О квазимногообразиях Леви, порожденных нильпотентными группами

Покрытием группы (7 назовем всякую такую систему подгрупп этой группы, что теоретико-множественное объединение этих подгрупп совпадает с (7. Исследование влияния свойств покрытия на строение самой группы — одно из актуальных направлений теории групп. Этой области теории групп посвящена данная диссертация.

Покрытие называется расщеплением, если пересечение любых двух подгрупп из этого покрытия есть единичная группа. Изучение покрытий и расщеплений групп началось в работах П. Г. Конторовича [9]—[14]. Некоторый обзор результатов, полученных в данном направлении, в том числе и относящихся к конечным группам, можно найти в работе П. Г. Конторовича, А. С. Пекелис и А. И. Старостина [15].

Покрытия конечно-порожденных абелевых групп изучались А. Розенфилдом в работе [31]. Ю. Ш. Гуревич [7] указывает некоторые условия для того, чтобы группа обладала покрытием из собственных характеристических подгрупп. Например, для периодических абелевых групп необходимым и достаточным условием служит неограниченность порядков элементов.

Также наряду с покрытиями подгруппами можно рассматривать покрытия группы подмножествами с теми или иными дополнительными свойствами. Например, Б. Нейман [30] и П. Кон [21] исследовали покрытия групп попарно перестановочными конечными подмножествами. В работе Б. Неймана [29] изучаются покрытия групп конечным числом смежных классов. В этой работе доказано, что коммутант группы С? конечен, если С? обладает конечным покрытием подгруппами с конечными коммутантами.

В теории групп существует довольно много теорем, имеющих вид: если некоторое свойство, А имеет место для всех конечно-порожденных подгрупп какой-либо группы, то свойство, А имеет место и для всей группы. Так, например, группа С? имеет нормальную разрешимую (соответственно центральную) систему подгрупп, если такую систему имеет каждая конечно-порожденная подгруппа группы С?. В [18] А. И. Мальцев показывает, что такие предложения не ^ являются, в своем большинстве, — специфически алгебраическими и могут быть получены как непосредственные следствия одного общего предположения математической-логики.

Особый интерес представляет изучение свойств группы (7, которые следуют из свойств групп некоторого покрытия группы С. • '.

Пусть дано теоретико-групповое свойство 8. Будем говорить, что группа Сг обладает свойством Ь{8), порожденным свойством ?, если нормальное замыкание (х)с любого элемента х из С обладает свойством- 8. Свойство Ь{8) называется свойством Леви, порожденным 8. Изучение свойств Леви следует рассматривать как шаг в направлении исследования строения' групп, покрываемых системой нормальных подгрупп. ¦

Впервые свойство Леви было введено в работе Л. К. Каппе [26] под влиянием работы Ф. Леви [27], в которой исследовались группы с абелевыми нормальными замыканиями вида (#)с. Применительно к нильпотентным группам и их обобщениям это свойство достаточно подробно изучалось, например, в работах Л. К. Каппе и Р. Ф. Морса [24, 25, 26]. •.

От свойств Леви естественно перейти к классам Леви. Для произвольного класса М. групп обозначим через Ь (Л4) класс всех групп С?, в которых нормальное замыкание {х)с любого элемента х из С принадлежит М., Класс Ь (Л4) групп называется классом Леви, порожденным Л4.

В работе Р. Ф. Морса [28] доказано, что если Л4 — многообразие групп, то Ь (Л4) также многообразие групп. А. И. Будкиным в [2] установлено, что если М. — квазимногообразие групп, то Ь (Л4) — также квазимногообразие групп.

Известно, что произведение двух нормальных нильпотентных подгрупп произвольной группы является нильпотентной подгруппой (см., например: [8, гл. 6, § 1]). Следовательно, если квазимногообразие Л4 содержит лишь нильпотентные группы (т. е. нильпотентное), то квазимногообразие Ь (Л4) является локально нильпотентным (из [23, 32] следует, что Ь (Л4) может не быть ниль-потентным, а из [23] вытекает, что оно содержится в многообразии п-энгелевых групп для подходящего натурального числа ть). .

Как обычно, под д/С будем понимать квазимногообразие, порожденное классом групп 1С. Если класс К, = {С} содержит лишь одну группу (7, то вместо д/С будем писать просто дб?.

В работе [3] А. И. Будкиным, доказано, что если Л4 — нильпотентное квазимногообразие, Л4 — множество всех конечно-порожденных групп изЛ4, то выполняется равенство Ь (с[Л4) = дЬ (Л4). Там же установлено, что еслиЛ/&rdquo- — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп, Л/о — класс всех конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения, то аналогичное утверждение неверно, и справедливы строгие включения дЛ/о. С дЛ/о) и дЛ/ С Ь (дЛ/"), откуда, в частности, следуют неравенства Ь (дЛ/о) ф дЬ (ЛГ0) и Ь{дМ) Ф дЬ{Н).

В [3] также показано, что квазимногообразия Ь (дЛ/"), ?(дЛ/о) замкнуты относительно свободных произведений, каждое из этих квазимногообразий содержит не более одного максимального собственного подквазимногообразия и что если квазимногообразие Л4 замкнуто относительно свободных произведений, то таковым же является квазимногообразие Ь (Л4).

Обозначим через Мс многообразие нильпотентных групп ступени не выше с, через Еп (М) — свободную группу в квазимногообразии Л4 ранга п.

Из работы Ф. Леви [27] следует, что класс является многообразием.

2-энгелевых групп. В работе Л. К. Каппе и В. Каппе [23] доказано, что классЦЛ/г) совпадает с многообразием 3-энгелевых групп.

В [2] установлено, что если К, — произвольное множество нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядков 2 и 5, и в каждой группе из /С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, является абелевой подгруппой, то Ь (д/С) С Л/3. В действительности, в доказательстве этого результата отсутствие элементов порядка 5 нужно было только для установления того, что всякая 3-порожденная группа из Ь (д/С) нильпотентна класса.

4, поэтому в [6] данный результат был усилен и доказана аналогичная теорема для произвольного множества нильпотентных групп ступени 2 без элементов порядка 2.

Рассмотрим группы, имеющие следующие представления вЛ^:

Нр = гр (х, у || [х,-у]р = 1),.

Нр. = гр (х, у II [х, у]Р = хРа = г/Р* = 1), где 5 6 М, р — простое число.

Набор дНрз (исключая д^г1)) <7² (-Л/г) (р — простое число), представляет собой полный список почти абелевых квазимногообразий нильпотентных групп (т. е. неабелевых квазимногообразий нильпотентных групп, все собственные подквазимногообразия которых абелевы).

Данная работа посвящена описанию классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп.

Целями диссертационной работы являются:

1. Описание классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп.

2. Исследование классов Леви, порожденных квазимногообразиями нильпотентных групп ступени не выше 2, содержащих элементы порядка 2.

3. Доказательство существования классов Леви, порожденных квазимногообразиями нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8, содержащих нильпотентные группы ступени больше 3.

Методика исследования ориентирована на использование классических методов теории нильпотентных групп и теории определяющих соотношений.

Научная новизна работы. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.

На защиту выносятся следующие основные положения: '.

1. Найдены описания классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп (исключая Ь (дН<2)).

2. Пусть /С — произвольный класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п (п — фиксированное натуральное число, п > 2) с коммутантами экспоненты 2 и в каждой группе из /С элементы порядка 2 т (0 < т < п) содержатся в центре этой группы. Доказано, что класс Леви, порожденный квазимногообразием д/С совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п.

3. Найдена мощность множества квазимногообразий /С таких, что:

1) /С содержит нильпотентные ступени не выше 2 группы экспоненты 4,.

2) в каждой группе из К элементы порядка 2 содержатся в центре этой группы, '.

3) класс Ь (К.) совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 4.

Она оказалась континуальной.

4. Доказано существование класса К такого, что /С — класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8 с коммутантами экспоненты 2 и во всякой группе из К. централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс Ь{ц1С) содержит ниль-потентную группу ступени 3.

5. Установлено существование класса/С такого, что во всякой группе из/С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс 1/(д/С) содержит нильпотентную группу ступени 4.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации являются новыми, имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях классов Леви.

Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на ХЫУ международной научной студенческой конференции «Студент и научнотехнический прогресс» (Новосибирск, 2006) — Девятой региональной конференции по математике «МАК-2006&rsquo-' (Барнаул, 2006) — Седьмой международной конференции «Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры» (Эрлагол, 2007) — Десятой региональной конференции по математике «МАК-2007» (Барнаул, 2007) — Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007) — Двенадцатой региональной конференции по математике «МАК-2009» (Барнаул, 2009) — Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2009) — семинарах «Теория групп» и «Алгебра и логика» ИМ СО РАН (Новосибирск, 2009) — Международной конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2010). Кроме того, все результаты диссертации в разное время докладывались на семинаре «Теория групп» Алтайского государственного университета.

Публикации. Все основные результаты работы были опубликованы в [33] -[42]. Три работы опубликованы в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией [40] - [42].

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 72 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка литературы.

Заключение

.

С помощью классических методов теории нильпотентных групп и теории определяющих соотношений в диссертации получены следующие результаты:

1. Найдены описания классов Леви, порожденных почти абелевыми квазимногообразиями нильпотентных групп (исключая.

2. Пусть /С — произвольный класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п (п — фиксированное натуральное число, п > 2) с коммутантами экспоненты 2 и в каждой группе из К, элементы порядка 2 т (0 < т < п) содержатся в центре этой группы. Доказано, что класс Леви, порожденный квазимногообразием д/С совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 2п.

3. Найдена мощность множества квазимногообразий К таких, что:

1) /С содержит нильпотентные ступени не выше 2 группы экспоненты 4,.

2) в каждой группе из К, элементы порядка 2 содержатся в центре этой группы,.

3) класс Ь{К) совпадает с многообразием нильпотентных ступени не выше.

2 групп экспоненты 4.

Она оказалась континуальной.

4. Доказано существование класса К, такого, что /С — класс нильпотентных ступени не выше 2 групп экспоненты 8 с коммутантами экспоненты 2 и во всякой группе из /С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс 1/(д/С) содержит ниль-потентную группу ступени 3.

5. Установлено существование класса К, такого, что во всякой группе из/С централизатор любого элемента, не принадлежащего центру этой группы, — абелева подгруппа, но класс 1/(д/С) содержит нильпотентную группу ступени 4.

В заключение автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору А. И. Будкину за постановку задач и постоянное внимание ко всем этапам данной работы.