Исследование асимптотической устойчивости состояния равновесия для гидродинамических моделей переноса зарядов в полупроводниках

Математическое моделирование физических явлений в полупроводниковых устройствах имеет огромное значение для технических приложений и в последнее время превратилось в быстро развивающуюся область прикладной математики. Современный уровень развития микроэлектронных технологий позволяет создавать полупроводниковые приборы (компоненты интегральных схем) столь малых размеров, анализ и проектирование которых с помощью упрощенных аналитических моделей становится затруднительным. Это связано с тем, что традиционные упрощающие предположения, положенные в основу таких моделей, могут существенно нарушаться в современных компонентах интегральных схем.

Полупроводниковые устройства описываются посредством уравнения переноса Больцмана. А именно, электронная функция распределения / = /(?, х, у) удовлетворяет уравнению хеп (1) т ох г т* сл-г.

Здесь постоянная д — заряд электрона, т* - эффективная масса электрона, Е — электрическое поле, — оператор Больцмана, который учитывает взаимодействие электронов с решеткой. Уравнение (1) написано для случая, когда имеются носители заряда только одного типа. При наличии нескольких типов носителей (электронов и дырок, «легких» и «тяжелых» дырок и т. п.) надо ввести свою функцию распределения для каждого типа. Соответственно, будем иметь столько кинетических уравнений вида (1), сколько есть таких типов. При этом в правой части (1) появится сумма по всем типам частиц, на которых рассматриваемые носители заряда могут рассеиваться. Таким образом, если существенно взаимное рассеяние или превращение частиц разных типов, то мы приходим к системе связанных кинетических уравнений.

Для решения уравнения типа (1) предлагается много различных методов, из которых самый распространенный — метод Монте-Карло. Однако прямое численное интегрирование полного уравнения переноса Больцмана для носителей заряда в полупроводниках требует тяжелых и довольно неоправданных вычислительных затрат.

Приемлемая точность может быть достигнута при решении уравнений переноса, полученных для моментов уравнения Больцмана, таких как n (t, x) =ff (t, x, v) dv, nu (t, x) = / vf (t, x, v) dv} ne (t, x) = f у/(i, ж, г-) dv — ny и так далее. Здесь п — концентрация, и — средняя скорость, е — внутренняя энергия носителей.

Простейший набор уравнений моментов — это хорошо известная дрейф-диффузионная модель. Классическая дрейф-диффузионная модель физики полупроводников была предложена в 1949;50 годах Schock-ley [1] и van Roosbroeck’oM [2] и содержала уравнение Пуассона для потенциала электрического поля (p (x, t).

Д (p = -±(p-n + Nd-Na) (2) о и уравнения неразрывности для носителей заряда (n (x, t), p (x, t) — концентрации электронов и дырок) fVЛ = Д (р, п),.

IV-Jp = R (p, n), 3 где векторы плотности электронного и дырочного токов:

Jn = DnVn — finnV (p, = DpVp + ??ppVV.

Здесь — Dn, Dp коэффициенты диффузии, a /in, [iv — подвижности электронов и дырокq — величина заряда электрона, ео — относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Предполагается, что структура полупроводника легирована донорной и акцепторной примесями с концентрациями Nd (x) и Na (x). А также в полупроводнике происходит рекомбинация частиц со скоростью R (p, n).

Надо сказать, что дрейф-диффузионная модель используется в основной массе моделирующих программ для электронных устройств и была достаточно полно изучена. Математические аспекты (существование, единственность, гладкость, асимптотическое поведение решения) дрейф-диффузионной модели уап КооэЬгоеск для полупроводников хорошо исследованы многими авторами. Отметим в этой связи работы [3, 4, 5].

М. 8. Моек в рамках модели уап ПоовЬгоеск (2)-(3) (считая Вп = = ¡-1п — ¡-лр = 1) исследовал задачу Неймана. Для этой задачи при определенных ограничениях на область определения и начальные данные, доказано (см. [6]) существование единственного решения, гладким образом зависящего от начальных данных. В реальных физических задачах встречаются более интересные граничные условия, например, типично задание условия Неймана лишь на части границы и условия Дирихле на оставшейся. Так, например, в работе [7] проведен анализ соответствующей стационарной задачи.

Некоторыми авторами (см., скажем, [8, 9, 10]) рассматривается упрощенная одномерная стационарная дрейф-диффузионная модель (при Д> = Пр = цп = цр = 1): еср" = п — р — N, п' = гкр' + Ъ, (4) р> = -р (р' где.

Особо надо отметить работы, где для построения решения используется разработанный А. Б. Васильевой метод пограничных функций (см., например, [11] и [12]). Рассматривается постановка и алгоритм построения асимптотики решения одномерных начально-краевых задач для системы типа (4) — системы дифференциальных уравнений с малым параметром (отношение дебаевского радиуса к характерному размеру полупроводника) при старшей производной, описывающих процесс прохождения тока через р-п переход. В работах А. Б. Васильевой, В. Г. Стельмаха и М. П. Белянина изучаются как стационарный (см., к примеру, [13]), так и нестационарный ([14]) процессы для симметричного р-п перехода. Для стационарных моделей формулируются теоремы о существовании решения краевых задач и близости к этому решению построенных асимптотических разложений. Приводятся результаты численного расчета решения задачи для нулевого члена асимптотики.

Однако, возрастающая миниатюризация современных электронных устройств требует все более точного моделирования процесса переноса энергии в полупроводниках, что имеет первостепенную важность для описания таких феноменов как горячие электроны, ударная ионизация, генерация тепла и тому подобное. Поэтому, для описания субмикронных приборов, сначала предлагались различные изменения в привычном дрейф-диффузионном соотношении. Так, например, A. Friedman и W. Liu рассматривают в своей статье [15] одномерную по пространству «усиленную» дрейф-диффузионную модель для полупроводника с электронной проводимостью. И все же, даже измененные дрейф-диффузионные уравнения, не включают энергию носителей как динамическую переменную. Следовательно, возникает необходимость расширения общепринятой модели, принимая во внимание энергию носителей. Эта цель достигается в моделях переноса носителей заряда в полупроводниковых приборах, обычно называемых гидродинамическими моделями.

Стандартная гидродинамическая модель сформулирована Blotek-jaer'oM (см. [16]). Он рассматривал первые три момента уравнения Больцмана.

Гидродинамическая модель задается тремя нелинейными уравнениями в частных производных, описывающими законы сохранения для числа частиц, импульса и энергии носителей зарядов, и уравнением Пуассона для электрического потенциала. Одномерный вариант этой модели, в предположении одного типа носителей (электронов), имеет вид (см. [16, 17]): Pt + (ри)х = О, pt + (ри + рТ) х = ерФх — f,.

Р (5).

Wt + (uW + риТ) х — {кТх)х = ериФх — ?(3р (Т — Т"") + три2), Фхх = е (р-С (х)), Здесь p (x, t), и (х, ?), Т (х, t) и Ф (х, t) — электронная плотность, скорость, температура и электростатический потенциал соответственнор и W — плотность импульса и плотность энергии: р = три: W = рТ + rnpu2, где е и m — электронный заряд и эффективная электронная массатермальная кондуктивность к = к (р) > 0- Ттемпература среды, окружающей приборtpjw = tPjW (p, u, T) — времена релаксацииобласть прибора — интервал х Е (0,1) — профиль легирования С (х) — начальная ионная плотность.

Полный математический анализ стандартной гидродинамической модели (5) пока не был представлен. Рядом авторов (см., например, [18,19, 20] исследовалась упрощенная модель в которой уравнение энергии заменено на соотношение между давлением и плотностью: р = р (р), причем функция р2р'(р) — строго монотонно возрастает. Обычно используется гипотеза (предположение, часто встречающееся в газовой динамике изэнтропических и изотермальных течений), что р (р) = кр1, где 7 > 1 и к > 0. Некоторые численные аспекты стационарного случая модели (5) обсуждаются, например, в работах Gardner с соавторами. Так, в работе [21] для стационарного дозвукового течения электронов в рамках модели (5) исследуется существование решения и сходимость метода Ньютона. А [17] посвящена моделированию электронных ударных волн в стационарном случае для субмикронных полупроводниковых устройств. В статье [22] изучается полная одномерная гидродинамическая модель (5) с малой вязкостью. Для доказательства глобального существования решения, рассматривается эквивалентное модели нестандартное интегро-дифференциальное уравнение.

В последние годы появилось много работ, в которых предлагаются самые различные варианты гидродинамических моделей. Так 1995 году итальянскими учеными Anile и Muscato [23] была предложена улучшенная гидродинамическая модель переноса заряда в полупроводниках. Авторы отказываются от предположения идеальности среды (когда тензор напряжений считают шаровым) и от, обычно применяемого для замыкания гидродинамических моделей, закона Фурье для потока тепла:

Q = -kVT.

На основе четвертого момента уравнения Больцмана получены дополнительные уравнения для потока тепла и для вязкого напряжения.

В одномерном варианте и в безразмерной форме (процесс обезраз-меривания подробно описан в § 1 первой главы) представленная модель в недивергентной записи имеет вид пяти уравнений:

RT + uRs + Rus = О, ит + uusI- + + = (ps y, у, 4M+IS?/ i Ад ml s.

T + U2js + 3 Us + 15^ - 3тр Ta ' u9s + I (M + - f Rs + (o -1) ?s + f us = + X Г) + Л Г) + iW 5 1 A) A.

T.

Здесь R, и, Е, 0, ср — соответственно, плотность, скорость, температура, напряжение, поток тепла и электрический потенциале2 = jj, 0 — некоторая положительная постоянная (см. § 1 первой главы) — Тр — tp (E)i Tw — Tw (E), та = Ta (E)i rq = тд (Е) — времена релаксацииE = у + 11?- плотность легирования p = p (s) — некоторая заданная функция на отрезке [0,1].

Исследование новой модели (6)-(7) представляет большой интерес. Естественно, какая бы математическая модель ни была предложена, она должна быть адекватна описываемому физическому явлению. С этой точки зрения очень важной проблемой при исследовании гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках является проблема устойчивости состояния термодинамического равновесия. Дело в том, что выбранная модель должна правильно описывать переходный процесс при снятии напряжения смещения. Общеизвестно, что при отсутствии напряжения смещения в реальных полупроводниковых приборах должен отсутствовать перенос носителей зарядов (то есть электрический ток). Другими словами, требуется, чтобы состояние термодинамического равновесия было бы асимптотически устойчивым по Ляпунову) для гидродинамической модели переноса заряда. Надо отметить, что пока эта проблема исследовалась крайне редко (в этой связи можно отметить работы [24, 22]). В статье [24] в предположении, что локальная плотность стационарных ионизированных атомов включения постоянна и начальные данные достаточно близки к стационарному решению, доказано, что решение задачи Неймана для дрейф-диффузионной модели (2)-(3), соответствующее некоторым гладким положительным начальным данным, экспоненциально убывает в ½ при? —>• оо к стационарному решению. В упоминавшейся уже выше работе [22] для сингулярного возмущения стандартной одномерной гидродинамической модели (5) исследуется, кроме прочего, асимптотическое поведение гладкого решения смешанной задачи. Доказано, что это решение стремится при М оо к стационарному решению.

Собственно, проблеме исследования устойчивости состояния равновесия и посвящена настоящая диссертация. Надо отметить, что в диссертации рассматривается, наряду с моделью АпПе-Миэса^ (6)-(7), также более простой вариант этой модели — так называемая газодинамическая модель переноса заряда в полупроводниках. Которая, кстати, совпадает с классической моделью (5) в случае отсутствия переноса тепла = 0. Своим названием газодинамическая модель обязана тому, что это фактически система уравнений Эйлера для политропного газа с показателем 7 — | П°Д действием электрического поля. Эта модель в одномерном случае имеет вид:

1. W. Schockley. Theory ofp — n junctions in semiconductors andp — n junctions transistors. Bell System Techn. J., v. 28, 1949, pp. 435−489.

2. W. van Roosbroek. Theory of the flow of electrons and holes in germanium and other semiconductors. Bell System Techn. J., v. 29, 1950, pp. 560−608.

3. H. Beirao da Veiga. On the semiconductor drift-diffusion equations. Diff. Integral Equat., v. 9, N 4, 1996, pp. 729−744.

4. H. Gajewski, K. Groger. Semisonductor equations for variable mobilities based on Boltzmann statistics for Fermi-Dirac statistics. Math. Nachr., v. 140, 1989, pp. 7−36.

5. Jin Liang. On a nonlinear integrodifferential driftdiffusion semiconductor model. SIAM J. Math. Anal., v. 25, N 5, 1994, pp. 1375−1392.

6. M. S. Mock. An initial value problem from semiconductor device theory. SIAM J. Math. Anal., v. 5, N 4, 1974, pp. 597−612.

7. M. S. Mock. On equations describing steady-state carrier distributions in semiconductor device. Commun. Pure Appl. Math., v. 25, N 6, 1972, pp. 781−792.

8. P. A. Markowich. A nonlinear eigenvalue problem modelling the avalanche effect in semiconductor diodes. SIAM J. Math. Anal., v. 16, N 6, 1985, pp. 1268−1283.

9. M. S. Mock. Analysis of mathematical models of semiconductor devices. Boole Press, Dublin, 1983.

10. F. Alabau. New uniqueness theorems for the one-dimensional driftdiffusion semiconductor device equations. SIAM J. Math. Anal., v. 26, N 3, 1995, pp. 715−737.

11. А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. шк., 1990, 208 с.

12. А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973, 272 с.

13. А. Б. Васильева, В. Г. Стельмах. Сингулярно-возмущенные системы теории полупроводниковых приборов. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., т. 17, N 2, 1977, с. 339−348.

14. М. П. Белянин. О численно-асимптотическом решении одной нестационарной сингулярно возмущенной задачи из теории полупроводниковых приборов. Дифференц. уравнения, т. 21, N 8, 1985, с. 1436−1440.

15. A. Friedman, W. Liu. An augment drift-diffusion model in a semiconductor device. J. Math. Anal. Appl., v. 168, N 2, 1992, pp. 401−412.

16. K. Blotekjaer. Transport equations for electrons in two-valley semiconductors. IEEE Trans. Electron Devices, v. 17, 1970, pp. 3847.

17. C. L. Gardner. Numerical simulation of a steady-state electron shock wave in a submicrometer semiconductor device. IEEE Trans. Electron Devices, 1991, v. 38, N 2, pp. 392−398.

18. P. Degond, P. A. Markowich. On a one-dimentional steady-state hydrodynamic model for semiconductor. Appl. Math. Lett., v. 3, N 3, 1990, pp. 25−29.

19. I. M. Gamba. Stationary transonic solutioons of a one-dimensional hydrodynamic model for semiconductors. Commun. PDE, v. 17, N 34, 1992, pp. 553−577.

20. B. Zhang. On a local existence theorem for a simplified one-dimensional hydrodinamic model for semiconductor devices. SIAM J. Math. Anal., v. 25, N 3, 1994, pp. 941−947.

21. C. L. Gardner, J. W. Jerome, D. J. Rose. Numerical methods for hydrodynamic device model: subsonic flow. IEEE Trans. Computer-aided Design, 1989, v. 8, N 5, pp. 501−507.

22. В. Zhang. Global existence and asymptotic stability to the full ID hydrodynamic model for semiconductor device. Indiana Univ. Math. J., v. 44, N 3, 1995, pp. 971−1005.

23. A. M. Anile, O. Muscato. Improved hydrodynamical model for carrier transport in semiconductors. Physical Rev. В., 1995, v. 51, N 23, pp. 16 728−16 740.

24. M. S. Mock. Asymptotic behavior of solutions of transport equations for semiconductor devices. J. Math. Anal. Appl., v. 49, N 1, 1975, pp. 215−225.

25. A. M. Блохин, А. С. Бушманова. Исследование устойчивости состояния равновесия для гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках. Тезисы докладов сиб. школы-семинара «Мат. проблемы мсс», Новосибирск, 1997, стр. 31.

26. А. С. Бушманова. Гидродинамические модели переноса заряда в полупроводниках и асимптотическая устойчивость их состояний равновесия. Материалы XXXVI МНСК, Новосибирск, 1998, стр. 22.

27. А. М. Блохин, А. С. Бушманова. Исследование устойчивости состояния равновесия для газодинамической модели переноса заряда в полупроводниках. Сиб. журнал индустр. математики, 1998, Т. 1, N 1, стр. 41−56.

28. А. М. Блохин, А. С. Бушманова, V. Romano. About stability of the equilibrium state for a hydrodynamical model of charge transport in semiconductors. Выч. Технологии, 1999, Т. 4, N 3, стр. 16−35.

29. А. М. Блохин, А. С. Бушманова. Асимптотическая устойчивость состояния равновесия для газодинамической модели переноса заряда в полупроводниках. Успехи мат. наук, 1998, Т. 53, вып. 4(322), стр. 135.

30. А. М. Блохин, А. С. Бушманова, Е. В. Мищенко. О нахождении решений одной нелинейной краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения. Выч. Технологии, 1999, Т. 4, N б, стр. 27−57 .

31. А. М. Блохин, А. А. Иорданиди, Д. А. Крымских. Численное исследование одной гидродинамической модели переноса заряда в полупроводниках. Новосибирск, 1996. 54 с. (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математикиN 26).

32. А. М. Блохин, А. А. Иорданиди, И. 3. Меражов. Численное исследование одной газодинамической модели переноса заряда в полупроводниках. Новосибирск, 1996. 51 с. (Препринт/ РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т математикиN 33).

33. А. М. Блохин, Д. А. Крымских. Численное исследование одной гидродинамической модели переноса носителей заряда в полупроводниках. Математическое моделирование, 1997, т. 9, N 3, стр. 40−50.

34. А. М. Anile, С. Maccora, R. М. Pidatella. Simulation of n+ — n — n+ devices by a hydrodynamic model: subsonic and supersonic flows. COMPEL, 1995, v. 14, N 1, pp. 1−18.

35. А. А. Бойчук. Конструктивные методы анализа краевых задач. Киев.: «Наукова думка», 1990.

36. А. С. Бушманова. Газодинамическая модель переноса заряда в полупроводниках. Материалы XXXIV МНСК, Новосибирск, 1996, стр. 12.

37. А. М. Блохин, А. С. Бушманова. Об одном численном методе на-дождения стационарных решений гидродинамической модели переноса зарядов в полупроводниках. Выч. Технологии, 1998, Т. 3, N 3, стр. 3−14.

38. А. М. Блохин. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новоссибирск: Наука, 1986, 239 с.

39. С. Мизохата. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977, 504 с.

40. С. А. Ломов.

Введение

в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, 1981, 400 с.