i h (tl 2/(0, s) = y (0.4) где /j,{t) — скалярная функция (ее называют спектральным значением ядра интегрального оператора) .

Поскольку при /j,{t) = О мы получаем систему (0.4) с медленно изменяющимся ядром K{t, s), то алгоритм метода регуляризации [95−96 для таких систем является обобщением известного алгоритма метода регуляризации, развитого С. А. Ломовым в 1970 г. Примеры систем (0.4) с вырожденными ядрами (K (t, s) = ki{t)k2{s)), которые заменой.

L 1.

Z = j k2(s) ехр{- j fj,(e)dO} y (s,?) ds.

0 А s приводятся к дифференциальным системам dy e~'= A (t)y + h{t)z + h{t), y{0,?) = y dt d?

S-=f, it) z+ ?k2(t)y, Z{0,?) = Z (0.5) позволили высказать гипотезу, что сингулярности в решениях задачи (0.4) порождаются спектром {Xj (t)} оператора А (1) и спектральным значением fJ,[t) ядра интегрального оператора. Эта гипотеза подтвердилась Сафоновым В. Ф. и Калимбетовым Б. Т., которые в 1990 г. обобщили алгоритм Ломова на системы типа (0.4) с быстро изменяющимися ядрами. Заодно они установили связь метода регуляризации с методом эквивалентного соответствия для систем (0.3) с ядром типа ехр{уи (г — й)} К{ет, ев), где /I < О — постоянная. Оказалось, что для таких систем оба метода приводят к одинаковым результатам на уровне главного члена асимптотикидалее результаты отличаются друг от друга. Однако в случае конкретной задачи, описывающей колебания вязко-упругого стрежня, метод регуляризации приводит к точному решению (т.е. к рядам, сходящимся в обычном смысле), тогда как метод Ларионова дает приближенное решение.

После того, как алгоритм метода регуляризации был обобщен на ин-тегродифференциальные системы с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора, стало возможным его перенесение и на другие случаи нестабильности.

В первой главе настоящей работы методика, развитая для систем типа (0.4), обобщается на интегральные системы.

У{А,?) = Е / Щ (1,8)ехр{- I 1лА (е)ае}у (8, е) с1з + к{Ь) (0.6) с г спектральными значениямиfAl{t), • • /J, r{t) ядра интегрального оператора (здесь:?/ = {г/ь • • •, Уп], = {Ни • • •, К}, А{Ь, 5), • • •, /гл (£, а) — матрицы размера п х п.) Для получения расширенной системы соответствующей размерности введем функции t t.

2-у (л, е) = 1 8) ехр{- ] a, a{9) йО]у (8, е)(18з = 177. (0.7) о л 3.

Получим интегродифференциальную систему с1г 111 е — = А{1)г + Е / / 11А (9)6,0} ЕАЩ, 5)2(5, е) й8Л1 Е / / fAjWd9} Я,(£, 8) (18 + д{г), г{0, е) = О, (0.8) где z = {zi, • • Zr}, Zj — векторы размерности n x 1, матрицы A (t), Ej{t), k{t, s) и вектор-функции H{t), Hj{t, s), g{t) имеют вид.

A ki{t, t) + fj, i{t) In ki{t, t) ki (t, t) k2(t, t) k2{t, t) + lX2(t)In. .. k2{t, t) A (t) = kr (t, t). .. kr (t, t) -b yLr{t)In g ki (t, s). ki (t, $).

0, 0, In, 0, •••, 0 единичная (n x n) — матрица), H{s) = {h{s), h (s), h (s)}, g{t) = {ki (t, t) h (t), ., kr{t, t) ад), t, s) = Ej k (t, s) Ej H (s).

Ясно, что решение y{t, e) исходной системы (0.6) связано с решением z{t, е) = {zi, «Zr} системы (0.8) соотношением еу = zi + • • • + Zr + h (t).

Введем, как и в методе Ломова, регуляризирующие переменные.

F. J F. где Aj (?) = Мг (0, г = 1, г- {Ay (?)}(j = гh 1, (пЬ 1) г) — спектр оператора А (£). Системе (0.8) поставим в соответствие систему dz («±Л)А.. ч 55 Е / / A,(A)ciA}E, fc (t, s)2(s, ?)ds + i=i о A A A Е / / Xj (e)d9}Hj{t, s) dsЬ g{t), z (0, О, е) = 0. (0.9).

Здесь:2 = 2 г, е), т = (п, • • •, Г («+1)А), -0 = (Фи • •', '0(п+1)г) — Очевидно, что если г = г, е) — решение системы (0.9), то векторфункция 2 = г (Ь, е) является решением системы (0.7). Однако систему (0.9) нельзя считать полностью регуляризованной, так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена г j I Л{1, г, ?) = Е / ехр{-х.

X j Xj{e) de} Ej k{t, s) z{t, e) ds s A.

—J2j exp{- J Xj (e)de}Hj{t, s) ds. i=i 0.

Как и в случае системы (0.1), введем пространство U, описываемое следуюш-им образом.

Определение 1. Будем говорить, что вектор — функция z (t, т) = {zi, • • •, Znr} принадлежит пространству U, если она представима в виде суммы п+1)г Е yk{t)e'" ' + yo (t) (0.10) k=l.

С коэффициентами yo{t), yk (t) e ([0, T], C" *"), к = 1, nr.

В качестве класса Mg, асимптотически инвариантного относительно оператора J, можно взять класс Mg = Ur= ^ • Подставим теперь сумму (0.10) в JZ] будем иметь j, t 1 Л J{z{t, r)) = E f / Xj (e)de}Ejk (t, s) x n+l)r i s x (E yk{s)exp{- / Xk (e)de} + ygi (s))ds + t = i а.

J. tt t E / / >Aj (0)de} Hj (t, s) ds = i=i 0 r {n+l)r i- 1 Л 1 «ее/ / A,(A)tAA + - / Xk{e)d9} kjk (t, s) ds + j=l k=l, kAj 0 a s ao г л t t Е ехр{- I Xj{e)de} I kjj{t, s) ds + i=i л 0 0 E / exp{- I Xj (e)de} [kjQ (t, s) + Hj{t, s)]ds, (o.ii) где обозначено: кАк{Ь, в) = ЕАк (1, 8) ук{8), А = 1, г, /г = О, (п + 1) г. Нетрудно показать (см. стр. 57−60), что стоящие здесь интегралы.

ЬА = I ежН- / >Aj{0)deЬ — / Xk{e)de}kjk (t, s) ds =.

А 1 * ехр{- 1 Xj (e)de} 1 ехр{- 1 (Хк{е) — ХА{в)) de} kjk (t, s) ds, j = 1, гк = 1, (п + 1) г, к ф j ;

Jjo (?, Л) = f ехр{~ j Xj{e) dO] kjQ (t, s) ds = exp{- x t t s.

X I Xj{e)de} I exp{—J Xj{e)de}kjo (t, s) ds, j = T77- 0 0 Л 0.

Jj{t, e) = exp{- I Xj (e)de} Jexp{— J Xj (e) dO}Hj{t, s) ds, j = Y77, разлагаются при условиях:

1) hit) G C°a ([0, T], C"), kjit, 5) G C°" (0 < 5 <? < Г, CA'), Xjit) = fzjit) G C-([0, Г], Ci), 1 = T77;

2) Xjit) = fZj (t) фО, Vte [0, T], 1 = l, r- /i,-,(i) = Xk{t) —Xj{t) фОА = 1, г, a = 1,{п + 1) г, кф г,.

ЩeXkit) < О, А- = 1, (п-Ы)г, С [О, Т в асимптотические ряды по степеням малого параметра. Используя методику, описанную выше, получим, что.

JЛt.e) = Е {-l)'AeAA'[(If, kjk (t, s))s=, exp{- / Xk (e)de}т = 0 Л п.

0.12) оо 1 г га=0 л.

-(/]л%0(?, 5))а=л], 7 = 1, л, (0.13) 1 А ллю = Е л" + Ч (/.ля,-(?, 5), = 0еа. я- / Чл) ле}т = 0.

-(/]гЯ,(£, 5)), = ,], л = 1, г, (0.14) где введены операторы.

О =? 7−1 /го A л 7−0 5.

Теперь можно записать окончательно систему, расширенную по отношению к исходной (0.7). Она имеет вид.

L, z{t, т, е) — т,£) — д{1), 2(0, О, е) = О, (0.15) где.

П+1)Г о СЮ.

Л (1, г, е) = ЗТ. л'Ук (1ч г) к=0 оо л (Е Е Rr-sYs (t, г)),.

Г=0 5=0,Г-5>0.

Еог (г, г) = Е / Щз (Ь, з) й8, (0.16).

3=1 о.

2(?, г) л (-1) — Е ' [(/-л Ал-, (?, s))s^t е^' 3=1 к=1,кфз a z{t, r, e) -ряд itf, л, г) = E k=o л r) r) G и.

0.17).

Для коэффициентов этого ряда получим следующие задачи:

Loyo — Royo = 9{t), 2/0(0, 0) = 0- дуо.

Loyi — Royi dt i л i л, Ш (0,0) = 0;

ЬоУ2 — Roy2 Jlia/i + Л22/0, 2/2(0, 0) — 0;

0.18o) (O.I81).

O.I82).

LoVk — Royk.

E Rk-sys. Ук (0, 0) = 0- (0.18A,).

Каждая из итерационных задач имеет вид.

Lo — RA) y (t, т) = P (t, r), 2/(0, 0) = О,.

0.19) где LQ = Е^лл*л xjiA) a ~ л (о^ л оператор Ло (как и все операторы Rm) описан выше (см,(0.16)).

Для формулировки условий нормальной разрешимости системы (0.18) в пространстве U нам понадобится скалярное (при каждом t G [О, T]) произведение в U: y{t, T), w{t, T)> п+1)г Е ykit) e-" '-{к=1 п+1)г (п+1)г yo (t), J: wk{t)e-" ' + wo{t)> Ш a {ykit), Wkit)), k=l k=o где (,) — обычное скалярное произведение в прстранстве С" л. До сих пор не требовалось, чтобы спектр {Xj{t} {j = r + 1, (n + l) r) матрицы A (t) был простой. Для дальнейшего важно, чтобы выполнялись условия:

4) Xi{t) ф О, ф {1), г a 5, г, 5 = г + 1, (п + 1) г, У? Е [О, Т].

Обозначим через {?'^(01 a {хДА)} системы собственных векторов матриц А{1) и А*(£) соответственно, причем возьмем эти системы би-ортонормированными, т. е. где символ Кронекера, г, a = г + 1, (п + 1)?" .

Доказаны следующие теоремы о нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач (0.18А).

Теорема 1 (см. стр. 64). Пусть выполнены условия 1) — 4) и правая часть п+1)г.

ПААг) = Е РА (1)еАА + Ро (0, (0.20) принадлежит пространству С/. Тогда для разрешимости системы (0.19) в и необходимо и достаточно, чтобы P{t, т), xk (t) еАА > = О, А- = гЧ- 1, (п + 1) г, Vi G [О, Г]. (0.21).

Теорема 2(см. стр. 68). Пусть выполнены условия 1) — 4) и P{t, т) G и удовлетворяет условиям ортогональности (0.21). Тогда задача (0.19) при дополнительном условии ду.

Н- -Ь Q{t, т), хАА) е" А>= О У£ е [, Т], — - г-Ы, (п-Ы)г,.

0.22) где <5(А? т) е С/ - известная вектор-функция, однозначно разрешима в пространстве 11.

Доказана также следующая теорема об асимптотической сходимости формальных решений к точным.

Теорема 3(см. стр. 79). Пусть выполнены условия 1) — 4). Тогда задача (0.8) однозначно разрешима в классе СА ([0, Г], саа) и для ее решения г{1, е) справедлива оценка z{t, е) — ZeN{t)\c%'r < CNSN+1 (0.23) где Z? N{t) — сужение ТУ-ой частичной суммы ряда (0.16) при г = а постоянная > О не зависит от е при е Е [О, е ()]{ео > О— достаточно мало).

Во второй главе рассматривается интегральное уравнение t елу = fit — s) K (t, s) y (s, e) ds + h (t), t G [0, T], (0.24) в котором? > омалый параметр, а ядро {1 — з) К{Ь, з) обращается тождественно в нуль при 5 = 1{К{1,1) ф ОШ е [О, Г]).Желая построить асимптотическое решение уравнения (0.24) (при еЬО), сведем его к интегродифференциальному (дифференцированием по ?): / т, s) + {tзЩЫз, e) ds + т У{0, е) = ЩА (0.25).

Получено интегродифференциальное уравнение, которое при е = О вырождается в интегральное уравнение Вольтерра первого рода l*lKit, s) + (t — s) AAA]y (,)d3 + h (t) = 0.

Уравнения типа (0.24) с позиций метода регуляризации ранее не рассматривались. Интегральные уравнения с вырожденным ядром мало изучены с позиций и других методов.

Нам будет удобнее вместо исходного уравнения (0.24) рассматривать задачу (0.25). Алгоритм построения регуляризованного асимптотического решения уравнения (0.24) будем развивать в предположении, что ядро K (t, s) и функция h (t) удовлетворяют требованиям:

1) K{t, s) G С°°(0 < T, RA), h (t) G C°°([0,T], Ci) —.

2) ii:(?,?)<0(V?G[0,T])..

Введем регуляризирующие функции где Ai = —iy/—K (t, t), A2 = iJ—K[t, t). Тогда для функции у = y{t, г, s) переменных t, T = (Ti, r2) и s естественно поставить следующую задачу: е’А + sLy — IG (t, s) y{s, 8) ds = h{t), y{0,0, s) = (0.26) где обозначено: ф (1) = (ф,&, ф2(0)..

Задачу (0.26) нельзя считать «расширенной» по отношению к исходной (0.25), так как в ней не произведена регуляризация интегрального члена.

1у = }0{Ь, 8) у{8, 8) с 18..

Определение 2. Будем говорить, что функция y{t, з) принадлежит классу и, если она представима в виде суммы у (?, г) = ш (Ф" Л + 2/2(Ф" л + г/о (л). (0.27) с коэффициентами уА? с°л ([0, Г], CA) J = 0,1,2..

Как и выше, в качестве класса возьмем сужение класса 11 при г = Класс и A4>(t) инвариантен относительно интегрального оператора I. Действительно, подставляя (0.27) в 1у, будем иметь.

Iy (t, T) = I G{t, 8) yi (8)eo ds+l G (t, 8) y2{8)eo d8+lGit, s) yQ{8)d8..

0 0 0.

Стоящие здесь интегралы, содержащие экспоненты, представим в виде рядов по степеням е, используя операцию интегрирования по частям:.

Mt, e) a }G (t, s) y,(syl" «» ds = e[AAeA —.

Г2глл/1.ЫММ?) ATj1 (д G{t, s) yj{s)A 1 (0.28).

— Г j{t)yds j{s))s=tл Aj (0)V5s j{s) -s=Oji ё (-l)-e- + i[(/f (G (i, 5) y,-(5)),., e^ - p*(G (t, 8) yj{8)=,.

77Ъ—О где т = л, а операторы имеют вид.

1 д.

ПЧ 1 Г т>1, i = l, 2..

5 A-i—i{8) д8 л.

Нетрудно показать, что полученный ряд сходится асимптотически к интегралу Jj{t, e) при е —+0. Это и означает, что класс асимптотически инвариантен относительно оператора 1у. Построим теперь расширение оператора /..

Пусть дан ряд оо.

0.28') к=~2 с коффициентами yk (t, r) G U. Применяя к нему формально оператор/, будем иметь.

1у= Л еЧук (1,т)= ё sA[}G (t, s) yAAs)ds+ к=-2 к=-2 О.

Используя формулы (0.28) запишем образ ly в виде ly = g e*[lG («, s)!/"(s)d.+ g S{(/]"(G (i,.)2,y (s)) .=<�е"Л+ k=-2 0 m=0 j=l.

Jf (G (t, 5)2/,(5)).=o)= ё еПф, т) ЛY: блПту (Ь, т)1 Ш' k=-2 m=l ~" .

Здесь введены операторы Rm: U U (операторы порядка), действующие по закону.

Royit, г) = fG{t, s) yo{s)ds,.

Rm^iy (t, T) = (-1Г h ((IJЛ{G (t, s) y,(s)лteЛJ — (ЛG (t, s) y,{s)),=o){m > 0) для каждой функции (0.27) пространства U. Представим Iy{t, г, s) в виде оо г.

Iy{t, T, e)= Е ?'(Е Rr-sysit, r)) л^х {*) r=-2 s=-2.

Определение 3. Назовем оператор оо.

1у{Ь, т, е)= Е Е Rr-sYs{t, r) г=-2 5 = -2,г-з>0 расширением интегрального оператора /..

Теперь можно записать задачу, расширенную по отношению к исходной задаче (0.24).Она имеет вид ef + sLy — ly = h{t), y{0,0,s) = л. (0.29).

Подставим ряд (0.28') в систему (0.29) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях еполучим задачи.

-Ло2/-2 = 0, 2/2(0,0) = /1(0) — (0.30).

-Roy-i — Riy-2 + LyA2 = О, y-iiO, 0) = 0- (0.31).

-Royo — RiV-i — R2y-2 + Lyi + а = (0.32o).

-Royi — Rm — R2y— - Rzy-2 + a + ^2/0 = 0,.

У,(0,0) = 0,1 =-1,0,1,..

Сформулируем общий результат, касающийся разрешимости итерационных задач в пространстве U. Рассмотрим три уравнения.

-Royit, т) = H (t, г), 2/(0,0) = у (0.33).

-Roz (t, т) = R, y{t, т) — Ly (t, т) + P (t, г), (0.34).

-Row (t, T) = -а + Riz (t, T)-Lz (t, r) + R2y (t, T) AQ{t, T), (0.35) где P (t, T), H{t, r), Q (?, г)—известные функции,??/а— известное число..

Теорема 4.(см. стр. 91.) Пусть выполнены условия 1 и 2 и функции H{t, r), Р{1,т), Q (t, T) G и. Тогда для разрешимости задачи (0.33) необходимо и достаточно, чтобы H{t, T), eAA >= О, j = l, 2, Vi G [О, Г], < Я (?, г), 1 > |,=о = 0. (0.36).

Задача (0.33) при дополнительных условиях Riy{t, г) + P{t, г), 1 > U — О, (0.37) R2(t, г) -Ь Q (t, г), >= О, j = 1,2, имеет единственное решение в пространстве U..

Заметим, что в (0.36),(0.37) участвует скалярное (при каждом t G.

О, Г]) произведение:/2/(?, г) = Е yj{t)e''A, 'Az{t, T) = Е Zj{t)e^ (tq = 0) :.

У, г>=ЕУААМА).

Теорема 5(см. стр. 99). Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда уравнение (0.24) имеет единственное решение у[Ь, е) Е С[0, Т] и справедлива оценка y (t, е) — Уе, мШс[аАт] < см? ААп = -2, -1, О, •••), где Уем{А) — сужение Ыой частичной суммы ряда, постоянная с^г > О не зависит от? (при достаточно малом?: е Е (О, Т])..

Результаты, полученные для скалярного случая, обобпдены на системы интегральных уравнений с диагональным вырождением ядра еАу = J (t — s) K (t, s) y (s, ?)ds + ад. (0.38) где йе1К{1,1) ф ОШ Е [О, Т]. Будем считать выполненными следующие условия:.

1) к{1, з) е с°°(о < 3 < 1 <т, К" '), Цг) е сОЛ ([о, т], сл) —.

2) спектр {Xj{t)} {п X п) — матрицы K (t, t) удовлетворяет требованиям: а) Xi{t) < 0,{ = ТТп, /1 е [О, Г]- б) ф Л,(£), г ф л, г, j = IT/4, У£ е [О, Т Вместо задачи (0.38) рассмотрим задачу /G{t, 3) z (s, s) d3 + g{t), z (0, e) = 0, (0.39) dt где обозначено: G{t, з) = K{t, 3)—{t — s) g{t) = }G{t, з) Цз) d3..

Решение системы (0.38) связано с решением системы (0.39) равенством у = e~A (zЬ h{t)). Поэтому, построив асимптотическое решение системы (0.39), легко вычислим асимптотическое решение системы (0.38). Вводим регуляризирующие переменные.

0.40) где.

X2i-l (^) = -isj-j{t), fl2j{t) = +iy/-Xj{t), j = 1, n. (0.41).

При этом ЛЦ]Щ = J'2j{t) = Xj{t) € [о, Т]), j = 1, п. Для расширенной функции г = г (1, т, £)(т = (г1, • • •, ггА)) получаем следующую задачу: дг.

6Л — + еЬг — 10(1, з) 2(8, е)^ 8 = д (1), 5(0, О, е) = О, (0.42) где обозначено: t2 = Е, л1Аа,(0а = ЕЛ=1[(-г ал,-(?))а|-4-(гу'-ЛДА))А], ^0(?) = {ф1, • • • Ф2п) — Задачу (0.42) нельзя считать полностью регуляризованной по отношению к задаче (0.40), так как в ней не произведена регуляризация интегрального оператора.

Для регуляризации последнего надо ввести класс Ма, асимптотически инвариантный (при е —-|-0) относительно оператора 7. Б качестве Ме возьмем класс г’Дб пространство С/ вводится следующим образом..

Определение 4. Будем говорить, что вектор-функция т) =.

21, • • •, 22гг} принадлежит пространству и, если она представима в виде суммы.

2п г) — ЕА.(А)е" А + г,{1), (0.43) с коэффициентами 2Л (£) е С°°([0, Т], С"), j = 072п..

Для того чтобы показать, что класс илф (Г1 является асимптотически инвариантным относительно оператора J, надо доказать, что образ J2(i, г) представляется в виде ряда по степеням е, асимптотически сходящегося к 7 г (1,т) при? —> -}-0. Подставляя (0.43) в 1 г (1,т) и используя методику, описанную раннее, получим, что.

Jj{t, е) = 1 ехр{~ I *1*(е)ав}в{1, 8) хА (з)с[8 =.

7i=0.

0.44) где введены операторы: при этом, как нетрудно показать, ряд (0,44) сходится асимптотически (при е —> +0) к функции Jj{t, s))..

Теперь нетрудно записать задачу, регуляризованную по отношению к задаче (0.38). Она имеет вид dz еА— + eLz — Jz = g (t), 5(0, О, е) = О. (0.45) где J расширение оператора J (оно имеет вид (*) и строится аналогично тому, как это делалось ранее). Подставляя ряд оо z (t, т, е) = y: e*zk (t, г), zk (t, т) е U (0.46).

В задачу (0.45) и производя приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях е, получим следуюпдие системы для коэффициентов Zk{t, т) этого ряда:.

-ЯоЛо = ло (0, 0) = 0- (0.47).

-До21 = -izoЬ A1A0, 2i (0, 0) = 0- (0.47i).

-R0Z2 = - LziA-RiziAR2Z0, 22(0, 0) = 0- (0.472) dZk-2 RQ Zk =-A7-L zk-l + Rl Zk-l + R2 Zk-2 + * • • dt RkZQ, Zk (0, 0) = 0, k > 2. (0.47fc).

Показывается (см. стр. 113−122), что любые три последовательные итерационные задачи (0.47A-) определяют решение первой из них в пространстве U однозначно. Каждая упомянутая тройка итерационных задач имеет вид.

-До zit, т) = H{t, г), 2(0, 0) = О, (0.48).

— Д о, а д г) = -Lz + Riz + P (t, г),.

0.49).

-Row{t, т) ——Lu + Riu + R2Z + Q{t, r), (0.50) где H{t, r), P (t, r), Q{t, r) — известные вектор-функции класса U: 2n 2n.

3=1 3=1.

2n.

0.51).

3=1.

Для формулировки условий разрешимости задач (0.48) — (0.51) введем следующие обозначения. Через {(pj{t)} и {xj{t)}, KaK и прежде, обозначим системы собственных векторов матриц K{t, t) и K*[t, t) соответственно, т. е..

K (t, t) cpj{t) = Xjit) Ajit), K*{t, t) xj (t) = A,(Ox,(i), где Sij— символ Кронекера, i, j = 1, 2nчерез ej обозначим j — й орт в С": ej = {О, • • •, О, 1, О, • • •, 0}. Имеют место следующие утверждения..

Теорема 6(см. стр. 118). Пусть выполнены условия 1) и 2) и вектор-функция H{t, т) G и. Тогда для разрешимости системы (0.48) в пространстве и необходимо и достаточно, чтобы H (t, г), ej > t=o = OJ =1, n, (0.52).

H{t, r), eieAA >= 0, Vi G [0, T, г = 1, nj = 1, 2n. (0.53).

Применение теоремы 6 к системе (0.49) несколько конкретизирует вид вектор-функций Zj (t), но не определяет их до конца. Более точно, имеет место следующее утверждение..

Теорема 7(см. стр. 119). При выполнении условий 1), 2), (0.52), (0.53), а также дополнительных ограничений.

Riz + P{t, г), ej > t=o = 0, i = Т-Л, (0.54) -Lz + Riz + P{t, т), Ci e" A > = Ш e [0, Т], г = ТТТг, P{t, r), Xk (t) eAAA- > =0, < P (t, r), xk (t) eA- > = 0.

Vt e [0, T], k = l, n (0.55) система (0.48) имеет решение в виде функции п п л) = Е /K2k-i{t)e" '-' + j: Z2kit) е’лл'' + 2o (i) k=l k=l в которой ZQ{t) — функция t.

ZQ{t) = - IR (t, s) K-s, s) EQ{S) ds — K-t, t) Ho{t), 0 a Z2k-i{t) и Z2k{t) имеет вид.

Z2k-i{t) = ak{t).

E22fc-i (o) + E 22A (0) = -2o (o) — K-o, о) я (о). (0.59) а 22A—i (?) И Z2k{t) G CA ([0, T], C") — известные вектор-функции, Л (£, s) — резольвента ядра —K~A[t,.

И наконец, условия разрешимости системы (0.50) (в пространстве и) позволяют определить решение задачи (0.48) в пространстве [/однозначно..

Теорема 8(см. стр. 122). Пусть выполнены условия 1), 2),(0.52)-(0.54), (0.55). Тогда система (0.48) при дополнительных условиях.

— + R2Z + Q (t, г), Xk{t) ел" -' > = О V? G [О, Г], (0.60).

Qz.

—-Ь R2Z + Q{t, г), Xk (t)e" «>- О е [О, Т], к=1,п однозначно разрешима в пространстве U..

Пусть ZeN{t) — сужение N — ж частичной суммы ряда (0.46) (при г = А) с коэффициентами Zk (t, т) G U, удовлетворяющими задачам (0.47), • • •, (0.47jfe). Имеет место следующее утверждение..

0.56).

0.57).

Теорема 9(см. стр. 132). Пусть выполнены условия 1) и 2). Тогда задача (0.39) однозначно разрешима в классе СА ([0, Т], СА) и для ее решения z (t, е) имеет место оценка.

0.61) где постоянная сАЧА > О не зависит от е при е Е (О, 5о](Ао > О— достаточно мало)..

В работе изучается также предельный переход в системе (0.38). Доказан следующий результат..

Теорема 10(см. стр. 135). Пусть выполнены условия 1), 2) и Н{0) = к{0) = 0. Для того чтобы решение у{1, е) задачи (0.38) сходилось при е —> -Ь О к решению у = у{1) предельной системы.

О = /{1−8) К (1, 8) у (8) г8 + к{1) (0.62) равномерно по? Е [О, Т]), необходимо и достаточно, чтобы Н (0) = 0..

В третьей главе диссертации рассматриваются нелинейные системы вида д//У-= А (г)ул-1 ехр -/ Аг (в)(1е К{1,8)у{8,е)(18г!{у, 1) + Н{1), i1.

2/(0, г) = 2/°,?Е[0,Т] (0.63) с быстро изменяющимися ядрами. Здесь скалярная функция 1л{&euro-), называемая спектральным значениям ядра интегрального оператора, может не обращаться в нуль на отрезке [0,Т]. Она индуцирует в решении задачи (0.63) дополнительные быстро изменяющиеся компоненты. Даже в случае медленно изменяющихся ядер (/х (£) = 0) задача (0.63) при наличии чисто мнимых точек спектра {АДА) } оператора А{1) представляет определенный интерес, так как ранее она не изучалась. Здесь впервые предпринимается такая попытка. При этом предполагается, что 1л{1) ф 0/1 Е [0,Т]. Однако развиваемый ниже алгоритм очевидным образом модифицируется на случай //(/:) = 0..

Систему (0.63) будем рассматривать при следующих предположениях:.

1) л&bdquo-+1 = 1А (1) е [о, т], к (г, з) е с°°(о < а < а < г, С" '), аде С°а ([0,Г], Са), А (г)е С°°([0,Г], С" '), /(а, £)-многочлен по у :.

2/, о = Е /А" АНОг/А" А.

0<|т|</ с коэффициентами/(А)и? С°°([ОТ]С"), О < |т| < / < со-.

2) Xi{t} ф Л- [1) г ф 3, г (?) 7а О (У£ е [О, Т], г, j — Таа + т) —.

3) КеЛА (£) < О, КеЛ&bdquo- + 1(?) < 0(/? 6 [О, Т], г = 1, п) —.

4) равенство (т, Л (£)) = гпх + • • • + т&bdquo- + 1 Л&bdquo-+1(£) = при |т| > 2 и 7 Е {1,2, • • п + 1}) либо не имеет место ни при каком 1 Е [О, Т], либо выполняется при всех 1 Е [О, Т]..

Следуя методу Ломова [95,96], вводим регуляризирующие функции.

Для функции а (£, г, е), удовлетворяющей условию y (t, Т, б) лл± = y (t, г, £){Т = {т1,—', Тп+1), ф = {фъ'", Фп+г), где у (Ь, е) — решение системы (0.63), получим следующую задачу: ду ду.

1=1 ог, 1 ехр ~1 11{е)с1 В (0.64) £/(у,£) + ад, А (о, о, е) =.

Однако в (0.64) не произведена регуляризация интегрального члена.

1у (1,е) = [ ехр — [ 11{в)(1 В К{г, 8) у (8,'А, е)(18. (0.65).

Для этой цели необходимо ввести класс ма, асимптотически инвариантный (при е —) -Ь 0) относительно оператора /. В линейном случае (/(у, ?) = 0) в качестве такого класса выступает пространство вектор-функций, «натянутых» на единицу и экспоненты ехр порождаемые спектром {Лу (£)} предельного оператора А{1). В нелинейном случае это пространство должно быть существенно расширено, так как нелинейность f{y, t) индуцирует в решениях сингулярно возмущенных задач экспоненты ехр (т, А (£)) измерения т = Ш1+ • • • -Ь rrin+i выше первого (см., например, [150])..

Следуя [152], введем пространство U, описываемое следующим образом..

Определение 5. Будем говорить, что вектор-функция y{t, т) = {у1, ', уп} принадлежит пространству U, если она представляется в виде суммы y{t, т) = yA’t) + Е ' уН (л)еК-) (AN = Ny< оо) (0.66) l.

С коэффициентами ТТЦ (i), У И (t) л С°°([0, Г], Сл), не содержащей резонансных экспонент, т. е. таких экспонент ехр[т, т) измерения т > 2, для которых при некоторых j е {1,2," -, п-Ь1}и?б [О, Т], выполняется равенство (т, {t)) = mi i (t) -Ь • • • +m" + i A"+i (?) = j (t) (факт отсутствия в (0.66) резонансных экспонент отмечен штрихом над суммой)..

В качестве класса Mg возьмем прстранство UAMt). Ниже будет показано, что образ Iy{t, г) произвольного элемента класса разлагается в ряд по степеням сходящийся асимптотически при г —> -ЬО. Это и будет означать, что класс асимптотически инвариантен относительно интегрального оператора (0.65)..

Если ряд оо оо.

Е у (0.67) к=0 k=Q < т < Nk / является асимптотическим (при е -> -ЬО) на сужении г = то его образ Iy{t, г, е) будут, очевидно, также асимптотическим рядом (при е л 4−0)..

Назовем расширением оператора / оператор / оо оо г.

1у{1, т, е) = 1 Е е’ук{1, г) = Е Е Rr-sys{t, т). л=0 / Г=0 8=0,Г-5>0 где.

Roy{t, т) = ел"+л/ K{t, s) y'" AA{s)ds,.

Теперь можно записать в окончательной форме систему, расширенную по отношению к исходной (0.63): Цу — Iy (t, г, е) — ef (y, t) = h (t), у{0, О, е) = у (0.68) dt где L, yy = 24=1 A,-(l) Л — А (?)у ..

Для коэффициентов ряда (0.67) получим следующие задачи:.

Lyo{t, т) = ЬоуоRoyo — h{t), уо (0, 0) = (0.69).

Lyi (t, т) = ду° + /(Уо (-, r), t) + Rxyo, yi (0, 0) = 0- (0.70) • dt.

Ly2{t.r) = 7 — ЩЛУ1 + Rwi + Л2У0, 2/2(0, 0) = 0- (0.71) dt dy.

Здесь значком «обозначена линейная операция вложения, ставящая в соответствие каждой резонансной экспоненте еА» А" 'А{тР, А (£)) = jity) соответствующую экспоненту еАА первого измерения: елллллл = еА'..

Как и в предыдущих случаях, здесь развивается теория нормальной и однозначной разрешимости задач (0.б9)-(0.71) в пространстве С/. Обратим внимание на следующий факт. Система.

K{t, t).

M)) — A, a) — A"+i (^) + {p (al., al-, t), xAi)) = O, (0.72) л^(0) = (А-)Н{0) + уАхАШз = Ап, (0.73) полученная из условий ортогональности правой части (0.70) ядру сопряженного оператора в резонансном случае является нелинейной системой дифференциальных уравнений, а значит ее разрешимость на отрезке о, Т] не гарантирована. Потребуем, чтобы система (0.72), (0.73) имела решение в классе С°°([0, Г], С" '). Тогда будет иметь место следующий результат..

Теорема 11 (см. стр. 148). Пусть выполнены условия 1) — 4) и задача (0.72), (0.73) разрешима на отрезке [О, Т]. Тогда все итерационные задачи (0.69), (0.70), (0.71). однозначно разрешимы в классе 11 (при их последовательном решении)..

Асимптотическая сходимость формальных решений к точным доказывается с помощью метода Ньютона (для операторных уравнений -79,145])..

В четвертой главе рассматривается линейная задача оптимального управления: ex = A (t)x{t, s) + B (t)u (t, e)—f{t), ж (0,г) = ж°, 0.

J^(u) = ~ I{x*Q (t)x + u*R{t)u) ехр — (1{в)(1 В i1, (0.74) где е > О — малый параметр, х[1,е), f{t)—n-мерные, и{1,е) — т-мерная вектор-функции, хл — постоянный п-мерный вектор, А (1) — матрица размерности пхп, B (t) — матрица размерности пхт, Q{t) — симметрическая положительно определенная матрица размерности пхп, К{1) — симметрическая неотрицательно определенная матрица размерности т X т, fA{t) — скалярная функция,? Е [0,Т], ,* «- знак транспонирования. Требуется перевести систему из заданного начального положение х{0,е) = х^ в положения х{Т, е) за фиксированное время Т < -Ьоо (х (Т, е) — не фиксируется) так, чтобы функционал 1е{и) принимал минимальное значение..

С целью получения асимптотических представлений для ж (£, е) и и (^5 е) в виде рядов по степеням е потребуем выполнения следующих условий:.

1А Элементы матрицы Л (£), В (1), Q{t) и Л (£), а также компоненты вектора/(£) и скалярная функция/г (?) принадлежат С°°([0,Т], К)..

Применяя принцип максимума Понтрягина Л. С. (см. например [142, стр. 261−273]), получим оптимальную систему вида.

1 * л eA (t)x — B{t)R-t)B*(t)exp — [ fi (e)de p + ef{t), х (0,е) = хА ер—eQ (t)exp ii{e)de X — A*(t)p, p (T, s) = 0. (0.75).

Выполнив последовательно зам ены ех = у, ехрj 11{в)ав р = q, colon{y, q) = z,.

0.76) приходим к следуюпдей сингулярно возмущенной краевой задаче со слабой неоднородностью и нестабильным спектром предельного оператора T (t): ez = T{t)z + ?h (t), 0.

0.77) где.

T (t) = a A{t) -B{t)R-t)B*{t) -Q{t) -(A*{t) + Ai{t)I) матрица размерности 2n х 2n с элементами из класса [О, Т] ,.

Gi = diag{l, 1,0,0), G2 = diag{0,0,1,1), h{t) = colon (/, О, .0), а = colon (жл. О, 0) — 2п-мерные векторы. При этом оптимальное управление будет (см. [142,стр. 315]) иметь вид 1 u (t) = —R-A {t)B* (t)q (t). (0.79).

Пусть cj{t), dj{t), j = l, 2n, собственные векторы матриц Т (t) и T*{t), отвечающие собственным значениям Xj{t) и Xj (t) соответственно, причем {cj (t), dj{t)) = Sij — символ Кронекера. Предположим, что выполняется еще два условия:.

2л. Спектр {Xj{t)} матрицы T (t) обладает свойствами: а) Xj{t) ф 0, j = 1,., п, иЬ 2,., 2п, G [О, Г]- б) Xn + i (t) = t4(t), l{t) л0, V? G [0,Т]- в) Xi (t) ф Xjit), i ф j, i, j = 172л, V? G [0, T]- г) ReXj{t) < О, j = 1, n, ReXj{t) > 0, j = n +1, 2n, e [0, Г]-.

R)ReXi (t) < ReX2{t) < ,.,< ЛеАзпл. 3″. det (dj • det {dj (T) Ф 0. (Здесь Cj = colon (cij, ., C2nj), j = l, 2n). Введем регуляризирующие переменные.

Tk = -jXk (s)ds =(pkt,-j, k = l, 2n, —. — tn — 0, tn+l —. — t2n — T 1 1/1.

A ds = exp — J Xn+i{s)ds I exp ¦ I Xn+i{9)de f 1 4 J —, г = 0, г — 1..

Переменная индуцируется нестабильностью спектра в точке.

Обозначимте (т1,., Г2″), (р = {(ри.,(р2к),(a= (о-оо,-., о-о, г-1), ф = (фо,., фолг-г) 5 и рассмотрим новую функцию г = г (1,г, сг), для которой поставим следуюпхую расширенную задачу: Gii (Mo,?), +G2~z{Mi, e) sa. где.

Мо Мо 0, л о, €/ ф[0, -], е], Мг = Мг Т, л Т -). , ф Т, -], е sj J ej sj J д ' X i д.

In Q r-1 Q.

Lo=E Ht) A + An+i (0 E *of л-t, {Koi, = 0, r -1 } kAi oTk i=Q ao-Qi 1.

-система полиномов ЛагранжаСильвестра. Если г = г{1, т, а, е) — решение написанной выше расширенный задачи, то сужение г[1,е) = г{1, А, '0, е) будет решением задачи (0.77). Полученная расширенная задача регулярна по е, и поэтому её решение ищем в виде ряда оо z = Y. e'zi{t, г, сг). (0.79').

ПО неотрицательным степеням параметра г. Для определения коэффициентов этого ряда получим следующие итерационные системы:.

ЬоАо = О, = 0, Ьо21 =/г — ^ 1 а 0, Сг1 = а,.

ЬоАг = А12: г1, = О, г =2, 3, ..

Для того чтобы изучить разрешимость итерационных задач, рассмотрим общую итерационную систему.

— Я (?, т, а)..

Будем искать решение данной системы в пространстве функций.

I к=1 г=0.

Ш &euro-С" = ([о, г]), с2″), А = о727Г, г = о-т:п:}, в котором введено следующее скалярное произведение при (каждом 1 е [0,Т]) :.

2п г-1 тделк, Ы иСк, СЪг — коэффициенты элементов Имеют место следующие утверждения..

Теорема 12 (см. стр. 162). Если выполняется условия 1*а, 2'А (а, б, в) и Н{1, г, (т) е и, то для разрешимости системы (0.80) в пространстве и необходимо и достаточно, чтобы Я (£, г, а), 4(?)еАА о, к = 1,2п Ще [0,Т], (0.80) Я (£, г, сг), dn+i{t)aQi >= 0, г = 0, г — 1 е [0,Т], (0.81).

H (t, r, a), dr,+i (t) >1=0 = 0, г = 0, r — 1 = —). (0.82).

Теорема 13(см. стр. 164). Пусть выполнены условия JA — 3*а, H{t, т, а) е и и удовлетворяет требованием (0.80) — (0.82). Тогда система (0.7) при краевых условиях = и дополнительных ограничениях.

-LiC + 9(t), dkit) eA" >=0,к = 1,2п, yte [0,Т] (0.83) — L i, а + g{t), dn+i{t)aoi 0, г — 0, r — 1, Vi G [0, T], (0.84).

D' < -Ы + git), 4+1 (0 > F=0 = 0, г O y a, (0.84i) где g{t) G C°®([0,T], CA" «) — известная функция, однозначно разрешима в и при е G (О, So], где ео > О — достаточно мало..

Теорема 14(см. стр. 168). Если выполняются условия 1а — 3а, то задача (0.77) имеет при достаточно малых s > 0(0 < s < SQ) единственное решение zit, s) причем имеет место оценка zit, s) — z, N (t)\c[o, T] < CAre, A+SiV = 0,1,2,., (0.85) где Z? N{t) — сужение М-й частичной суммы ряда (0.79') при т =.

Во второй части четвертой главы рассматривается задача управления (0.74) в случае нестабильности спектра Т (£) а котинуальном по-множестве 5 С [О, Т]..

Применив к задаче (0.74) принцип максимума Л. С. Понтрягина, а затем сделав преобразование р =? е a q в полученной гамильтоновои системе.

1 *.

S4 = sAit) x-Bit)R-t)B*(t) exp — / fi{e)de p-^sf{t), x{0,s) = x J.

1 * sp—sQ (t)exp fi{B)de x-A*it)p, piT, s) = 0, приводим ее к виду sz = T{t)z + h{t), 0 < t < T, Izit, s) = MziO, s) + Nz (T, s) = a, где h{t) = {f (t)] 0}, a = (жл, 0}, a матрицы T{t), M, N имеют вид nt) = A{t) -B{t)R-A{t)B*(t) M = In 0 (0 0.

-Q (t) -(A *{t) + %t)I)) ' 0 0 0.

Здесь 1пединичная матрица размерности п X п. Через {с{(Ь)}, {<ц (-<)/ обозначим системы собственных векторов матриц Т (£) и Т* (?) соответственно, т. е..

Т{1)ф) = Xi (t)ci{t), T*{t)dj (t) = = Aj{i)dj (t), (c^U), сгАй) л 5ij, г, — = 1, 2п, где % - символ Кронекера..

Будем предполагать выполненными следующие условия:.

1) элементы матриц А (£), B{l), Q{t) и K{l), а также компоненты вектора /(?) и скалярная функция //(?) принадлежат классу С°°([0,Г], К)..

2) а) Л,(£) фо, з + О = Т727 Л1 е [О, Г]- б) Хп + 1{1) = О, У£ € 5 С [О, Г], Хп+1{1) ф 0У£ е [о, Г]5- в) {1) ф Хл{1), гф 2, г, 2= Т72А, е [О, Т]- г) ЯеЛД*) < О, — = Т7п, КеХА{1) > О, л = гг + 1, 2п, /л Е [О, Г. Здесь 5 — некоторое подмножество отрезка [О, Г], причем 5 ф [0,Т]..

3) йеЬ (Мс 1 (0),. •, Мс"(0)).сге? (Жсп+1(Т), • • •, Жс2п (Т)) 7А 0. Здесь М = {In, 0), N = (О, /") — матрицы размерности п х 2п..

4) (ад, 4+1А) = 0(У£ € [0,Т]). в отличие от предыдущего случая, здесь нестабильность спектра наблюдается не в отдельной точке, а на континуальном подмножестве. Это порождает в решениях задачи (0.77) контрастные структуры, которые невозможно описать с помощью классического метода регуляризации [95]. Для исследования последних привлекается метод нормальных форм [43], суть которого состоит в следующем..

Введем вектор у = {г"!, — • •, У2П} регуляризирующих переменных, удовлетворяющих нормальной форме dy '" ±л • = A (t)yЬ Е gj (t)enAulv = 1, (0.86) dt где A{t) = diag (Xi (t), A2n (t)), функции gj (t) G C°°([0,T], CA) находятся в процессе построения формального асимптотического решения задачи (0.77), е&bdquo-+1 = {О, — • •, О, 1, О, • • •, О, • • •, 0} - (п + 1) — й единичный орт в СА". Тогда расширенная система будет иметь вид.

3=1 К1),.

0.87) lz (t, v,?) = Mz{0,v{0,s), е) + Nz{T, v{T, е), е) = а. Опредляя решения системы (0.87) в виде ряда оо.

0.88) получим следующие итерационные задачи: dz.

Lzo{t, v) = -Q^v — T (t)zo = h (t), k-zo a-.

0.89o).

Lzi{t, V) =.

— -Agi (t)en+i, li[zoЬ szi] а-.

0.89i) г к E dzQ dv.

5'A-+l-i (i)en+b.

0.89,+i).

4+1 [-Ao +.

-b ?л±л2л+1] = a, /г > 2, где gkit) = 0 при к > mj- 1, a граничные операторы 1Л определяются равенствами hz{i, V) = lz{t, v*''t, €)) = Mz (0, v^', e)) + Nz{T, v^t, г)) — через t’AAA (i, e)) обозначено решение нормальной формы (0.86) порядка т + 1 = к—1: v^'t, е) = vt, е) + evt, г) -f • • • -Ь e’vt, е)..

Введем два пространства С/ и F вектор — функций H{t, v) {Hi, • • •, Н2п}'> описываемые следующим образом..

Определение 6. Будем говорить, что вектор — функция H (t, v) принадлежит пространству U, если она представима суммой.

2п.

H (t, v) = Е Hjit) vj + Ao (i), (0.90) в которой коэффициенты Hj (t) G (7°°([0,Т], СА"), j = О, 2п. При этом пространство V С U вектор — функций (0.90) будем называть пространством решений задач {0.89k), если в (0.90) свободный член ортоганализован:.

Яо (0, dn+i{t)) = 0(At е [О, Г]). (0.91).

Показывается, что при выполнении условий 1) — 4) первая итерационная система (0.89о) имеет решение в пространстве V, представимое в виде zo (t, v) = zi’t) -Ь Е 4t) cj (t) vj, (0.92) где ZQAt) = — HJAijAn+i (t) ifA{t), dj{t)) Cj{t). Условия разрешимости dzQ dzQ, , dz.

81 ду лллл. л+i л л. < ллл3(л>л>л = 1, 2п (0.93) в пространстве V следующей итерационной системы (0.891) позволяют найти функции ос’р (t) в виде aft) = af') ехр{-/ (с,-(А), ^(0)) г9}, з = Т72А. (0.94).

И наконец, подчиняя функцию (0.92) граничному условию IQZQ — а вычислим значения аДО, е) функций (0.94) в точке, а = 0. Если при этом выполняется требование.

5) 1<�Ап+1(05А)1 а <5Ао > ОУе 6 (О, ео](<�Аопостоянная, не зависящая от е (?о > О— достаточно мало), то решение (0.92) итерационной системы (0.89о) будет полностью найдено. Тем самым доказан следующий результат..

Теорема 15(см. стр. 184). Пусть выполнены условия 1) — 5). Тогда для достаточно малых ?:(0 < е < ео) задача (0.89о) при дополнительных условиях (0.93) однозначно разрешима в пространстве V..

Заметим, что в ходе вычисления решения (0.92) первой итерационной задачи (0.89о) будет однозначно построена и регуляризирующая нормальная форма (0.86) первого порядка (т +1 = 1), причем в ней функция д1{Ь) будет найдена в виде gl{t) = -(«Й1(*))-'(4°'(*), й"+1(*)).

Аналогичный результат имеет место и для последующих итерационных задач (0Я9к)(к > 1) (см. стр. 179−185)..

Для обоснования асимптотической сходимости формального решения.

ZeN{t) = SN{t, vA-''s) = Е гк (г, У к=1 к точному е)(здесь уААъ, е) — решение регуляризирующей нормальной формы (0.86) порядка т + 1 = N+1) надо доказать разрешимость произвольной краевой задачи dz = T{t)zЬ ад, iz{t, е) = / (0.95) при выписанных выше условиях 1) — 3) и дать оценку ее решения через и /г (А)||. Доказан следующий результат. Теорема 16(см. стр. 198). Пусть T{t) G С[0, Т], СА" '), Д (а) G G С ([0, Т], СА" «) и выполнены условия 2а) — 2г) и 3). Тогда краевая задача (0.95) имеет при е G (О, еоКАо > О — достаточно мешо) единственное решение z{t, е) и для него справедлива оценка.

Ко z{t, ?)\с[о, т] < Кг + h с[о, тъ (096) где Кх > О и К2 > Опостоянные, не зависящие от е при е Е (О, Ао]. Используя оценку (0.96), легко доказать следующее утверждение. Теорема 17(см. стр. 199). Пусть выполнены условия 1) — 5) Тогда краевая задача (0.77) при достаточно малых е > О (О < е < ео) однозначно разрешима в классе Са ([0, Т], СА") и справедлива оценка z{t, е) — 2eiv (01lc[o, r] < CmSM+1 где CN > О — постоянная, не зависящая от ?: G {О, SQ], z{t, е) — точное решение задачи (0.77), Z? N{t) = 8м{1, г) — построенное выше формальное асимптотическое решение..

Для изучения предельного перехода в задаче (0.77) потребуем выполнения условий 1) — 5) и условий.

6) ReXi (t) < О V, е [О, Т], г = Т^-ЯеХг,+1(1) > О Ш е [ОТ] 5- КеХА{1) > 0У1 е [0,T]J = п + 2, 2п-.

7) функция КеХп+1{Ь) строго возрастает на некотором интервале (бЛЛЛ-1, £л1+1 + л) справа от точки t = tnAl{S > 0)..

Пусть Q = [а, /3]- любой отрезок, лежащий в {О, Т) и QrS = 0. Имеет место следующие утверждение..

Теорема 18(см. стр. 203,206). Пусть выполнены условия 1), 2а) -2в), 3) — 7). Тогда имеет место предельный переход е) — гАъ)\с{А) О {е +0), г{1,е) — гЩсАз) О (еЬО), где х{1, е) — точное решение задачи (0.92) а — функция.

0.97).

При этом предельный режим задачи (0.77) (при? —> -|- 0) имеет вид.

1 е [О, т] 5, г = 2U) = л+1.

Он является разрывным (в точке = t", если A{tn} ф 0) решением предельной системы О = Т{1)г + /г (^)..

Из этой теоремы следует, что точное решение г{1, е), «обтекая» предельный режим Щ0, испытывает резкие скачки в точках Ь = О, t = 1п ш 1 = Т, образуя два пограничных слоя в окрестностях точек? = О и 1 = Т ж внутренный переходный слой в окрестности точки 1 = 1п. При этом внутренный переходный слой имеет вид контрастной структуры (в частности это будет контрастная структура типа «ступеньки», если.

A{tn) — A (An+i) > 0). Можно показать (см. [218]), что если S состоит из единственной точки, то в ее окрестности возникает контрастная структура типа «всплеска» ..

В пятой главе разрабатывается алгоритм построения асимптотического (при е —0) решения сингулярно возмуш, енной задачи.

A (t)x + f{x) + еФ{х, у, t), ж (0, б) = хл е К.

0.98).

B (t)y + ед (х, у, t) + h (t), y% е) = yt е [О, Т].

0.99) в критическом случае, т. е. в случае, когда спектр j{t) матрицы первой вариации A{t), B (t) системы (0.113)-(0.114) содержит пару сопряженных чисто мнимых собственных значений AiA2 = — <А > 0)..

Опишем условия, при которых будет рассматриваться задача (0.98)-(0.99). Как и в [156], будем предполагать, что правые части систем (0.98) и (0.99) являются функциями класса fi, т. е. они разлагаются в ряды ф^—'^1)ХТ'ХГуГ Уп? mi+m2 > 2.

Ф (х, у,1) = Е mi+—+m"" >0 ф (ТЬ-, Т")ААА G СОА ([0, Г], С 2) A.

9(^, y, t) = Е «А» НО 2/Г Уп 5 miH—-т&bdquo- > О а (ТЬ-, Т")(АА € С°°([0,Т], С" -2), сходяпдиеся абсолютно и равномерно по, а Е [О, Т] в областях и = {х: хЛ <.

1,2}, П= {(ж, у): [а¹ < К, ул < Л, г = 1, 2, j = 3~п} соответственно. Кроме того, будем считать выполненными следующие условия:.

1) двумерная матрица, А является постоянной и действительной, и имеет спектр Xj{t) =— гси{ш > 0) а = 1,2- вектор-функция h (t) Е С7°°([0, Т], С") —.

2)(п — 2) X (п — 2) матрица^j (t)}, удовлетворяющий требованиям имеет спектр г ф 3. Ь 3 = 3, п, е [О, Г]- 3) КеЛДА) < О, — = 3, п, VA 6 [О, Т..

В дальнейшем будут наложены дополнительные условия, обеспечивающие существование решения задачи (0.98)-(0.99) и наличие ее асимптотического решения..

Рассмотрим укороченную систему е— = АхЛ- /(ж), ж (0, е) = х (0.100).

Из работы К. Зигеля [70] (см. также [5]) следует, что УжА € Паа П В? нормальная форма системы (0.100) имеет вид — = ЛиЬ т (ши2)ше1 -Ь iV2(rAlU2)u2e2, а (0, е) = г^а (0.101) здесь Щд = {х: [жх] < 610, |ж2| < Ао?<�Ао > О— некоторое число)..

К этой нормальной форме система (0.101) приводится с помощью нормализующего преобразования.

X — 5(и) — Е хА’Аи', (хА' аА) = о, е г?, 3 = 1, 2. (0.102).

Здесь ГА— множества резонансных мультиндесов: г- = {5а = (5-, з): 8л = {к-А 1) е + ке, к > 1},.

Т1 = {5Л = (4, 4): з'' = ке + {к + 1)6°, > 1}, где кнатуральное числое = {1, 0}- = {О, 1}..

Поскольку преобразование х — переводит укороченную систему (0.101) к нормальной форме (0.102), то исходная система (0.98),(0.99) принимает вид Аг + 67А0(2122)2161 — г]Уо{21 22)22е2 -Ь еЕ (г, у, 1), 2(0, е) = 2А.

Д = B (t)y + eE (z, у, t) + h (t), y (0, e) = y (0.103) dt где обозначено: dS.

Л = dm9(-icc-, -Ьгси), A (z, t/, t) = (-А)-АЦ8(г), у, t), E (2-, t) = g{S{z), y, t), z' = S-x')..

В системе (0.103) первая подсистема является возмупденной нормальной формой. В [156] показано, что если на возмуп]-ение F{z, у, t), не наложено никаких ограничений (кроме F{z, у, t) 6 О) то можно получить задачу, которая будет либо не разрешимой на отрезке [О, Г], либо ее решение будет не ограниченным при е —> -|- 0. Чтобы избежать этого, потребуем выполнения следующего ограничения..

Условие А. Система (0.98) имеет не зависящий от у интеграл JA{x, t), связанный с интегралом укороченной системы (0.100) соотношением.

Г{х, t) = J (x) + J{x')xit), где xii) А С°°([0, Т], RA) — некоторая функция..

В [70] было показано, что при преобразовании z = S (z) интеграл переходит в интеграл оо.

J4S{zy t)= Е wAAAAz, Z2r + J{x')x (t), wAaaaa ф 0..

Этот интеграл сохраняет постоянное значение на траекториях системы (0.100), т. е. оо оо оо.

0.104).

При достаточно малых Zl это уравнение разрешимо (вообще говоря, неоднозначно) относительно произведения 212:2..

Условие Б. Среди решений уравнения (0.116) существует решение 2122 = xo (t) е с — ([ о. Г], кА)..

Это условие позволяет от сильно нелинейной системы (0.98)-(0.99) перейти к слабо нелинейной системе Ai (t)z + еАо (2, у, t), 2(0, е) = г B{t)y + eE,{z, y, t) + ед, у (0, e) = y.

0.105) где Ki{t) обозначает диагональную матрицу diag{—iaj + iNQ{xQ{t)), -irioj — Л/о (х (А))), a через FQ{Z, у, t) ж EQ (Z, у, t) -вектор-функции, полученные из F{z, у, t) ж E{z, у, t) заменой zi zA на Xo (0-Следуя [95], введем регуляризирующие функции л о гдеЛ1(л) =j-iuj{t) + iNo{xG{t)), X2{t) = +iu (t) — eNo{xo (t)), Xj (t) = 3 = 3, n..

Тогда для расширения {z{t, т, s), y{t, т, e)) решения {z{t, r, e), y (t, r, задачи (0.106) получим следующую систему: dz «~ dz.

Tj = -[ ~Xj{s)ds, j = 1,71,.

0.106) Е Ai (i) A.

Ai (i)5 = eFo[z, у, t), z{0. О, s).

E, А, (0 a — 5 (0 У = Kt) + eE,(z, y, t), y (0, 0, e).

0.107).

Определяя решение системы (0.107) в виде рядов оо оо.

Z = Е e’zk (t, г), у=Е e^Vkit, г),.

0.108) построим следующие итерационные задачи:.

Lz, = Е Ai (t)A — Ai (?)2o = О, 2о (0, 0) = z.

0.109i).

0.109o).

Lzk A Fk-i{zQ, 2/0, • • •, 2jfei, ук-1, t), 2fci (0, 0) = 0,.

Решения итерационных задач (0.109)5-) будем определять в пространстве и вектор функций {г{1, г), у (Ь, г)), представимых рядами г) = Е '2('")(Л)е ('" '*), 2И (Л) е (7°л ([0, Г], С2), | т | >0 y{t. г)= Е у*'л1)е^'уЛА1) е С-([0, Г], С—2), (0.110).

Н > о где штрих означает, что в соответствующей сумме отсутствуют резонансные экспонентыряды (0.110) предполагаются сходящимися абсолютно и равномерно по л Е [О, Т] в области 0А = {т: КетЛ- < А, л = 1, п, где, А > Онекоторая постоянная..

Система (0.109о) имеет в пространстве и решение в виде вектор-функций,.

2o (i, г) = а1(1)ееАА + сх2ееА где скалярные функции aj{t) Е С°°[0, Т] определяется из дополнительных условий ([95]) а + рАго, уо, г), е]еАА >= О, л = 1, 2, 2о (0, 0) = г дуо + ЁА’го, Уо, Ь), с[А (г)е-А>= О, j = 3, п, г/о (0, 0) — у (0.111).

— 31.

Здесь {сЛ (л)}— система собственных векторов матрицы В{1), а — система собственных векторов матрицы В*[1). Имеет место следующий результат..

Теорема 19(см. стр. 215). Пусть выполнены условия 1)-2), вектор-функции^?/), Ф (ж, у, 1), д{х, у, t) е О, начальный вектор жо € Що П КЛ. Пусть, кроме того, имеют место условия, А и Б, также условие В: спектр {ЛДЛ)} матрицы первой вариации системы (0.98)-(0.99) таков, что резонансные мультииндексы, порождаемые этим спектром, описываются множествами.

Гх = {тА = (к + 1) е1 + ке2}, Гз = {тА = кег + {к + 1) е2}, рл- = {тА = + ке2 + еу}, У к Е N, 3 = 3, п. е, — = {О, ., 0, 1, О, .•., 0 } - 7-йортвСл)..

Тогда дифференциальные уравнения, получаемые из условий ортогональности (0.111), однозначно разрешимы в классе С" л ([0, Т], С'А)..

Здесь таже доказывается асимптотическая сходимость формальных решений к точным..

В шестой главе рассматривается краевая задача с точкой поворота:.

L, y = s’y" - хк (х)у = h (x), y (0, s) = qy (l, s) = g', (0.112) где s > Q — малый параметр. Требуется построить регуляризованное асимптотическое решение этой задачи при следующих предположениях:.

1) к (х) > О Уж G [О, 1], /г (0) ф 0-.

2)к{х), Цх) е С°°[0, 1 ..

Отметим сразу же специфику неоднородной задачи с точкой поворота: предельное решение w[x) = — этой задачи является разрывным, поэтому основной ряд (см. 95], стр. 200) не может быть получен с помощью обращения оператора х к{х) и последующим дифференцированием. Это приводит к тому, что в случае задачи с точкой поворота для построения ограниченных асимптотических решений начальные значения не могут быть выбраны произвольно. Как показано в работе [95], начальные значения в этом случае следует выбирать специальным образом, зависящими сингулярно от s..

Исследование краевой задачи (0.112) показало, что в ней краевые условия и q' могуть выбраны произвольно, т. е. выбор краевых условий не влияет на ограниченность получаемых асимптотических решений. В этом состоит основное отличие краевой неоднородной задачи с точкой поворота от аналогичной начальной задачи..

Регуляризация задачи (0.112) проводится с помощью функции.

1 = 1 (3/2/v лагрлл. О.

При этом расширенная система принимает вид.

ЬеУ = EeAA’Ljy = Цх), у (0. О, s) = q у{1, s) = q', (0.113).

Так как основной оператор LQ является оператором типа Эйри и элементами его ядра являются линейные комбинации функции Эйри первого рода ui (t) и модифицированной функции Бесселя i62(jt) и их производных: y (x, t) = v{x)ui (t) v{x)u2(t) + /€[w{x)u'i (t) + It) (ж) u’g (i)A.

С коэффициентами, зависящими от fi = то решение расширенной задачи (0.113) следует искать в виде ряда у (х, t, s) = Е М yi-2{x, t) (0.114).

6=0 по степеням параметра // = л/е. Для коэффициентов у{-.2{х, t) этого ряда получим итерационные задачи, каждая из которых имеет вид уравнения Lo у{х, t) = /(ж, t), подчиненного некоторым граничным условиям, вытекающим из граничных условий (0.113) для ряда (0.114). т-ч и о.

В диссертации развивается теория нормальной и однозначной разрешимости итерационных задач в условиях, когда их правые части принадлежат классу Ц функций /(ж, t) (целых по, а и бесконечно дифференцируемых по ж G [О, 1]), представимых рядами fr, t) = t, А (f c > 1), j=k асимптотически сходящимися при a —)• -^оо (равномерно по ж G [0,1]). В классе Ц выделяется подкласс До правых частей /(ж, t), для которых соответствуящая итерационная задача Ly = /(ж, t) имеет решение у{х, t) Е 0*(t—а/(ж, t)){t + о о). Асимптотическая сходимость формального решения.

VsNix) = ЕШ'~'Уг-2(х,'А).

1=о S.

К точному y[t, s) доказывается с помощью представления решения, А (ж, е) краевой задачи.

ТеА (х, е) = еАА" {х) — хк{х)А{х) = %,?), А (0,е) = А{1,б) = О через специальную фундаментальную систему решений {zi{x, е), Z2{x, е)} соответствующего однородного уравнения Tg, А = 0. Имеет место следующий результат.

Теорема 20(см. стр. 234). Пусть функция к (х), к (х) Е С°°[0, 1 Тогда задача (0.112) имеет при достаточно малых е > 0(6 Е (О, во]) решение у{х, е), для которого справедлива оценка у{х, е) — Уеи{х)с[ол] < Civ (A/i)A+A УАА = О, 1, 2, • • •, где Civ > Опостоянная, не зависящая от ?{? Е (О, £о]).

1. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблема устойчивости движения в классической небесной механике // УМП. — 1963 — Т.18,вып .6(114).- - с. 91 — 192..

2. Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., Штарас А. Л. Метод осреднения для уравнений с частными производными и его применения. Итоги науки и техники. Соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1988. — Т. 34.-с. 215 — 240..

3. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с..

4. Болтянский И. Г. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамического програмирования // Изв. АН СССР, серия математическая, т, 28, 3, 1964, с.481 514..

5. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений.-М.: Наука, 1979, 254 с..

6. Богаевский В. Н., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. М.: Паука, 1987. — 256 с..

7. Бобочко В. Н., Л омов С. А. Внутренний пограничный слой / /Тр. Моск. энерг. ин-та. 1980. Вып. 499. — С. 57 — 60..

8. Бабич В. М. Многомерный метод ВКБ или лучевой метод .Его аналоги и обобщения. Итоги науки и техники. Соврем, проблемы матем. Фундаментальные направления. М.: Изд-во. ВИНИТИ, 1988.-Т.34.-С.93−134..

9. Бутузов В. Ф. Об одном сингулярно возмущенном уравнении парабо-личесческого типа// Вест. Моск. ун-та.Сер вычис.матем. и киберн.-1978. 2. С. 49 — 56..

10. Бутузов В. Ф., Мамонов В. М. Сингулярно возмущенная краевая задача эллиптического типа в критическом случае // Диф. уравн. -1982. Т.18. 6. С. 1056 — 1061..

11. Бутузов В. Ф., Удодов Ю. П. Асимптотическое решение системы сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа с угловым погранслоем //Ж. вычисл.матем. и матем.физ.- 1981. Т. 21, 3. С. 665 -677..

12. Бутузов В. Ф., Никитин А. Г. Сингулярно возмущенная эллиптическая краевая задача в прямоугольнике в критическом случае //Ж.вычисл. матем. и матем.физ.- 1984. Т.24, 9. — С.1320 — 1330..

13. Бутузов В. Ф. Асимптотика решений некоторых модельных задачхимической кинетике с учетом диффузии // ДАН СССР.-1978.-Т.242, 2. С. 268 — 271..

14. Бутузов В. Ф., Васильева А. Б., Нефедов Н. Н. Асимптотическая теория контрастных структур // Автомат, и телемех., 7 (1997), 3 32..

15. Birkhoff C D. On the asymptotic character of the solutiohs of certain linear differential equations containinq a parameter. Trans.Amer. Math. Soc- 1908. Y.9. P. 219 — 231..

16. Валиев M.A. Метод регуляризации для сингулярно возмущун-ных дифференциальных операторных уравнений // ДАН СССР. 1971.-Т.220, 5. С.1008 1012..

17. Валиев М. А., Ломов С. А. Общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных задач в случае неограниченного несамосопряженного оператора //ДАН СССР.-1977. -Т.236, 1. С.11−13..

18. Валиев М. А., Ломов С. А. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве //Диф.уравн.-1981.Т.17,10.-С. 1792−1805..

19. Базов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:Мир, 1968.-464 с..

20. Wasow W. Asymptotic solutions of boundary value problems for the differential equation Duke.Vath.J. 1944. V. 11. — P.405 — 411..

21. Васильева А. Б. Асимптотика решений некоторых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной // УМН. 1963.-Т. 18, вьш.(111).- С. 3−86..

22. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений.-М.:Наука, 1973.-272 с..

23. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. -М.: Изд-во МГУ, 1978.-106 с..

24. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Сингулярные возмущения в задачах оптимального управления. Математический анализ. Итоги науки и техники.- М.:Изд-во. ВИНИТИ АН СССР, 1982.-Т.20.-С. 3−77..

25. Васильева А. Б., Дмитриев М. Г. Определение структуры обоб-щеного решения нелинейных задач оптимального управления //ДАН СССР. 1980.-Т.250, 3.-С.525−528..

26. Васильева А. Б., Винокуров В. А., Ломов С. А., Митропольский Ю. А. Математическая школа «Метод малого параметра и его применения» УМН.-1978.Т.ЗЗ, 3. С. 207−213..

27. Васильева A.B. О развитии теории критических случаев в сингулярно возмущенных системах. Всесаюзная конф. по асимптот. методам в теории сингулярно воз.уравнений.-Алма-Ата:Изд-во «Наука» Каз. ССР, 1979.-Ч.1.-С.8−9..

28. Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Об асимптотике решения типа контрастной структуры // Матем.заметки.- 1987, Т. 42, 6, с.831 841..

29. Васильева А. Б. О контрастных структурах переменного типа //Журнал вычисл. математики и математической физики. -1999. Т. 39. 8. с.1296−1304..

30. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Нефедов H.H. Контрастные структуры в сингулярно возмущенных задачах// Фунд. и прик.матем., 4 (3)(1998), 799−851..

31. Вишик М. И., Люстерник А. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром. //УМН.- 1957.-Т. 12, вып.5.-с.З-122..

32. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Асимптотическое поведение решений линейных дифференциальных уравнений с большими или быстроменяющимися коэффициентами и граничными условиями // УМН.-1960.-Т.15,вьга.4.-С.27−95..

33. Вайнберг Б. Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики.-М.:Изд-во МГУ, 1971. 506 с..

34. Волосов В. М. Усреднение в системах обыкновенных дифференциальных уравнений //УМН.-1962.-Т. 13, вьга.6-С.З 126..

35. Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем.-М.:Изд-во МГУ, 1971 .-506 с..

36. ВанДайк М. Методы возмущений в механике жидкости.-М.:Мир, 1967. 310 с..

37. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике .- М.:Наука, 1978..

38. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.-М.:Наука, 1979.-432 с..

39. Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах.-М.:Наука, 1986. 256 с..

40. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.- М.: ГИТТЛ, 1953. 491 с..

41. Глушко В. П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж, 1972.194с..

42. Глезер В. Я., Дмитриев М. Г. Метод пограничного слоя в решении некоторых задач аналитического конструирования регулятора.//Всесоюзная конф. по асимптотическим методам. Тезисы докладов. Фрунзе. Илим, 1975..

43. Губин Ю. П. Метод регуляризации и разрешимость в целом укороченных уравнений метода усреднения// Укр. матем. жур.-1981.-Т.ЗЗ.З.-С. 297 303..

44. Губин Ю. П., Сафонов В. Ф. Нелинейная регуляризация резонансных задач//Тр.Моск.энерг.ин-та.- 1980.-Вьга.499.-С.73−77..

45. Губин Ю. П., Ломов С. А., Сафонов В. Ф. Точечный резонанс в системе двух осцилляторов//Прикл.матем.и мех.-1982.-Т.46, З.-С.389−396..

46. Губин Ю. П., Сафонов В. Ф. Нормальные дифференциальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмупденных задач//Тр. Моск.энерг.ин-та.-1982.-Вып.566.-С.18−22..

47. Губин Ю. П., Сафонов В. Ф. Точечный резонанс в осцилляторе типа Дуффинга//Тр.Моск.энерг.ин-т.- 1982.-Вьш.573 .-С.97−102..

48. Губин Ю. П., Сафонов В. Ф. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач со слабой нелинейностью в случае нетождественного резонанса//Диф.уравн.-19 84.-Т. 20,6.-С. 93 0−931..

49. Губин Ю. П., Сафонов В. Ф. Асимптотика решений линейных систем с нетождественным резонансом //Использование спектральной теории при решении задач матем.физ. Межвуз. темат. сб. -М.:Моск.энерг.ин-т, 1984. 45. -С.106−109..

50. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.-М.:Паука, 1970. 536 с..

51. Далецкий Ю. Л. Асимптотический метод некоторых дифференциальных уравнений с осциллирующими коэффициентами //ДАН СССР.-1962. Т.143,АГ 5. С. 1026−1029..

52. Дзядык В. К. Некоторые специальные функции и их роль при решении неоднородных дифференциальных уравнений с точкой поворо-та.В кн.: Теория функций и ее приложения.-Киев: Наукова думка, 1979..

53. Дзядык СЮ. Исследование решений колебательного типа неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с точкой поворота. Препринт ИМ-73−7. -Киев, 1973..

54. Дородницын A.A. Асимптотичекое решение уравнения Ван-дер-Поля //Прикл.матем.и мех.- 1947.-T.il, 3.-С.313 328..

55. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка //УМП.-1952.-Т.7,вьш.- С. 3−96..

56. Джакалья Г. Б. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. -М.:Мир, 1979. 320 с..

57. Дьдонне Ж. Основы современного анализа.- М.:Мир, 1964. 431с..

58. Джураев A.M. Асимптотическое интегрирование краевой задачи с кратным чисто мнимым спектром// Спектральная теория в задачах математической физики. Сб. науч.трудов. М.: Моск.энерг.ин-т, 1987.141. — С. 30 — 34..

59. Елисеев А. Г., Л омов С А. Теория возмущений в банаховом пространстве //ДАН СССР.- 1982.-T.264,iVl.- С 34 38..

60. Елисеев А. Г. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных уравнений с непрерывным спектром предельного оператора. Всесаюз-ная конф. по асимптот. методам в теории сингулярно возм. уравнений. -Алма-Ата: Изд-во «Наука» Каз. ССР, 1979. 4.1. С. 69 -73..

61. Елисеев А. Г., Каниев Г. С. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенной параболической задачи в ограниченной области// Спектральная теория в задачах математической физики. Сб.науч. трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т, 1987. 141. С.23−30..

62. Елисеев А. Г., Ломов C A. Теория сингулярных возмущений в случае спектральных особенностей предельного оператора // Матем.сб. -1986. -Т. 131.(173), 4. С. 544 — 557..

63. Елисеев А. Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора, 11 //Изв.АП СССР.Сер. матем.-1984.-Т.48,АГ5.-С.999−1042..

64. Елисеев А. Г. Теория сингулярных возмущений для систем дифференциальных уравнений в случае кратного спектра предельного оператора. 111 //Изв.АП СССР. Сер матем.-1984.-Т.48,АГ6.-С. 1171−1196..

65. Елисеев А. Г. Теория сингулярных возмущений в случае негладкого спектра предельного оператора // Матем. сб.-1995. Т. 186, N 7.-С.25−40..

66. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений.- Минск: Наука и техника, 1970..

67. Жукова Г. С. Аналог метода диаграммы Ньютона для одного класса сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений//Дифферен: уравнения.-1990. Т.26Д 9.-С. 1500−1509..

68. Жукова Г. С. Асимптотика решений одного класса линейных систем с вырожденной матрицей при производной.(препринт АН УССР, ин-т математики, 90−36).-Киев.-1990. 24с..

69. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике.-М. :ЕЛ, 1959..

70. Иманалиев М. Асимптотические методы в теории сингулярно возмущенных интегродифференциальных уравнений.-Фрунзе. :Илим, 1972..

71. Иманалиев М. И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения.- Фрунзе.:Илим, 1977..

72. Ильин A.M. Пограничный слой. Итоги науки и техники. Со-врем.проблемы матем. Фундаментальные направления,-М.:Изд-во ВИНИТИ, А Т.34. С.175−214..

73. Ильин A.M. Задача Коши для одного квазилинейного параболического уравнения с малым параметром// ДАН СССР.-1985.-Т.283, N3. С. 530 534..

74. Ильин А. М., Леликова Е. Ф. Метод сращивания асимптотических разложений для уравнения в прямоугольнике.//Матем.с6.-1975.-Т.96ДУ4.-С. 568 583..

75. Ионкин П. И. Моисеев Е.И. О задаче для уравнения теплопроводности с двухточечными кравевыми условиями // Дифференц. уравнения, 1979, Т. XV, N 7, -С. 1294−1295..

76. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М. В. Келдыша обыкновеннных дифференциальных операторов.//ДАН СССР, 1976, T.221,N 9, -С.796−799..

77. Калякин Л. А. Асимптотический распад одномерного волнового пакета в нелинейной диспергирующей среде//Матем.сб.-1987.-Т. 132 (174), АГ4. С. 470−495..

78. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ .- М.:Наука, 1977.-744 с..

79. Касымов К. А. Об асимптотике решения задачи Коши с большими начальными условиями для нелинейных уравнений, содержащихмалый параметр//УМН.-1962.-Т. 17, вып.5.-С. 187−188..

80. Коэл Дж. Методы возмущений в прикладной математике.- М. :Мир, 1972. 274 с..

81. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М. :Мир, 1972.740 с..

82. Костин В. В. Нормальная форма неавтономных систем //ДАН УССР. Сер.А.- 1973 .-Т.8.-С.693 696..

83. Коняев Ю. А. О новом подходе к исследованию сингулярно возмущенных задач при наличии тождественно кратных и мнимых точек спектра //Диф.уравн.- 1985.-T.21,iV10.-C. 1811−1814..

84. Коняев Ю. А. Конструктивные методы анализа многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Сер, матем, — 1992, iV2, -С.57−61..

85. Кирпикова О. И., Ращепкина Н. А. Регуляризованная асимптотика решения параболической задачи в случае спектральных особенностей //Спектральная теория в задачах матем. физики. Сб. задач науч. трудов.-М.:Моск 3Hepr. HH-T, 1987.-iV141.-C.109−113..

86. Кобрин А. И., Мартыненко Ю. Г. Асимптотическое решение слабо нелинейной системы //Диф.уравн.-1977.-Т. 13,7У' 6. С.1008−1019..

87. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.:ИЛ, 1958. 475 с..

88. Качалов В. И., Ломов С. А. Гладкость решений дифференциальных уравнений по сингулярно входящему параметру // ДАН СССР.-1988. Т.299, N4. С.805−807..

89. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н.

Введение

в нелинейную механику.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937. 363 с..

90. Lanqer R.E. The asymptotic solution of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to the Stokes phenomenon//Bull. Amer.Math.Ann.-1934.-V.63.-P.505−582..

91. Lanqer R.E. The asymptotic solutions of ordinary linear differential equations of second order with special refrence to a turninq point//Trans. Amer. Math.Soc.-1949.-V, 67.-P.461−490..

92. Liouville J Sur le developpement des fonctions ou parties en series dont les divers termes sont assujettes a satisfaire a une meme equation differentielle du second ordre contenant une parametre variable//J.Math.Pure Appl.-1937.-V.2.-P. 16−35..

93. Luke Y.L. Integrals of the Bessel functions. New York — Toronto1. ndon, 1962..

94. Ломов С. А.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений.-М.:Наука, 1981.-400 с..

95. Lomov S.A. Introduction to the General Theory of Singular Perturbation. Translations of Mathematical Monographs. Volume 112, American Mathematical Society,-1992..

96. Ломов С.A. 0 новой постановке задач, возникающих при построении регуляризованных асимптотических рядов //Тр.Всесаюзной конф. по уравн.с частными произв., посвященной 75-летию со дня рожд.акад. И. Г. Петровского.-М.:Изд-во МГУ, 1978.-С. 145−148..

97. Ломов С. А. Метод возмущений для сингулярных задач//Изв.АН СССР, Сер.матем.-1972.-Т.36,АГЗ.-С.635−651..

98. Ломов С. А. Формализм неклассической теории возмущений//ДАН СССР. -1973.-Т.212,ЛА1.-С.ЗЗ-36..

99. Ломов С. А. Асимптотические решения в критическом случае//Тр. Моск.энерг.ин-т.-1971.-Въш.89.-С.З-10..

100. Ломов С. А., Стрижков В. А. Обобщение теоремы Тихонова на случай чисто мнимого спектра //ДАН CCCP.-1983.-T.271,iV6.-C. 13 171 320..

101. Ломов С. А., Холомай Б. В. Излучение релятивистских ферми-онов в периодическом магнитном поле.-Томск:Изд-во Томского ун-та, 1982.-АГ1-С.75−80..

102. Ломов С. А., Елисеев А. Г. Асимптотическое интегрирование сингулярно возмущенных задач//УМН.-1988.-Т.43,въш.З (261).-С.З-53..

103. Ломов С. А. Обычная сходимость асимптотических рядов при наличии нулевых точек спектра//Вести.Моск.гос.ун-та.Сер.матем., мех.-1987.-7V6.-C.85−91..

104. Ломов И. С. Условия существования целых аналитических решений некоторых сингулярно возмущенных уравнений//Спектральная теория в задачах математической физики.Сб.научн.трудов.-М.гМоск. энерг. ин-т, 1987.-АГ141.-С.61−67..

105. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения //Академик А. М. Ляпунов.Собр.соч.-М.-Л.:Изд-во АН СССР, 1956.-Т.П.-С.7−263..

106. Маслов В. П. Теория возмущений и асимптотические методы.-М.: Изд-во. МГУ, 1965.-554 с..

107. Маслов В. П. Комплексный метод ВКБ в нелинейных уравнениях. -М.: Наука, 1977. 384 с..

108. Маслов В. П., Федорюк M.B. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики.-М. :Наука, 1976.-296 с..

109. Маслов В. П., Омельянов Г. А. Асимптотические солитонообраз-ные решения уравнений с малой дисперсией//УМН.-198 1 .-Т.36,вып.З (219).- С. 63−126..

110. Моисеев H.H. Асимптотические методы в нелинейной механике.-М.: НаукаД981. 400 с..

111. Митропольский Ю. А., Лопатин А. К. Теоретико-групповой подход в асимптотических методах нелинейной механики.-Киев:Наук.думка, 1988.-272 с..

112. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.-Киев:Наук.думка, 1971.-440 с..

113. Митропольский Ю. А., Филатов А. Н. Усреднение интегродиффе-ренциальных и интегральных уравнений//Укр.матем.журн. -1972.-Т.24, 1.-С. 30−48..

114. Мип1-енко Е. Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры //Изв. АН CCCP.Cep.MaTeM.-1957.-T.21,iV 5.-С.627−654..

115. Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания.-М.:Наука, 1975.-247 с..

116. Мищенко А. С., Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Лагранжевы многообразия и метод канонического оператора.-М. :Наука, 1978.-352 с..

117. Нестеров A.B. //ЖВМ и МФ, т. 30, N 9, 1991. с.1320−1327..

118. Олейник O.A. Об уравнениях эллиптического типа с малым параметром при старших производных//Матем.сб.-1952.-Т.3 1(73), 7У1.-С. 104−117..

119. Олейник O.A. Краевые задачи для уравнений с частными производными с малым параметром и задача Коши для нелинейных уравнений в целом//УМН.-1955.-Т.10,вьш.З (65).-С.229−234..

120. Олейник O.A. Математические задачи теории пограничного слоя// УМН.-1968.-Т.23,вьш.З.-С.З-65..

121. Омуралиев А. С., Салейдинов К. И. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных интегральных уравнений//Исследования по интегродифференциальным уравнениям.- Фрунзе: Изд-во «Илим», 1987.-ВЫП.20.-С.68−79..

122. Пугачев B.C. Об асимптотических представлениях интегралов систем линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // Изв. АП СССР.Сер.матем.-1941.-Т.5,ЛГ1.-С.75−84..

123. Понтрягин Л. С. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при высших производных//Тр.Всесаюзного матем.съезда.-1956(1958).-Т.2.-С.93−95..

124. Понтрягин Л. С. Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных //Изв.АП СССР.Сер.матем.-1975.-Т.215.-С.605−626..

125. Понтрягин Л. С, Мищенко Е. Ф. Вывод некоторых асимптотических оценок для решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных//Изв.АН СССР.-Сер.матем.-1959. -Т.23,5.-С.643−660..

126. Пулькин С. С, Розов Н. Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы.Х.Вычисление фазовой траектории//Вест.Моск.гос. ун-та. Сер. матем., мех.-1964.-2.-С. 7082..

127. Prandtl L. Uber Flussiqkeitsbewequnq ber senr kleiner Reibunq// Verk.d.III, Int.Math.Konqr., neidelberq, 1904.Teubener.-1905.-484−494..

128. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. -М.:ИЛ, 1947..

129. Прохоренко В. И. Регуляризация сингулярно возмущенной гиперболической задачи Коши в случае необратимого предельного опера-тора//Спектральная теория в задачах математической физики. Сб.научн.трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т, 1987.-.У141.-С.79−82..

130. Рожков В. И. Об одном методе исследования периодических решений дифференциальных уравнений с малым параметром при производных //Диф.уравн.-1975.-Т. 11,7У8.-С..

131. Рожков В. И., Иванова И. Л. Почти-периодические решения систем уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием в некритическом случае//Методы малого параметра. Тезисы докл. Всесюзного науч.совщ.-Пальчик:Изд-во Каб.-Балк.гос.ун-та, 1987.-С. 129..

132. Розов П. Х. К асимптотической теории релаксационных колебаний в системах с одной степенью свободы.П.Вычисление периода предельного цикла //Вест.Моск.гос.ун-та.Сер.матем., мех.-1964. -ЖЗ.-С.56−65..

133. Рыжих А. Д. Асимптотическое интегрирование уравнения в банаховом пространстве//Тр.Моск.энерг.ин-та.-1980.-Вып. 499.-С. 159−161..

134. Рыжих А. Д. Асимптотическое решение линейного дифференциального уравнения с быстро осциллируюш-ими коэффициентами//Тр.Моск. энерг. ин-та.1978.-Вьш.357 -С.92−94..

135. Рабинович Ю. Д., Хапаев М. М. Линейные уравнения с малым параметром в окрестности регулярно особой точки //ДАП СССР. -1959.-T.129,iV2.-C.268−271..

136. Рождественский Б. Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. -М.-Наука, 1978.-529 с..

137. Ращепкина H.A. Асимптотическое интегрирование краевой задачи при изменении характера спектра//Укр.матем.журн.-1982.-Т.4,ЛА6. -С. 789 792..

138. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.:Наука, 1971.396 с..

139. Румянцева М. А., Сафонов В. Ф. Контрастные структуры линейных сингулярно возмущенных задач с нестабильным спектром // Вестник МЭИ. -1995.-iV6. -С. 91−108..

140. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений//Под.ред.Холл Дж., Уатт Дж.-Мир, 1979.-3 12 с..

141. Стрижков В, А. Некоторые вопросы разрешимости в целом сингулярно возмущенных нелинейных задач//Матем.заметки-1985. -Т.37,вып.6.-С.857−868..

142. Стрижак Т. Г. Асимптотические методы нормализации. -Киев, 1981 .52 с..

143. Сафонов В. Ф. Многоточечный резонанс в сильно нелинейной сингулярно возмущенной системе дифференциальных уравнений//Диф.уравь 1987. -Т. 3.-С.529−530..

144. Сафонов В. Ф. Нормальные формы и регуляризация нелинейных сингулярно возмущенных эволюционных уравнений//Диф.уравн.-1989.-Т.25, 4. С.627−635..

145. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для сингулярно возмущенных систем нелинейных дифференциальных уравнений// Изв. АН СССР. Сер.матем.- 1979.-Т.43, 3, -с.628−653..

146. Сафонов В. Ф. Метод регуляризации и асимптотические решения систем с медленными и быстрыми переменными//Всесаюзная конф. по асимптот. методам в теории сингулярно возм.уравнений. -Алма-Ата:Изд-во «Наука» Каз. ССР, 1979.-Ч. 1.-С.77−79..

147. Сафонов В. Ф., Туйчиев О. Д. Регуляризация сингулярно возмущенных интегральных уравнений с быстро изменяющимся ядром и их асимптотика. //Дифференц. уравнения.- 1997 Т. 33, А7' 9, с. 1199−1211..

148. Сафонов В. Ф., Калимбетов Б. Метод регуляризации для систем с нестабильным спектральным значением ядра интегрального оператора. //Дифференц. уравнения. -1995 -Т. 31, N4, с. 696−706..

149. Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения нелинейных сингулярно возмущенных систем дифференциальных уравне-НИЙ//ДАН СССР -1987. -Т.235 ЛЛ6.-С.1274−1276..

150. Сафонов В Ф. Регуляризованные асимптотические решения сингулярно возмущенных задач в критическом случае // Изв. высших учебных заведений. Математика. 1994. — N 5, 384. С. 41−48..

151. Тауфер И. Решение граничных задач для систем линейных дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1981,144 с..

152. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра//Матем.сб.-1948;Т.22(64). -С.193−204..

153. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных //Матем. сб.- 1952. -Т.31(73), 3. С.575 586..

154. Тамаркин Я. Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных уравнений и разложениях произвольных функций в ряды. Петроград, 1917..

155. Территин Х. Л. Асимптотическое поведение решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Математика. 1957. — Т.1, 2. С. 129 -159..

156. Trjitzinsky W. S. Analitic theory of Unear differential equations //Acta Math. 1934. — V. 62. -P. 167−226..

157. Trjitzinsky W. S. Theory of linear differential equations containing a parameter //Acta Math. 1936. — V.67. -P.1−50..

158. Треногий В.A. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика//УМН. 1970. -Т.25, вьш.4(154). -С.123−156..

159. Треногий В. А. Функциональный анализ. -М. :Паука, 1980. 440 с..

160. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.-М. :Мир, 1977.-622 с..

161. Флэтто Л. Левинсон Н. Периодические решения сингулярно возмущенных систем.//Математика. -1958. Т.2, 2. -С.61−68..

162. Фещенко С. Ф., Шкиль Н. И., Николенко Л. Д. Асимптотические методы в теории линейных дифференциальных уравнений.- Киев: Наук. Думка, 1966. -252 с..

163. Филатов А. Н. Методы усреднения в дифференциальных и ин-тегродифференциальных уравнениях.-Ташкент: Фан, 1971..

164. Филатов А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегродифференциальных уравнений.- Ташкент: Фан, 1974.214 с..

165. Федорюк М. В. Метод перевала. -М.:Наука, 1977. 368 с..

166. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных дифференциальных уравнений.-М.:Наука, 1983.-352 с..

167. Федорюк М. В. Асимптотика: Интегралы и ряды. М.:Паука, 1987. 544 с..

168. Horn J. Uber eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit einen willkurHchen Parameter//Math. Ann. -1899. -Bd 52.-S.340−362..

169. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Мир, 1970. 720 с..

170. Хединг Дж.

Введение

в метод фазовых интегралов (метод ВКБ)-М.:Мир, 1965.-238 с..

171. Ханаев М. М. Проблемы устойчивости в системах обыкновенных дифференциальных уравнений// УМН. 1980. Т.35, вып.1(211). -С.127−170..

172. Хапаев М. М. Обощение второго метода Ляпунова//Диф.уравн.-1973. -Т.9, 11.-С.2020;2028..

173. Хапаев М. М. Об исследовании на устойчивость в теории нелинейных колебаний//Матем.заметки.-1968.-Т.З, вып. З.-С.307−318..

174. Хапаев М. М. Асимптотические методы и устойчивость в теории нелинейных колебаний: Учеб.пос.для вузов.-М.:Высп1ая школа, 1988.184 с..

175. Schlesinger L. Uber asymptotische Darstellungen der Losungen linearer Differential systeme als Funktionen eines Parameters//Math.Ann.-1907.-bd63.-S.277−300..

176. Чанг К., Хауэс Ф. Нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи. Теория и приложения.-М. :Мир, 1968.-247 с..

177. Шишкин A.A. Асимптотика решений одноточечных и двухточечных задач с сингулярными возмущениями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений//Диф.урав.-1973.-Т.9,АГ6.-С. 1156−1160..

178. Эрдейи А. Асимптотические разложения.-М.:Физматгиз, 1962.с..

179. Юдина A.C. Регуляризованные асимптотические разложения функций Бесселя//Тр.Моск.энерг.ин-т.-1982.-Вып.573.-С. 106−111..

180. Юдина A.C. Асимптотическое решение задачи Коши для неоднородного уравнения Бесселя с мнимым параметром//Спектральная теория в задачах матем.физики.Сб.науч.трудов.-М.:Моск.энерг.ин-т, 1987. -N 141. С.105 109..

181. Бободжанов А. А., Ломов CA. Асимптотические интегрирование задачи Коши в случае кратного спектра предельного оператора// Математические заметки. -1984. iVl, -С.89 -110..

182. Бободжанов А. А., Ломов CA. Асимптотические интегрирование сингулярно возмущенных задач с кратным спектром предельного оператора. //Дифференц.уравнения.-1984,7У12,-С 1236 1240..

183. Бободжанов A.A. Асимптотические аппроксимация решений сингулярно возмущенных задач. Тезисы Всесоюзного совещания по «Малому параметру» .- Нальчик, 1987. -С.32..

184. Бободжанов A.A. Асимптотические аппроксимации решений сингулярно возмущенных уравнений.// Конференция молодых ученых Таджикистана. -Душанбе, 1989. -С.5−6..

185. Бободжанов A.A. Аппроксимация решениий сингулярно возмущенных уравнений с кратным спектром предельного оператора//Труды МЭИ.- 1989.-iV194, -С. 5−7..

186. Бободжанов A.A., Ломов CA. Проблемы пограничного слоя//Уч.пос-Ленинабад, 1989. 51 с..

187. Бободжанов А. А, Мусаева 3. Построение фундаментальной системы решений сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядке// Тезисы молодых ученых Таджикистана.- Ленинабад, 1990. -С.7..

188. Бободжанов А. А., Бобоханов К. Построение асимптотики функции Грина в случае сингулярно возмущенной задачи// Тезисы конф. молодых ученых Таджикистана.- Ленинабад, 1990.-С.7..

189. Бободжанов A.A. Аппроксимация решений сингулярно возмущенных уравнений// В сб: «Проблемы механики и математической физики» .Воронеж, 1992.-С.7..

190. Бободжанов А. А., Бобоханов К., Туйчиев О. Д. Регуляризация по нормальным формам в задачах с точкой поворота// В сб: «Исследование теории дифференциальных, интегральных и операторных уравнений» .-Худжанд, 1993. -С.5−7..

191. Бободжанов А. А., Бобоханов К. Регуляризованное асимптотическое построение функции Грина//Алгебраическим структурам и теории сингулярных возмущений. -М.: Союз, 1993. -С.12−14..

192. Бободжанов А. А., Румянцева М. А. Асимптотические аппроксимации решений сингулярно возмущенных задач с нестабильным кратным спектром// Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. -М.:Союз, 1994. -С.47−48..

193. Бободжанов А. А., Калимбетов Б. Т., Туйчиев О. Д. Равномерноеасимптотика интегралов с нестабильной фазой.//Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ. -М.: Союз, 1994. -С.35−36..

194. Бободжанов А. А., Туйчиев О. Д. Асимптотические решения сингулярно возмущенных задач с кратным нестабильным спектром// В сб: Современные проблемы механики и математической физики.- Воронеж, 1994.-С.49..

195. Бободжанов A.A. Асимптотические решение сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве Шдеп. .Дифференц. уравнения N 1854, В-94, 19.07.94 г., 20 с..

196. Бободжанов A.A. Асимптотические решение сингулярно возмущенных задач в гильбертовом пространстве 11//деп. .Дифференц.уравнения, ЛГ1855, В-95, 19.07.94 г., 10 с..

197. Бободжанов A.A., Сафонов В. Ф. Регуляризованное асимптоти-чекое решение сингулярно возмущенных систем с запаздыванием// В сб:" Современные проблемы механики и математической физики" .- Воронеж, 1995. -С.48..

198. Бободжанов А. А., Туйчиев О. Д. Асимптотические решение сингулярно возмущенных систем типа Вольтерра в случае кратного спектра// В сб:" Современные проблемы механики и математической физики". -Воронеж, 1995. -С.50..

199. Бободжанов A.A., Сафонов В. Ф. Алгоритм нормальных форм для нелинейных сингулярно возмущенных систем в критическом случае// Математические методы и их приложения. Труды третьих математических чтений МГСУ. М.:Союз, 1995.-C.4−9..

200. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф., Туйчиев О. Д. Исследование сингулярно возмущенных интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром// Математические методы и приложения. Труды четвертых математических чтений МГСУ. -М.: Союз, 1996. -С.52−61..

201. Бободжанов А. А, Сафонов В. Ф., Туйчиев О. Д. Исследования по сингулярно возмущенным интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям. Тезисы конференции «Методы малого параметра», посвященной 90 -летию академика А. Н. Тихонова.- Обнинск, 1996, с. 14..

202. Бободжанов A.A., Сафонов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения с запаздывающим аргументом в случае тождственного резонанса// Дифференц. уравнения и математическая физика. Тезисы Международной конференции.- Душанбе, 1996. -С.7..

203. Бободжанов A.A., Сафонов В. Ф. Интегральные уравнение Воль-терра с быстро изменяющимся ядрами и их асимптотическое интегрирование// Вестник МЭИ, 1996, iV6, -С.37−48..

204. Бободжанов A.A., Туйчиев О. Д. Сингулярно возмущенные интегральные уравнения с вырожденным ядром // Дифференц. уравнения.-1997. Т. 33, iVll, -С. 1537−1542..

205. Бободжанов А. А., Кудин С. Ф., Прохоренко В. И. Об исследовании интегродифференциальной систем с ядром Абеля// Математические модели и приложения. Труды пятых математических чтений МГСУ.-М.:Союз, 1997. -С.1..

206. Бободжанов A.A., Сафонов В. Ф. Асимптотика решений нелинейных сингулярно возмущенных систем в критическом случае// Вестник МЭИ, 1997, ЛА6, -С. 10−17..

207. Бободжанов A.A., Прохоренко В. И., Сафонов В. Ф. Корректная разрешимость сингулярно возмущенной двухточечной краевой задачи/ / Математические модели и приложения. Труды шестых математических чтений МГСУ. -М.гСоюз, 1998. -С.89−93..

208. Бободжанов А. А., Ращепкина H.A., Сафонов В. Ф. Регуляризация оптимальных сингулярно возмущенных систем с быстро изменяющейся функцией демпфирования//Вестник МЭИ, 1998, N б.-С. 18−26..

209. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Регуляризация нелинейных ин-тегродифференциальных систем с быстро изменяющимися ядрами// Вестник МЭИ, 1999, N 6.-С. 19−33..

210. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Контрастные структуры в задачах оптимального управления//Математические методы и приложения. Труды седьмых математических чтений МГСУ.-М.:Союз, 1999.-С.71−75..

211. Бободжанов А. А., Туйчиев О. Д. Разрешимость в целом нелинейных сингулярно возмущенных задач//Математические методы и приложения. Труды седьмых математических чтений МГСУ. -М.:Союз, 1999. -С.76−77..

212. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Предельный переход сингулярно возмущенных интегральных системах с диагональным вырождением ядра// Воронежская весенная математическая школа. Современные методы в теории краевых задач. -Воронеж, 2000.-C.21..

213. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Метод регуляризации для оптимальных сингулярно возмущенных систем с быстро изменяющейся функцией демпфирования//Вестник ТГУ, 2000. Т.4,вьш.4.-С.422−423..

214. Бободжанов А. А., Сафонов В. Ф. Внутренний переходной слой в линейной задаче оптимального управления//Дифференц. уравнения. -2001.-T.37.iV З.-С.ЗЮ -322..

215. Бободжанов A.A., Сафонов В. Ф. Интегральные уравнения Воль-терра с быстро изменяющимися ядрами и их асимптотическое интегрирование// Матем. сборник. 2001. Т. 192. N 8. С.53−78..

216. Бободжанов A.A. Предельный переход в сингулярно возмущенных интегральных системах и задачах оптимального управления// Докл РАН. 2001. Т. 379. N 6. С.727−729..