Распространение волн в трехмерном периодическом диэлектрическом волноводе

Диэлектрические волноводы с периодической структурой находят широкое применение при модуляции, демодуляции и фильтрации световых сигналов в различных устройствах интегральной оптики, включая фильтрующие устройства и решёточные элементы связи [1.12]. Волноводы этого типа продольно неоднородны. Поэтому теория направляемых волн для них, строго говоря, неприменима. Однако, когда пространственный период достаточно мал, волновой процесс в хорошем приближении предстаёт как обычная направляемая волна, длина которой намного превосходит длину пространственного периода [1.18]. Таким образом, свободный волновой процесс в периодической системе можно рассматривать как наложение бесконечной совокупности плоских неоднородных волн с разными постоянными распространения, которые характеризуют среду распространения волны. Их совокупность образует спектр волновода.

Для некоторого класса задач этот спектр изучался в работах [2.1] - [2.9]. Данное исследование является их продолжением.

Диссертация посвящена изучению граничной задачи для приведённого волнового уравнения.

Цу (дУи) + йи = 0 (1) в трёхмерном пространстве с 2л — периодическими по переменной г коэффициентами, имеющими разрыв на некоторой 2л — периодической по переменной г и ограниченной по переменным х и у на поверхности Г. Вне области, ограниченной поверхностью Г, коэффициенты, а и Ъ предполагаются постоянными.

В качестве граничных условий для этого уравнения берутся условия ди и] = 0 и а— дп 0, (2) где [у] — скачок функции V на поверхности Г, —— производная функции и по внешней дп нормали к поверхности Г.

Задачи такого типа имеют много физических применений. Ниже приведены некоторые из них.

Физическое применение полученных результатов.

1. Область Р, ограничивающую поверхность Г, можно интерпретировать как волокно 1лпериодического диэлектрического волновода с параметрами, описываемыми 1лпериодическими по переменной г функциями.

Распространение волн в этом волноводе описывается системой уравнений Максвелла: frot E = -icojuH,.

1 (3) rot H = icosE, где EYi. fi— соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества волновода, со — частота распространяемой волны. Функции е и ¡-л являются 2ж — периодическими по переменной z и равны постоянным е0 и ju0 вне замыкания области Р. Векторные функции Ей Н— электрическая и магнитная составляющие электромагнитного поля.

Система (3) рассматривается в областях РиШ3Р .

По аналогии со случаем однородной среды введём понятия векторного и скалярного потенциалов.

Векторная функция Н удовлетворяет уравнению div (////) = 0, вытекающему из первого уравнения системы (1). Следовательно, существует такая достаточно гладкая функция А, что Н = /и~] rot А.

Подставляя это равенство в первое уравнение системы (3), получаем, что rot (?' + icoA) = 0. Следовательно, Е = -icoAVq>, где (р— дифференцируемая скалярная функция.

Назовём, А векторным потенциалом электромагнитного поля, а (р— скалярным потенциалом электромагнитного поля.

Подставим полученные выражения для Е и Н во второе уравнение системы (3).

Из этого уравнения и равенства div (sE) = 0 получим следующие уравнения для скалярного и векторного потенциалов Аир: di (EV (p) + ia>div (?A) = 0, (4) rot (/T' rotA) = (o2sA-io)£V<р. (5).

Уравнения (4) и (5) содержат в себе обе неизвестные величины, А и (р. Чтобы этого избежать наложим на скалярный и векторный потенциалы условие div (еА) = С (р, (6) где С — некоторая функция, которая будет определена ниже. Такое условие не ограничивает общность решения системы уравнений Максвелла, так как векторный потенциал, А определён с точностью до произвольного слагаемого вида Уу/, где у/— произвольная достаточно гладкая функция.

При выполнении условия (6) уравнения (4) и (5) приводятся к виду: div{EW (p) + icL>Сер = 0, (7) rot (/Г1 rot А) = со2еА — io)?4(C~x div (еА)). (8).

Уравнение (8) является уравнением в частных производных второго порядка со старшими членами.

Г1 [V (div А)-АА] + ico?2C~'V (div А). При С = -ia>e2 /л они сводятся к выражению АА. Уравнение (7) при этом становится таким: div (? Vq>) + со2е2/л<�р = 0. Полученные уравнения для скалярного и векторного потенциалов в случае постоянных е и ju совпадают с классическими. Условия для скалярного и векторного потенциалов описаны, например, в работе [1.13].

Условие (4) в постоянной среде совпадает с традиционным.

При учёте инерционности процессов намагничивания магнитная проницаемость ¡-л среды становится комплекснозначной функцией, и рассматриваемый волновод становится волноводом с поглощением. В диссертации рассмотрен случай, когда чисто мнимая часть коэффициента а>2е2/л постоянна. Общий случай требует дальнейшего исследования.

2. Пусть, также как и раньше, область Р является волокном диэлектрического In — периодического волновода и параметрами, описываемыми 2лпериодическими по переменной z функциями.

Свободные колебания электромагнитных волн в этом волноводе описывается системой.

3).

Будем искать решение уравнений (3) в виде: е = е0 + уф (е),.

9) н = н0 + уф (н), где Е0 и Н0 — векторные функции, равные нулю на границе области Р и при z = 2лк, к еЖ и удовлетворяющие в областях Р и I?3 Р условиям: div (f?o) = 0, div (juH0) = 0. (10).

Такой способ решения предложен в работе [1.14].

Несложно убедиться, что пары функций Е0, УФ (Е) и Н0, УФ (Н) ортогональны в области Q = {(Ху, z) T е Р: 0 < z < 2яг| с весами е и /л:

J*?0VO (E)c/Q= JVE) div (??0)6fQ =0, n n j// я0 уф (н)<�ю = |ф (н) div (juH0)dQ. = 0, n n, а также в областях Qk, получающихся сдвигом области Q вдоль оси z на 2лк, к е Ж.

Более того, любая функция F, принадлежащая пространству L E (Q.) векторных функций, квадратично суммируемых с весом е, единственным образом представима в виде суммы F = Fx + F2, где функция F, принадлежит замыканию в пространстве U2 е (Q) множества к е Cq (Q): div (sV) = о}, a F2 — множеству v.

Это доказывается также, как аналогичный результат для случая ?• = 0 в работе [1.15]. При этом попутно доказывается, что если F е W (Q), то F2 е W (Q).

То же самое верно и для функций, заданных в областях П Q, где П = :0.

Таким образом, любое решение Е, Я системы уравнений (3) представимо в виде (9). Для решений Е и Я системы уравнений (1) выполняются равенства div (?r?) = 0, div (>tf) = 0.

Следовательно, согласно формуле (8), функции Ф (Е) и Ф (Н) должны являться решениями уравнений div (?-V.

Пусть теперь функции Ф (Е) и Ф (Н) являются классическими решениями уравнений (11). Построим по ним решение системы уравнений (3) вида (9).

Для того чтобы векторные функции £иЯв формуле (9) были решением системы уравнений (3), необходимо и достаточно, чтобы векторные функции Е0 и Н0 удовлетворяли условию: rot Е0 = -iu)/uH0 — ку//УФ (Н), ^ rot Н0 = icoeE0 + icosV Ф (Е).

Поделим первое уравнение системы (12) на функцию ¡-л и применим к обеим частям rot.1 Тогда, подставляя в правую часть выражения для rot Н0, полученное из второго уравнения системы (12), получим следующее выражение для векторной функции Е0: -т/л [iu)eE0 + icos УФ (Е) ]- ico/л УФ (rot rot Е0 М н) У.

1 1 —АЕ0+ — VdivE0+V И 1.

KMJ хrotЕ0 -со1 /леЕ^ =.

Это можно сделать, так как Е, Н Е W (Q) П W2 (П Q), и, следовательно, ф 6 W2 (Q) П W2 (П Q).

Верно и обратное: если векторная функция Е0 является решением уравнения (11), то векторные функции Е0 и Н0 = -(/¿-у//)-1 гог^ - УФ (Н) удовлетворяют системе уравнений (12),. оо .

Разрешимость уравнения (11) в пространстве У) (О) гл (П О) была изучена в работе [1.14]. Таким образом, по всякому решению уравнений (11) строится решение системы (3), причём составляющая (УФ (Е), УФ (Н))г в разложении (9) этого решения есть составляющая, переносящая энергию вдоль волновода. •.

3. Уравнения рассматриваемого вида можно использовать при моделировании упорядоченных полупроводниковых структур на поверхности твёрдого тела. Такие задачи возникают в современных технологиях получения наноструктур2. Более подробно эти задачи описаны в работах [1.16]-[1.17].

Характеристика работы по главам.

В первой главе исследуется разрешимость поставленной граничной задачи в классе функций вида Флоке, то есть представимых в виде и = е'^у, где комплексное число, а функция V 2л — периодична по переменной г.

Точки ?, для которых существует решение поставленной задачи, образуют спектр волновода, причём он делится на непрерывную и дискретную составляющие.

Дискретный спектр состоит из тех точек, для которых функция V квадратично суммируема на полосе П = г) т: 0 < г < 2л], а непрерывный спектр — это замыкание множества точек ?, для которых функция V ограничена, но не квадратично суммируема на полосе П.

Доказан следующий результат.

Теорема Спектр волновода является дискретным множеством точек, не сгущающихся на конечном расстоянии, а непрерывный спектр совпадает с множеством: + Ис: кеЖ, ц е | /л |< / а0 }и {у + ¿-к: к е Ъ, V е }.

Эти результаты похожи на результаты, полученные в работах [2.1], [2.2] и [2.9] для другого уравнения. Изложенные здесь результаты опубликованы в работе [2.10].

Во второй главе вводится волноводный оператор А, действующий в пространстве Ь] (П), непрерывный и дискретный спектры которого совпадает с непрерывным и дискретным спектрами волновода.

2 Наноструктуры это сверхпроводящие полупроводниковые структуры атомных размеров.

Оператор, А определяется дифференциальным выражением А, обладающим следующим свойством: если векторная функция V е Ь22 (П) является решением уравнения, А V = 0, то её первая компонента является решением уравнения (1).

Кроме того, во второй главе определяются собственные функции непрерывного спектра оператора, А как 1п — периодические по переменной 2 ограниченные решения уравнения (А-£ 1) У = 0, а также вводится естественное для оператора, А индефинитное скалярное произведение собственных функций непрерывного спектра в пространстве обобщённых функций.

Результаты этой главы похожи на результаты работы [2.7] и опубликованы в работе [2.10].

Третья глава диссертации посвящена проекторам на инвариантные для оператора, А подпространства пространства Ь (П), отвечающие конечным отрезкам непрерывного спектра волновода. Основной результат третьей главы сформулирован в теореме 3.3.1:

Теорема 3.3.1 Предположим, что открытый промежуток, А непрерывного спектра лежит на мнимой оси, и его замыкание, А не содержит особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора, А в инвариантных подпространствах Р&Ь22(П) и (I-Ра)Ь22(П) равен соответственно, А и сг (Л) А.

Пусть открытые промежутки А, и Д2 непрерывного спектра не лежат на мнимой оси, и Д2 = {—¿-г: ? е Д,}. И пусть замыкания промежутков А, и Д2 не содержат особых точек непрерывного спектра, описанных в замечании 2.3.1. Тогда спектр оператора, А на инвариантных подпространствах Р^ 1}2 (П), Р^ 1}2 (П) и (/ - Р^ — Р&)Ь (П) равен соответственно А, Д2 и сг (Л)(Д, иА2).

Этот результат опубликован в работе [2.12].

В четвёртой главе рассматривается случай волновода с поглощением, то есть исследуется уравнение (1) с коэффициентом Ь, имеющим вид суммы вещественнозначной неотрицательной функции и чисто мнимого слагаемого ¿-е, где ?— ненулевое вещественное число. Результаты предыдущих глав легко переносятся на этот случай.

Непрерывный спектр волновода здесь имеет вид и|^е€: 2Яе?(1т £-к) = -е, (Яе?)2-(1т?-к)2 > 0 кеЪ I а0.

3 Тогда векторная функция II = е — решение уравнения, А V = 0 вида Флоке.

В четвёртой главе дополнительно предполагается, что коэффициент, а в уравнении (1) непрерывная функция во всём пространстве 0&3. Это предположение носит технический характер и упрощает некоторые доказательства. В общем случае аналогичных результатов пока не получено.

Для дальнейшего исследования спектральных свойств волновода рассматривается оператор В, подобный оператору, А с неограниченным преобразованием подобия. Дело в том, что проекционные операторы Р±-, о которых далее идёт речь, для оператора, А неограниченны, даже в случае постоянных коэффициентов.

Точечный и непрерывный спектры операторов, А и В совпадают.

Для оператора 5 определяются ограниченные проекторы Р±на инвариантные подпространства оператора В, соответствующие частям спектра оператора В, лежащим соответственно слева и справа от мнимой оси. Сама мнимая ось не содержит точек спектра оператора В.

Кроме того, определяются ограниченные проекторы Р±(г) в пространстве 1?2 (Н&-2) как композиции операторов Р±-, заданных в пространстве (К2), и оператора сужения функции, заданной в пространстве К, на плоскость [К х {г}. Проекторы Р (г) следующим образом связаны с введённым индефинитным скалярным произведением:

Следствие 4.5.1 Сужение индефинитного скалярного произведения (,) на подпространство.

Р+(г)Ь (0&2) для всех г е [0,2я] является скалярным произведением в гильбертовом пространстве.

Точно так же и -(,) является скалярным произведением на подпространстве Р~ (г) (К2) для всех г б [0,2я].

В последнем параграфе четвёртой главы определяются разрешающие операторы в пространстве /^(П) для уравнения (1). Это означает, что первые компоненты их образов являются решениями уравнения (1) вида Флоке. Полнота этой системы решений следует из теоремы:

Теорема 4.5.2 Пусть и (г) — решение дифференциального уравнения В и {г) = 0, где В дифференциальное выражение, определяющее оператор В, на промежутке (0,2л-), непрерывное в пространстве Ь22 (¡-К2) на замкнутом промежутке [0,2л-]. Тогда функции 11± {г~) = Р±- {г) и (г) также являются решениями этого уравнения на промежутке (0,2л-).

Решение и (г) однозначно определяется парой элементов Р+(0) С/ (0) и Р (2тг)?/(2тг) по формуле и {г) = Х+ (г, 0) Р+ (0) 17(0) + Х~ (г, 2я) Р' (2 л) Щ2я).

Результаты четвёртой главы опубликованы в работах [2.13] - [2.14].

Перечисленные результаты получены в период с 1999 по 2003 год. Все они являются новыми. Работа носит теоретический характер. В работах, совместных с научным руководителем, научному руководителю принадлежит постановка задачи, а также общее руководство работой.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору В. И. Дергузову за поддержку и помощь в работе над диссертацией.

1. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа. 1977.

2. Коренев Б. Г.

Введение

в теорию бесселевых функций. М. 1971.

3. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщённые функции и действия над ними. М.: Физмат-гиз, 1959.

4. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М. Наука. 1964.

5. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М. Мир, 1973, 342 стр.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики, М. Мир. 1977.

7. Федорюк М. В. Метод перевала, М., 1977, 368 стр.

8. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М. 1971.

9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. Л. 1980. С. 264.

10. Лионе Ж. Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М. 1977. С. 371.

11. Хилле Э., Р. Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М. 1962. С. 431.

12. Интегральная оптика. Сборник под редакцией Т.Тамира. М. 1978.

13. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М. 1956.

14. Вайнштецн Л. А. Электромагнитные волны. М. 1957.

15. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М. 1961.

16. Дубровский Г. В., Бауман Д. А., Дубровский В. Г., Козачёк В. В., Мареев В. В., Марков Ю. Г. Детальная кинетика многослойной адсорбции. СПб. 1998.

17. Марков Ю. Г. Эвристические подходы в моделировании сложных систем. СПб. 2002.

18. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. М. 1973.2. Статьи.

19. Сайханов И. Б. Спектр диэлектрического волновода с периодической границей // Вестник Ленинградского университета, Сер. 1.1982. Вып. 19. С. 103−104.

20. Дергузов В. И., Сайханов И. Б. Точечный спектр волоконного волновода в окрестности особых точек спектрального параметра // Вестник Ленинградского университета, Сер. 1.1985. Вып. 8. С. 9−12.

21. Дергузов В. И. Инвариантные подпространства периодического световода // Вестник ЛГУ. 1985. № 8.

22. Дергузов В. И., Лобанова С. Р. Резольвента периодического световода на непрерывном спектре. // Проблемы мат. анализа. 1992. Вып. 13. С. 79−89.

23. Дергузов В. И. Решение некорректной задачи для одного класса линейных уравнений с периодическими коэффициентами // Проблемы мат. анализа. 1972. Вып. 3. С. 3−28.

24. Дергузов В. И. Операторные гамильтоновы и антиканонические уравнения с периодическими коэффициентами // Проблемы мат. анализа. 1973. Вып. 4. С. 9−36.

25. Дергузов В. И. Нормировка собственных функций непрерывного спектра трёхмерного периодического световода // Проблемы мат анализа. 1997. Вып. 16. С. 68−87.

26. Дергузов В. И. Ортогонализация собственных функций трёхмерного световода // Вестник С.-Петербургского университета. Сер. 1. 1998. Вып. 1. С. 6−9.

27. Дергузов В. И. Интегральные уравнения трёхмерного световода. // Вестник С.-Петербургского университета. Сер. 1. 1999. Вып. 4. С. 22−25.

28. Дергузов В. И., Денисова И. В. Характеристический спектр приведённого волнового уравнения с периодическими коэффициентами в трёхмерном пространстве. // Проблемы мат. анализа., 2000. Вып. 21. С. 110−137.

29. Дергузов В. И., Денисова И. В. Инвариантные подпространства трёхмерного периодического световода. // Проблемы мат. анализа., 2001. Вып 23. С. 3—13.

30. Дергузов В. И., Денисова И. В. Спектр периодического световода в трёхмерном пространстве. // Проблемы мат. анализа., 2002. Вып. 24. С. 103—131.

31. Дергузов В. И., Денисова И. В. Проекционные и разрешающие операторы трёхмерного периодического световода. // Проблемы мат. анализа., 2003. Вып. 25.

32. Денисова И. В. Разрешающие операторы трёхмерного периодического световода. // Проблемы мат. анализа., 2003. Вып. 25.