Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных

Пусть Х=СХ4.Х/г) >У=(У1.У п) ~ произвольные точки /векторы/ вещественного Пмерного пространства^ ,(ХУ} -скалярное произведение в Еп, , функции ?(X) ~ - измерюлы на, периодичны по всем переменным у • ,.

С[) — класс непрерывных асКаждой функции У 6 ?(0.^{сопоставим} ее |1 -кратный ряд Фурье.

0.1/ где К• пробегают-" множество всех целых чисел /П. /, а.

— комплексные коэффициенты Фурье.

Как известно, уже в одномерном случае ряды Фурье, вообще говоря, не пригодны в качестве аппарата представления произвольных функцийтак, например, существует /б (Г (0.^), ряд Фурье которой расходится в некоторой точке /результат дю-Буа-Реймона, см. [I], т.1, с.470−476/- для функций из класса 1. ] расходимость может иметь место почти всюду и даже всюду /результат А. Н. Колмогоровасм. [I], т.1, с.480−494/. Эти и другие примеры / [I], гл.8/ приводят к необходимости рассматривать некоторые процессы, построенные с помощью разложения /0.1/ и сходящиеся к /(X) почти всюду или по метрике пространства, которому принадлежит.

X) .

В 1904 г. Фейер доказал, что последовательность средних арифметических частных сумм ряда Фурье /И -1/ тлеет пределом /Сх) в каждой точке непрерывности функции / - позднее Лебег установил, что для всякой/f/УО)сходимость такой последовательности к/СХ) имеет место почти всюду /см. [Ij, т.1, с. 148−152/.

Рассматривая применение к рядам Фурье методов суммирования, используемых в теории расходящихся рядов, в 1948 г. С. М. Никольский поставил и решил задачу в следующем общем виде / [2], с. 472−482/: какие условия требуется наложить на последовательность.

К=од., гг}<�™h)f$>=о, К-тш+г,.1 /о.з/ чтобы можно было утверждать, что frtn /0.4/ tn->oo к—т почти всюду и в точках непрерывности? Его исследования положили начало целой серии результатов, относящихся к этому вопросусм. [3] и библиографию в [3], [4], [5] .

Переход к кратным рядам Шурье вносит своеобразие в формулировки и методы доказательства результатов уже тем, что само определение частичной суммы ряда /0.1/ $ /о.5/.

V К (]Г зависит от вида множестваVCE^. В литературе /см. статью [6], содержащую обширную библиографию, [7 ] - [9] и др./ изучаются вопросы, связанные, в основном, с формой «прямоугольной» /суммы /0.5/ называют тогда суммами по Принсхейму/ или «сферической» — имеются также исследования при!7-£ в случаях, когда V" - «гиперболический крест», ромб и др. /см. 10] - [13] /.

Для кратных рядов Фурье уже не справедлив аналог результата Карле со на [14] об их сходимости почти всюду к функциям из[,: существует / [15] / непрерывная/^^), ряд Фурье которой расходится по Принсхейму всюду. В связи с этим повышается интерес к методам суммирования разложений /0.1/. В диссертации рассматриваются операторы.

— г Т 2, (У 7) с (Г]р^№~+К>1хп) терминология: линейные средние,^{-средние,} полунепрерывные средние ряда /0.1/ /, построенные с помощью последовательности функций (г)/°м* ниже соотношения /2.1.1/ /, аргументы Ту /О^^-М / которых принимают «непрерывные» или ¦

71 ¦ дискретные / значения. Одной из основных задач является получение условий Д-суммируемости к / разложений /0.1/, т. е. выполнения соотношения т 61 (^Х-Л)-^(Х) /0.7/.

1Т1Ш * почти всюду в $ или по метрике пространства, которому принадлежит/. При этом значительное внимание уделяется вопросам ограниченности операторов /б^СЛ/ в ?^ -весовых пространствах. Об актуальности тематики, связанной с изучением максимальных операторов, весовых пространств, суммируемости простых и кратных рядов Щурье свидетельствуют многочисленные исследования, имеющиеся по этим вопросам, особенно в последние годы. Кроме уже цитированных работ и библиографии в них, см. также следующие статьи и монографии: [16] - [18], [19], [20]- [2б], [27], [28]-[36], [37], [38], [39]/с.307−324/, [40], [41]/с.478−585/, [42]-[611.

Дадим краткое описание основных результатовточные формулировки см. в соответствующих главах. § 1.I главы I посвящен обобщению и улучшению известного условия А. В. Ефимова [з] Д — ¦ суммируемости при 11−1 ряда /0.1/ кпочти всюду. В § 1.2 получены оценки ростаА -средних одномерного ряда Фурье и сопряженного ряда в метриках весовых пространств Ц^ //371/, возникающих в случаях, когда на отрезке (? задана абсолютно непрерывная мера^И, т. е. о! р~о)(х)с1х — условие абсолютной непрерывности меры у4 в рассматриваемом круге вопросов существенно, см. [1б], с.227−228. Такие оценки роста оказываются возможными в случае весовых функцийЬ), удовлетворяющих известному Арусловию [17]. Даже для классических методов суммирования), о (>0,результаты являются здесь новыми.

В § 2.1 главы 2 исследуется Л-суммируемость почти всюду рядов Сурье функций П переменных из класса Ц^^Г и сопряженных /по любому набору переменных/ рядов. Условия суммируемости § 1.1 обобщаются при этом накратный случай. Как следует из результатов Сакса [18] /существование/Й) с расходящимися почти всюду средними Фейера ее двойного ряда зурье/, утверждения § 2.1, вообще говоря, перестают быть верными для функций [ДУ' § 2.2 посвящен оценкам весовыхнорм средних причем полученные неравенства содержат в левой и правой частях весовые функции, которые могут быть различнымипредполагается, что эти функции удовлетворяют А-мерному аналогу Д-условия. Теоремы 2.2.3 и 2.2.4 § 2.2 показывают, что на всем классе методов суммирования. Дусловие является для таких оценок и необходимым.

§ 3.1 главы 3 посвящен вопросам ограниченности максимального оператора Харди-Литтлвуда /см., напр., [19], с.65−72/ и оператора, получающегося из него некоторой модификацией, действующих в весовых пространствах. В § 3.2 эти результаты применяются к вопросам ограниченной суммируемости кратных рядов Фурьетермин «ограниченная суммируемость» означает выполнение /0.6/ при ус.

1-Тловии, что все отношеният^ остаются ограниченными,.

I «Ч когда ЬгнпТ.-М. Рассмотрено также Лсуммирование разложений /.

Фурье функций множествв частности, получено утверждение о локализацик в крестообразных окрестностях.

Отметим, что результаты глав 1−3 представляют интерес в связи с задачами, поставленными Розенблюмом в [541.

В главе 4 исследуется сходимость почти всюду двух видов средних двойных рядов Фурье, построенных с помощью регулярных методов суммирования. Результаты § 4.3 о средних треугольного типа являются новыми даже для классического метода суммирования Фейераутверждения, касающиеся Д-средних типа Марцинке-вича, обобщают результаты известных работ Марцинкевича ['?] и Л. В. Жижиашвили (^9].

В конце каждой главы рассматриваются приложения основных результатов. Отметим здесь возможность интерполирования непрерывных функций /§ 2.3/, восстановления функций по их моментам /§ 3.3/, аппроксимации аналитических функций классов Харди средними их разложений Тейлора /§ 1.3, § 2.3, § 3.3/. Практически все результаты диссертации переносятся на средние кратных рядов Сурье-Чебышева /§ 2.3, § 3.3, § 4.4/- новыми здесь являются далее аналоги многих хорошо известных в тригонометрическом случае результатов. К кругу вопросов, рассматриваемых в диссертации, примыкают «эллиптические» способы суммирования рядов и интегралов Фурье /двумерный случай/- соответствующие результаты в диссертации лишь цитированы /ввиду их большого объема/, а полностью приведены в [23.1.

Диссертация выполнена под руководством Б. П. Осиленкера, которому автор приносит самую глубокую благодарность.

Основные результаты по теме диссертации изложены в [20]-Г26] и ГБ1]. Результаты глав I и 2 опубликованы в единоличных работах соискателя[20], [24] и [61]. В главе 3 соискателем обобщаются на векторнозначные функции главные утверждения работы [26], выполненной в соавторстве с научным руководителем /в [26] Б. П. Осиленкеру принадлежат: постановка задач и методы получения весовых оценок из установленных соискателем /основных для главы 3/ оценок средних через максимальные функции/. К результатам главы 4 относятся единоличные работы соискателя [2lj-[23j, {25].

Материалы диссертации докладывались в Воронежской зимней математической школе /1979 г./, на научных конференциях Пермского политехнического института и Московского инненерно-стро-ительного института им. В. В. Куйбышева /1980, 1981 г./, на семинаре при кафедре высшей математики МИСй /руководители семинара проф. А. Л. Гаркави и проф. С.Я.Хавинсон/ в 1980 г., на семинарах при кафедре функционального анализа и теории функций в МГУ /семинар под рук. проф. Е. М. Никишина и проф. А.М.Олев-ского, 1981 г.- семинар под рук. членов-корр. АН СССР Д. Е. Меньшова и П. Л. Ульянова, 1980 и 1982 годы/, объединенном семинаре кафедр механико-математического факультета Саратовского ГУ /рук. семинара проф. Н. П. Купцов и проф. А. А. Привалов, 1982 г./, Саратовской школе по теории функций и приближений, 1984 г.

1. Зигмунд А. Тригонометрические ряды, т.1,2.-М., «Мир», 1965. z. Бари Н. К. Тригонометрические ряды.-М., Оизматгиз, 196I.

2. Ефимов А. В. О линейных методах суммирования рядов Фурье.-Изв. АН СССР, сер. матем, т.24, № 5, I960, с.743−756.

3. Тригуб P.M. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость рядов^{урье.-Изв.} АН СССР, сер. матем, т32, № 1, 1968, с • S4″™ •.

4. Тригуб P.M. Суммируемость рядов Фурье в точках Лебега и одна Банахова алгебра функций.-В кн. «Метрические вопросы теории функций и отображений», вып.6. Киев, 1975, с.125−135.

5. Жижиашвили Л. В. Обобщение одной теоремы Марцинкевича.-Изв. АН СССР, сер. матем., т.32, № 5, 1968, с.1112−1122.10. 10дин А.А., 10дин В. А. Дискретные теоремы вложения и константы Лебега.-Матем. заметки, т.22, № 3, 1977, с.381−394.

6. Нахман А. Д. Оценки слабого типа для некоторых операторов.-Межвуз. сборн. научн. трудов «Краевые задачи». Пермь, 1980, с. 193−194.

7. Нахман А. Д. Об эллиптических средних двойных рядов и интегралов Фурье,-Ред. Сибирск. матеи. журн. Новосибирск, 1981, 17 с./Рукоп. депон. в ВИНИТИ № 5505−81 ДЕП/.

8. Нахман А. Д., Осиленкер Б. П. Оценки весовых норм некоторых операторов, порожденных кратными тригонометрическими рядами Фурье." Изв. вузов. Математика, № 4/239/, 1982, с.39−50.

9. Алексич Г. Проблемы сходимости ортогональных рядов.-М., ИЛ, 1983.28. Jivb ?-о^ы-Им^&еЛп ШЙ.

10. СаШоь СР. ^"пкпоьк* о^и^'фй К/е^-Ы^а*" 5мтьШу о ньЩЬ НсстМ5ШаЦмт^са, 30. /ЬИМ, И/ф^.

11. VпиЛкрЬ. Ы^опо^Ыс Ш^-Ъ^Л^ МЖ .^ос., / ЬХ.

12. Матвеев И. В. 0 методах суммирования двойных рядов Фурье для функций от двух переменных." Матем. сборн., № 1, 29/71/, 1951, с. 185−196.

13. Лебедь А. Г. К линейным методам суммирования двойных рядов'^{урье.-Докл.} АН УССР, сер. А, № 5, 1973, с.403−405.

14. Матвеев И. В. О суммировании двойных рядов Фурье функций двух переменных.-Успехи матем. наук, т.12, вып.5/77/, 1957, с. 22Х-229•Т37. Жижиашвили Л. В. Сопряженные функции и тригонометрические ряды.-Изд-во Тбилисского ун-та, Тбилиси, 1969.

15. Wuckenhoupi 5. Two weight J-undion norm foz Ык Poivot) iiit (!paL~Txans.Qmex. Waik Soc., vM0,№Z ¿-15−2Ъ1.

16. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс.-М., Физматгиз, I960.

17. Лебедь А. Г. Линейные методы суммирования и абсолютная сходимость двойных рядов Фурье.-Изв. Вузов. Математика, № 12, 1971, с.91−102.

18. Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменно го.-М., Физматгиз, I960.

19. Лйфлянд И. Р. Об интегрируемости преобразования Фурье финитной функции и суммируемость рядов Фурье функций двух переменных.- «Метрические вопросы теории функций и отображений», вып.6. Киев, 1975, с.69−81.

20. Белинский Э. С. Суммируемость кратных рядов Фурье в точках Лебега.- «Теория функций, функциональный анализ и их приложения1,1 1ЖЗ, 1974, с.3−12.

21. Хилл Э. Функциональный анализ и полугруппы.-М., ИЛ, 1951.

22. Riv/t'eie ЛАМ. S¿-пдиСал intejiatfs and rnutUptiex .

23. Kuiti Ъоцд1а$$. Weighkd почт inepaPl-iiesfoz ihe Hatdy-Liti^eWood Maximal Jutidion eoi ont j^avkwdix %zdui^ks>. -Siudia fflathematica. t. ЬШ, 1915, 39-Sk .

24. Metnij M. P. Wzijhied Mimal wi^ua^Uts /о? }(хШ kticuoni.-Canal ШЬ Ш HS-кЯ.

25. Кокилашвили В.M. Максимальные неравенства и мультипликаторы в весовых пространствах Лизоркина-Трибеля.-Докл. АН СССР, т.239, PI, 1978, с.42−45.

26. Осиленкер Б. П. О проблеме JUмоментов.-Труды МИХМа, вып. 48, M., 1973, с.47−48.

27. Габиоония О. Д. О точках суммируемости двойных рядов Фурье некоторыми линейными методами.-Изв. вузов. Математика, Р5/120/, 1972, с.29−37.

28. Киприянов И. А. О суммировании интерполяционных процессов для функций двух переменных.-Докл. АН СССР, т. 95, № 1, с.17−20.

29. Подкорытов А. Н. Линейные средние кубических сумм Фурье непрерывных функций нескольких переменных.-Рукопись, депонир. в ВИНИТИ, № 2117−77 ДЕП. /Ред. яурн. «Вестник ЛГУ» -. Л., 1977/.

30. Жижиашвшги Л. В. О суммировании двойных рядов Фурье.~Си-бирск. матем. ж., т.8, Ш, 1967, с. 548−564.р

31. Rose heiitm Pi. Fouxi et seiies in L’dfl-TxanS.umex. mrih. $oc., m. /05, 1962, %-tjl.

32. Теляковский С.A. Условия интегрируемости тригонометрических рядов и приложение к изучению линейных методов суммирования рядов Фурье.-Изв. АН СССР, сер. матем., т.28, № 6, 1964, с. 1209−1236.

33. Голубов Б. И. 0 методе суммирования типа Абеля-Пуассона кратных рядов Зфрве.-Матем. заметки, вып.1, т.27, 1980, с. 4959.

34. Кивиннук А. А. Об одном методе приближения функций многих переменных.-Матем. заметки, вып 4, т.20, 1976, с.597−604.

35. Нахман А. Д. Теоремы типа Розенбшома-Макенхоупта для кратных рядов Фурье векторнозначных функций.~йзв. вузов. Математика, Ш, 1984, с. 25 32.