Индекс и коциклическая сопряженность полугрупп эндоморфизмов W* — факторов

В предлагаемой работе исследуются условия и инварианты коцик-лической сопряженности однопараметрических полугрупп униталь-ных нормальных *-эндоморфизмов t at 6 End{M), t? Т, на И^-факторе М. В качестве Т мы рассматриваем Z+ = N® {0} и R+ = [0, +00) для дискретных и непрерывных полугрупп соответственно. Свойства дискретной полугруппы полностью определяются *-эндоморфизмом ai = а, так что az+ = (an)nez± Для полугрупп aR+ = (ai)i€R+ всюду дальше предполагается выполненым условие непрерывности функций г)(щ (х)) по t при любых фиксированных г) € A4*, х € М, при выполнении которого o-r+ называется Голоду группой. Основное отличие нашего исследования от ранее проводившихся в том, что рассматриваемые нами факторы неизоморфны алгебре всех ограниченных операторов B{l-L).

Теория ТУ*-алгебр или алгебр фон Ноймана появилась в 30−40-ые годы XX века (см. [1]). Дж. фон Нойман доказал существование С*-алгебр, замкнутых в слабой топологи (= ty*-алгебр), неизоморфных алгебре всех ограниченных операторов В (Н) в сепарабельном гильбертовом пространстве %. Им, совместно с Мюрреем, была дана классификация И^*-факторов (то есть Ж*-алгебр A4, пересечение которых с их коммутантом в ?{%) содержит лишь операторы, кратные единице) на типы 1,11 и III. К типу I относятся, в точности, И^-факторы, изоморфные В{%). В 70-ые годы возникла модулярная теория, установившая тонкую классификацию И^*-факторов типа III (см. [2−6]). Важнейшим понятием в модулярной теории является коциклическая сопряженность так называемых «модулярных» групп автоморфизмов VP-алгебры. С другой стороны, определение коциклической сопряженности естественным образом возникает при исследовании возмущений непрерывных однопараметрических групп (см. [16]). В частности, группы автоморфизмов, генераторы которых отличаются на ограниченное дифференцирование алгебры, коцикли-чески сопряжены. Коциклическая сопряженность групп автоморфизмов исследовалась как с помощью структурных свойств алгебры (см. [11−12]), так и свойств самих групп (см. [13−15]). В дальнейшем понятие коциклической сопряженности было перенесено на полугруппы эндоморфизмов в теории индекса (см. ниже).

Важнейшим источником примеров И^*-факторов разных типов является С*-алгебра канонических антикоммутационных соотношений А (1С) над сепарабельным гильбертовым пространством К. Приводимые ниже факты, касающиеся Л (1С), более подробно изложены в приложении. Оператор Л, 0 < Л < /, в пространстве К определяет квазисвободное состояние шц на, А (1С). Представление ГНС 7Гд, отвечающие порождает гиперфинитный Ж*-фактор Мя = 7гл (Л (/С))-/, при этом состояние иц на А (К) порождает векторное состояние на Мд, которое мы будем также обозначать соц. Исследование факторов Мд и квазисвободных отображений на них инициировано Пауэрсом в [19]. Пауэре рассмотрел случай Я = 1/1, 0 < ^ < ½. Им была доказана принадлежность фактора МI к типу Щ и факторов Ми, 0 < и < ½, к типу III. Позднее Конн уточнил классификацию Пауэрса, установив принадлежность Ми к типу 1Щ, Л = (см. [6]). Общая классификация факторов А4л, в зависимости от спектральных свойств оператора Я, установлена в [29]. Любой изометрический (сжимающий) оператор в /С порождает, с помощью «квазисвободного подъема», эндоморфизм (вполне положительное отображение) С*-алгебры А (К,) и И^*-фактора называемое квазисвободным. В [30,23] исследованы дифференциальные уравнения на А (К), решениями которых являются полугруппы квазисвободных отображений. Решения квантовых стохастических дифференциальных уравнений на А (К), возникших первоначально на С*-алгебре канонических коммутационных соотношений (см. [83,85−87]), удовлетворяют условию для коцикла (см. [84,88]).

В конце 80-ых годов, благодаря работам Пауэрса [34] и Арвесона [41] появилась теория индекса полугрупп *-эндоморфизмов алгебры всех ограниченных операторов В (Ti). Согласно этой теории каждой полугруппе ау, Т = Z+ или R+, удовлетворяющей условию «про-странственности» (см. ниже), приписывалась числовая характеристика, индекс indar 6 Z+. Отметим, что indaz+ = 1 (indar+ = 0) тогда и только тогда, когда az+ (u-r+) состоит из автоморфизмов. Как было показано, индекс имеет одинаковое значение у коцикличес-ки сопряженных полугрупп. Более того, Арвесон в [41] показал, что при накладовании на класс рассматриваемых Ёо-полугрупп некоторых условий регулярности, при выполнении которых они называются «вполне пространственными», полугруппы из этого класса с одинаковыми индексами коциклически сопряжены. Последовавшие работы развивали теорию как в абстрактном случае (см. [35−38,42−48,6972]), так и для случая квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов (см. [39,64−68]), введенных Пауэрсом в [19]. Используя процедуру минимальной дилатации до *-эндоморфизма, Бхат в [48] развил теорию индекса для динамических полугрупп, состоящих из вполне положительных сжатий В (%). Еще в первой работе [34], Пауэре указал на возможность введения индекса полугрупп эндоморфизмов на 1У*-факторе Л4 отличном от В (Ж). Им был предложен метод введения индекса Е’о-полугруппы на гиперфинитном факторе типа Их.

Пауэре в [34] поставил задачу о построении для любого натурального числа п такой? о-полугруппы а, на И^-факторе М, названной им потоком сдвигов, что rn€z+atn (M) = Cl, t > 0, и inda = п. Там же приведено решение этой задачи в случаях, когда М является алгеброй всех ограниченных операторов и гиперфинитным фактором типа Iii. Арвесон в [41] доказал, что потоки сдвигов Пауэрса на В{%) являются вполне пространственными .^-полугруппами. Таким образом, индекс характеризует класс коциклической сопряженности потоков сдвигов Пауэрса на В (Н). Булинский в [51−52] показал, что на любом гиперфинитном факторе типа Шд существуют потоки сдвигов Пауэрса с заданным индексом. В [51−52] была установлена связь потоков сдвигов с K-потоками, определенными в [49]. В этой связи, Булинским было указано, что потоки сдвигов естественнее называть полупотоками.

В [41] было показано, что любой нормальный *-эндоморфизм В (К) «выполняется» некоторым семейством изометрических операторов. Индекс Пауэрса эндоморфизма (и отвечающей ему дискретной полугруппы) есть число изометрических операторов в этом семействе (см. [69,71]). Исследование структуры семейства изометрических операторов, выполняющего квазисвободный эндоморфизм, проводилось Бинненхаем в [33].

Мы рассматриваем полугруппы ат на И^-факторе М, для которых предполагается выполненым условие полной совместимости с точным состоянием ш Е М* (A.B. Булинский).

Определение. Эндоморфизм, а называется совместимым с точным состоянием и Е М.*, если выполнено условие a) ша = ш (инвариантность и относительно действия а) — в случае если дополнительно выполнено условие b) Ода = aoR (коммутативность с модулярной группой, отвечающей iu), а называется вполне совместимым с и.

Полугруппа ат называется (вполне) совместимой с ш, если эндоморфизмы o? t (вполне) совместимы с ш при любом t Е Т.

Условие (а) гарантирует существование полугруппы изометрических операторов Vt, сплетающей полугруппу ат в смысле c? t{x)Vt =.

Ц.х, х Е М, 4 6 Г. Полугруппы а?, Для которых найдется сплетающая полугруппа изометрий, называются пространственными (Р.Т. Пауэре).

Пусть М — Ж*-фактор типа 1П, 0 < Л < 1. Фиксируем? = Предположим, что выполнено одно из следующих эквивалентных условий (см. [7], С.439): — < = /<*- алгебра неподвижных элементов сгш является фактором;

8р (Аш) = Г (сга-), где Аш — модулярный оператортогда мы будем говорить, что сгш удовлетворяет условию Е. В случае, когда М имеет тип Щ мы считаем выполненым условие Е для модулярной группы <7Ш, отвечающей следовому состоянию и на.

М.

В диссертации изучаются объекты, относительно которых предполагаются выполнеными следующие условия:

В первой главе мы исследуем полугруппы нормальных эндоморфизмов абстрактного И^-фактора М., вполне совместимые с состоянием ш, для которого удовлетворяет условию Е. Во второй главе исследуются квазисвободные полугруппы на факторе Л4д, вполне совместимые с состоянием шд, для которого оШк не удовлетворяет, вообще говоря, Е. В третьей главе мы исследуем модельный случай квазисвободных отображений на гиперфинитных факторах М. у типа П1 и Шд (0 < V < ½), вполне совместимых с состоянием Для модулярной группы, 0 < V < ½, условие Е выполняется всегда.

Изложим кратко изучаемые в диссертации вопросы: В главе 1 доказывается выполнимость семейством изометрических операторов нормального *-эндоморфизма, а 1¥-*-фактора Л4, отличного от В (Т-С). Это позволяет нам установить «регулярное расширение» полугруппы ат на М до полугруппы (5т на В (Н) = М V М!

Применение указанной процедуры для^{-полугруппы,} а на М позволяет получить Ео-полугруппу ?3 на В (71), являющуюся регулярным расширением а. Мы вводим индекс, а как индекс Пауэрса-Арвесона /3. Определенный таким образом индекс является инвариантным относительно коциклической сопряженности полугрупп. В главе 2 мы применяем технику, развитую в главе 1, для исследования квазисвободных эндоморфизмов гиперфинитных факторов Л4д. Отметим, что для модулярной группы аШн, Я ф у1, не выполняется, вообще говоря, условие ?. В случае квазисвободных? о-полугрупп на А4д ~ В [Ж) доказано, что индекс полностью характеризует класс коциклической сопряженности полупотоков сдвигов Пауэрса. Кроме того, мы исследуем класс всех квазисвободных расширений (а не только «регулярного», введенного в главе 1) квазисвободного эндоморфизма, а гиперфинитного фактора Му, 0 < и < ½, на В{%) = У М! у. Далее, мы предлагаем аналог разложения Вольда для нормальных эндоморфизмов. В главе 3 исследуются условия коциклической сопряженности квазисвободных эндоморфизмов и ¿-^" Полугрупп в модельной ситуации 1У*-факторов Ми, 0 < V < ½. Используя полученные условия, мы вводим определение аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Изометрическим операторам (Со-полугруппам изометрических операторов) V и V, аппроксимирующим друг друга в смысле нашего определения, отвечают коциклически сопряженные квазисвободные эндоморфизмы (.Ео-полугруппы) В (и) и В (у), полученные подъемом V и V. Мы решаем задачу об аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве вполне неунитарными изометрическими операторами и полугруппами вполне неунитарных изометрических операторов соот-ветсвенно. Это позволяет нам описать классы коциклической сопряженности сдвигов и полупотоков сдвигов Пауэрса на гиперфинитных факторах типа Iii и П1д.

Мы обозначаем символами В (%) — алгебру всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве ИМ — РК*-фактор действующий в % с циклическим и отделяющим вектором Q, — М! — коммутант ММ V Я — минимальную VP-алгебру, содержащую И^-алгебры М. и 7Vш, как правило, обозначает вектороное состояние (П,-П) — а и? — нормальные унитальные эндоморфизмы или полугруппы эндоморфизмов Л4- s2, || • Ц2, 5оо и || • || обозначает класс операторов Гильберта-Шмидта, норму Гильберта-Шмидта, класс вполне непрерывных операторов в % ж норму в В (%) соответственно.

Заключение

.

Приведенное в диссертационной работе исследование полугрупп эндоморфизмов И/*-алгебр дало следующие основные результаты:

1. Введено понятие регулярного расширения *-эндоморфизма, а }>¥-*-алгебры М С В (И), до *-эндоморфизма (3 И^*-алгебры В (%). Доказано существование и единственность регулярного расширения полугрупп^{-эндоморфизмов,} вполне совместимых с точным нормальным состоянием.

2. Регулярное расширение исследовано для случая квазисвободных полугрупп на гиперфинитных факторах Л4д С В (И). Показано, что регулярное расширение квазисвободного эндоморфизма является квазисвободным эндоморфизмом. Для модельного случая гиперфинитного фактора Му описан класс квазисвободных эндоморфизмов В (Н), являющихся расширениями (не только регулярными) квазисвободного эндоморфизма, а фактора Му.

3. С каждой Ро-полугруппой, а на И/*-алгебре М, вполне совместимой с точным нормальным состоянием ассоциирована система-произведение V. Индекс, а введен как размерность V. Показано, что введенный индекс равен индексу Пауэрса-Арвесона регулярного расширения, а на В (И). Показано, что в случае, когда, а является квазисвободной Ео-полугруппой на гиперфинитном факторе М, V является делимой.

4. Предложен аналог разложения Вольда для нормального эндоморфизма алгебры В (Н) и квазисвободного эндоморфизма гиперфинитного фактора типа Щ.

5. Получен критерий внутренности квазисвободного автоморфизма гиперфинитного фактора Му. На основе этого критерия получено необходимое и достаточное условие коциклической сопряженности полугрупп квазисвободных автоморфизмов и достаточное условие коциклической сопряженности квазисвободных Д)-полугрупп на гиперфинитных факторах М.и.

6. На основе полученных нами условий коциклической сопряженности квазисвободных эндоморфизмов и квазисвободных полугрупп введены определения аппроксимации изометрических операторов и Со-полугрупп изометрических операторов в гильбертовом пространстве. Квазисвободный подъем (Со-полугрупп) изометрических операторов, аппроксимирующих друг друга в смысле нашего определения дает коциклически сопряженные (¿-^-полугруппы) эндоморфизмы.

7. Исследованы класс изометрических операторов, аппроксимирующих вполне неунитарный изометрический оператор и класс Со-полугрупп изометрических операторов, аппроксимирующих Со-полугруппу вполне неунитарных изометрических операторов. С помощью проведенного исследования описан класс коциклической сопряженности квазисвободных сдвигов, полупотоков сдвигов и К-потоков на гиперфинитных факторах Л4Р.

Автору приятно выразить глубокую признательность Андрею Вадимовичу Булинскому за постоянное внимание к работе и многочисленные полезные замечания.