Разрешимость некоторых классов вырождающихся дифференциальных уравнений и их спектральные характеристики

Актуальность темы

Основы теории разрешимости для вырождающихся дифференциальных уравнений были заложены в фундаментальных работах М. В. Келдыша [37], Ф. Трикоми [75], С. Г. Михлина [58], А. Б. Бицадзе [7], О. А. Олейник, Т. В. Вентцель [65]. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах А. М. Ильина,.

A.С.Калашникова, О. А. Олейник [32] М. И. Вишика, В. В. Грушина [9],.

B.П.Глушко [12]—[19], Дж. Дж. Кона и Ниренберга [41], [42]. Подробная библиография работ указанного цикла имеется в обзорах О. А. Олейник [64], Е. В. Радкевич [66], В. П. Глушко [19], в монографиях М. М. Смирнова [70], С. А. Терсенова [72].

При изучении вырождающихся уравнений потребовалось ввести специальные классы пространств функций с весовыми производными. Различные свойства весовых пространств функций, теоремы вложения и др. устанавливались в работах Л. Д. Кудрявцева [44], Л.Н.Слободецкого[69],.

C.B. Успенского [76], И. А. Киприянова [39], H.A. Киприянова и Б. М. Богачёва [40], А. Куфнера [45], [46], A.C. Фохта [77]. Весовые пространства типа Соболева-Слободецкого при р = 2 рассматривались В. П. Глушко и С. Я. Львиным [24], В. П. Глушко и М. И. Богатовым [22], В. П. Глушко и М. С. Бичегкуевым [5], [6]. Случай произвольного р> изучался в работах П. И. Лизоркина, М. Отелбаева [49], В. П. Глушко [20].

Интерес к изучению спектральных свойств вырождающихся дифференциальных операторов в настоящее время высок. Однако они мало изучены, особенно в несамосопряжённом случае. Основным препятствием здесь является то обстоятельство, что резольвента соответствующей вырождающейся задачи, даже в тех случаях, когда она существует, не является, вообще говоря, вполне непрерывным оператором. Вместе с тем, в некоторых ситуациях возможно гарантировать полную непрерывность резольвенты в стандартных пространствах Lp, C и других.

Один из таких случаев был изучен в работе В. П. Глушко и Хоанг Хиен Шиня [29].

Фундаментальную роль в этом направлении играет теория несамосопряжённых дифференциальных операторов с дискретным спектром, созданная академиком М. В. Келдышем [38]. Им впервые изучены признаки полноты системы корневых векторов несамосопряжённого оператора в абстрактном гильбертовом пространстве. Работа Келдыша и последовавшая за ней работа В. Б. Лидского [48] послужили отправным моментом для многих исследований по спектральной теории и для широкого класса несамосопряжённых операторов с дискретным спектром (в частности, для дифференциальных операторов, как обыкновенных, так и в частных производных).

Для общей эллиптической задачи С. Агмоном [1] был получен ряд теорем о полноте системы корневых функций в некоторых функциональных пространствах, а также установлены оценки числа собственных значений и ядер интегральных операторов, порождённых рассматриваемой эллиптической задачей. Среди работ, в которых изучались спектральные свойства вырождающихся эллиптических операторов, укажем работы С. Г. Михлина [59], А. И. Ачильдиева [4], Г. В. Розенблюма [68], И. Л. Вулиса, М. З. Соломяка [11] и других.

Настоящая диссертационная работа посвящена доказательству коэрцитивных априорных оценок и теорем разрешимости общих граничных задач для вырождающихся дифференциальных уравнений и представляет собой развитие того направления, которое было начато в работах В. П. Глушко [12]-[24], [29].

Работа состоит из двух частей. В первой исследуется разрешимость начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения, устанавливается коэрцитивная оценка решения граничной задачи для исследуемого типа операторов, основанная на обобщении теорем Марцинкевича [62] и Михлина [60] о мультипликаторах.

Во второй части рассматривается разрешимость эллиптической задачи в полубесконечном цилиндре со слабым вырождением на «дне» цилиндра (случай сильного вырождения рассмотрен в работе В. П. Глушко.

18]), сингулярностью на бесконечности и однородными условиями.

Дирихле на боковой границе цилиндра. На этой основе исследуются спектральные свойства задачи.

Цель данной диссертационной работы: доказательство разрешимости и оценка решения начально-краевой задачи для параболического уравнения с вырождением по пространственной переменной;

2)доказательство разрешимости (или нётеровости) эллиптической задачи в полубесконечном цилиндреизучение спектральных свойств рассматриваемого операторадоказательство полноты системы собственных и присоединённых функций исследуемой задачи в пространствах типа Ьр с весом.

Методика исследования. В работе при исследовании разрешимости начально-краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения используются теоремы Михлина [60] и Марцинкевича [62] о мультипликаторах, применённый В. П. Глушко в работе [18] метод «отражения», метод Фурье, преобразование Фурье.

При исследовании эллиптической граничной задачи с вырождением в полубесконечном цилиндре используются: метод сведения дифференциального уравнения к интегральному уравнению Вольтерраметод «локализации», разработанный Агмоном, Дуглисом, Ниренбергом [2]- метод продолжения по параметру, использованный в работе.

B.П.Глушко и Л. Я. Глушанковой [23]. Для выяснения спектральных свойств рассматриваемых эллиптических задач применяется методика.

C. Агмона [1].

Научная новизна. Все полученные в диссертации результаты являются новыми. Наиболее важные из них:

1) установлена коэрцитивная оценка и доказана разрешимость в пространствах Ьр (< /? < оо) с весом начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка с вырождением по пространственной переменной;

2) исследована разрешимость эллиптической краевой задачи с вырождением в полубесконечном цилиндре /)х (0,оо) в том случае, когда переменная х изменяется в ограниченной области В с Е" ~1, а переменная / е (о, да), причём в уравнение второго порядка входят смешанные производные второго порядка по х и г.

3) рассмотрены различные варианты (по параметру а) вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка в Е" '1 х (о, оо) и найдены условия существования гладких по переменной х е (о, оо) решений этих уравнений;

4) применён новый метод построения решения в области, представляющей прямое произведение в области, позволяющий включать в уравнение старшие смешанные производные по переменным, входящим в различные компоненты прямого произведения;

5) изучены спектральные свойства несамосопряженного оператора, порожденного эллиптической задачей с вырождением bDx (o, со) при <7 = 0 и, в частности, доказано, что а) спектр оператора дискретенб) ядро оператора конечномернов) любой луч arg Л = в при в^ж является направлением наименьшего роста резольвенты оператораг) направление arg Л, = л является направлением накопления бесконечного числа собственных значений операторад) множество обобщенных собственных функций оператора являются линейно плотным в пространстве Ll a (о, со) — е) рассматриваемая задача разрешима при конечном числе условий на правую часть уравнения f (x, t) е L2 (D х (о, od)) .

Практическая и теоретическая значимость. Основные результаты работы носят теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение в исследовании вырождающихся дифференциальных уравнений.

Диссертация прошла апробацию на ряде конференций и семинаров. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Воронежской конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (1999г.), на Воронежской математической школе «Понтрягинские чтенияX» (1999г.), «Понтрягинские чтенияXII «(2001г.), на IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (2000г.), на Втором Воронежском зимнем симпозиуме «Математическое моделирование в естественных и гуманитарных науках» (2000г.), на Воронежской Международной конференции «Нелинейный анализ и функциональные дифференциальные уравнения» (2000г.), на научной сессии ВГУ в НИИ математики (2001г.), на семинарах профессора В. П. Глушко в 1999;2001гг. Работа Малютиной О. П. была удостоена П места среди молодых учёных НИИ математики по итогам научной сессии ВГУ (2001г.).

Основные результаты полностью опубликованы в работах [25]-[28],[50]-[57].

Работы [25]—[28] написаны совместно с научным руководителем профессором Глушко В. П.. Постановка задач в [25]—[28] принадлежит научному руководителю, а их решение — автору диссертации.

Диссертация изложена на 95 страницах, состоит из введения, двух глав, разбитых соответственно на четыре и шесть пунктов, списка литературы из 79 наименований. Нумерация формул и утверждений в пунктах независимая — первая цифра показывает номер пункта, а число после точки — порядковый номер формулы или утверждения в данном пункте. Используемая во введении нумерация формул и утверждений автономна от текста диссертации. I.

1. Agmon S. On the eigenfimctions and the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Communication on pure and applied mathematics. -1962, — Vol.XV. -P. 119−147.

2. Агмон С., Дуглис А., Ниренберг JI. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. -М.: Иностр. лит., 1962. -205с.

3. Агранович М. С., Вишик М. И. Эллиптические краевые задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. -Т. 19, вып.З. -С.43−161.

4. Ачильдиев А. И. О собственных функциях краевой задачи для эллиптического уравнения, вырождающегося на границе плоской области//Сиб. матем. журн. 1971.-Т.ХП, вып. I.-C.78−81.

5. Бичегкуев М. С., Глушко В. П. О свойствах пространств Соболева и Бесова с весом / Воронеж.гос. ун-т.- Воронеж, 1985. -40 с. Деп. в ВИНИТИ 25.06.85, № 5542−85.

6. Бичегкуев М. С. Обобщённые функции на полуоси и асвёртка / Воронеж.гос. ун-тВоронеж, 1985. -27 с. Деп. в ВИНИТИ 25.06.85, № 5543−85.

7. Бицадзе A.B. Уравнения смешанного типа. -М.: Изд-во АН СССР, 1959. -164 с.

8. Вишик М. И., Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области // Матем. сб. -1954.-№ 35(77). -С.513−568.

9. Глушко В. П. Коэрцитивность в jC^ общих граничных задач для вырождающегося эллиптического уравнения второго порядка. // Функциональный анализ и его приложения. 1968. — Т.2, вып.З. -С.87−88.

10. Глушко В. П. Об одномерном аналоге вырождающегося на границе эллиптического уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. -1967. -Т.174, № 5. -С.1014−1017.

11. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения I // Диф. уравнения. -1968. T. IV, № 9. — С. 1584−1597.

12. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения II // Диф. уравнения. -1968. -Т. IV, № 11. С. 1956;1966.

13. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения III // Диф. уравнения. -1969. -Т. V, № 3. С.443−455.

14. Глушко В. П. Вырождающиеся линейные дифференциальные уравнения IV // Диф.уравнения. -1968. -Т. V, № 4. С. 1599−1611.

15. Глушко В. П. Оценки в и разрешимость общих граничных задач для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Тр. / Моск. матем. о-ва. -1970. Т. 23. -С. 113−178.

16. Глушко В. П. О гладкости решений вырождающихся дифференциальных уравнений в банаховом пространстве // Докл. АН СССР, — 1971. -Т.198, № 1. -С.563−564.

17. Глушко В. П. Пространство функций с дробными весовыми производными и граничные задачи переменного порядка // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск, 1981. -С. 46−53.

18. Глушко В. П. Весовые функциональные пространства и некоторые их свойства // Math. Nachr. -1987. -Т.132. С.253−280.

19. Глушко В. П., Богатов М. И. Пространства типа С. Л. Соболева дробного порядка и их свойства / Воронеж.гос. ун-т. Воронеж, 1979. — 38 с. — Деп. в ВИНИТИ 10.10.79, № 3239−79.

20. Глушко В. П., Глушанкова Л. Я. Об одном псевдодифференциальном уравнении, порождённом граничной задачей переменного порядка / Воронеж.гос. ун-т Воронеж, 1980. -67 с. — Деп. в ВИНИТИ 4.0480, № 4684−80.

21. Глушко В. П., Львин С. Я. О некоторых свойствах одного класса весовых пространств С. Л. Соболева // Дифференциальные и интегральные уравнения. Нальчик, 1977. — Вып.1. — С.52−57.

22. Глушко В. П., Малютина О. П. Об одной начально-краевой задаче в Lp для вырождающегося параболического уравнения вполупространстве // Сб. тр. матем. фак. Воронеж, гос. ун-та. -1996,-№ 1. -С.29−33.

23. Глушко В. П., Малютина О. П. Эллиптическая задача с вырождением и сингулярностью на бесконечности // Тезисы докладов IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике. Новосибирск, июнь 2000. — Новосибирск, 2000.-С.82.

24. Глушко В. П., Малютина О. П. О разрешимости одной эллиптической задачи с вырождением в полубесконечном цилиндре // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. физика, математика.-2001.-Вып 2.-С.86−94.

25. Глушко В. П., Хоанг Хиен Шинь О полноте собственных и присоединённых функций вырождающегося дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. -1973. -Т.213, № 6. -С.753−754.

26. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. -М.: Иностр. лит., 1962 .-Т.1. 895 с.

27. Ильин A.M., Вырождающиеся эллиптические и параболические уравнения // Матем. сб. -1960.-Т. 50(90), № 4. С.443−498.

28. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. -1962. -Т. 17, вып. 3. -С.4−146.

29. Калашников A.C. О линейных вырождающихся параболических уравнениях произвольного порядка с конечной областью зависимости // Матем. Заметки. -1969. Т.6, № 3. — С.289−294.

30. Калашников A.C. Некоторые вопросы качественной теории нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка // Усп. матем. наук. 1987. -Т.42, № 2. — С. 135−176.

31. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. -М.: Физматлит, 1959. -684 с.

32. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Свойства гильбертова пространства. -М.: Мир.-1971.-409с.

33. Келдыш М. В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Докл. АН СССР. 1951. -Т.7, № 2. -С.181−183.

34. Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряжённых уравнений // Докл. АН СССР. 1951. -1.11. — С. 11−14.

35. Киприянов И. А. Об одном классе теорем вложения с весом // Докл. АН СССР. 1962. — Т. 147, № 3. — С.540−543.

36. Киприянов И. А., Богачёв Б. М. О свойствах функций на дифференцируемых многообразиях // Тр./ Матем. ин-т АН СССР. -1980;№ 156.-С.110−120.

37. Kohn I.I., Nirenberg L. Non-coercive value problems // Communication on pure and applied mathematics. -1965. -Vol.XXVIII, № 3. P.443−492.

38. Kohn I.I., Nirenberg L. Degenerate elliptic-parabolic equations jf second order // Communication on pure and applied mathematics. -1967. -Vol.XX, № 4 P.797−872.

39. Краснов Т. О. Интегральные уравнения M.: Мир, 1973. — 307 с.

40. Кудрявцев Д. Л. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений // Тр. / Мат. ин-т АН СССР. -1959 № 55. -С. 1−18.

41. Kufiier A. A remark on imbedding theorems for Sobolev weight Spaces. The case of a domain with holderian boundary. // J. reine und angew.Math. 1979.-Vol.309. -P. 114−126.

42. Kufner A. Weighted Sobolev weight spaces // TeubnerTexte zur Mathematik. -Leipzig, 1980. Band 31. -152 s.

43. Ладыженская O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. -М.: Наука, 1967. 736с.

44. Лидский В. Б. Условия полноты системы корневых подпространств у несамосопряжённых операторов с дискретным спектром. // Тр./ Моск. Матем. о-во. 1959 — T.3.-C.83−120.

45. Лизоркин П. И., Отелбаев В. М. Теоремы вложения и компактности для пространств соболевского типа с весами // Матем.сб. -1979.-Т.108, № 3. С.258−377.

46. Малютина О. П. О спектральных свойствах эллиптического оператора с вырождением // Тр./ Матем. фак. ВГУ. -1998. Вып.З. -С.52−56.

47. Малютина О. П. Об одной эллиптической задаче с вырождением в полуцилиндре // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 1999. -С. 103−110.

48. Малютина О. П. Эллиптическая задача высокого порядка с вырождением в полуцилиндре // Тезисы докладов конференции «Современные методы в теории краевых задач: Понтрягинские чтения X.»" Воронеж, май 1999. -Воронеж, 1999. -С. 160.

49. Малютина О. П. Эллиптическая граничная задача при слабом вырождении на границе // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 2000. — С.29−33.

50. Малютина О. П. О спектральных свойствах эллиптического оператора с вырождением в полуцилиндре // Тезисы докладов Международной конференции «Нелинейный анализ и функциональные дифференциальные уравнения», Воронеж, май 2000. -Воронеж, 2000. С. 132.

51. Малютина О. П. Граничная задача для эллиптического оператора со слабым вырождением на границе в полупространстве // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. -Воронеж, 2001. -С. 119−124.

52. Михлин С. Г. К теории вырождающихся эллиптических уравнений // Изв. АН СССР. -1954. Т.94, № 2 — С.183−186.

53. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям, — М.: Физматлит, 1959. -232с.

54. Михлин С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения, — М.: Физматлит, 1962. -256с.

55. Морен К. Методы гильбертова пространства, М.: Мир. -1965. -570с.

56. Никольский С. М. Приближённые функции многих переменных и теоремы вложения. -М.: Наука, 1969. 480с.

57. Никольский С. М. Свойства некоторых классов функций многих переменных на дифференцируемых многообразиях.- М.: Мир, 1968. 463с.

58. Олейник O.A., Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области // Докл. АН СССР. 1952. -Т.87, № 6. — С. 885−887.

59. Олейник O.A., Вентцель Т. Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа // Матем. сб-1957. -Т.41, № 1. -С.105−128.

60. Олейник O.A., Радкевич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой // Математический анализ.-М., 1969. -С.5−252.(Итоги науки и техники / ВИНИТИ).

61. Панич О. И.

Введение

в общую теорию эллиптических краевых задач. Киев: Вища шк., 1986. — 128 с.

62. Розенблюм Г. В. Распределение дискретного спектра сингулярных дифференциальных операторов // Докл. АН СССР. 1972. -Т.202, № 5. -С.562−563.

63. Слободецкий Л. Н. Обобщённые задачи пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений, а частных производных // Уч. Зап. /Ленингр. Пед. ин-т им. А.И. ГерценаФиз матем. ф-т. — 1958. -Т. 197. -С.54−112.

64. Смирнов М. М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. -М.: Наука, 1966. 292 с. 94.

65. Соболев С. А. Некоторые применения функционального анализав математической физике. Новосибирск: СО АН СССР, 1962. 255с.

66. Терсенов С. А.

Введение

в теорию уравнений, вырождающихся на границе области. Новосибирск: СО АН СССР, 1973. — 144 с.

67. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы.- М.: Мир, 1986. -488 с.

68. Трибель X. Теория функциональных пространств, М.: Мир. 1980. — 664 с.

69. Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. М.: Гостехиздат, 1947. -246 с.

70. Успенский C.B. Свойства классов с дробной производной на дифференцируемых многообразиях // Докл. АН СССР. -1967. -Т. 132, № 1. С.60−62.

71. Фохт A.C. Весовые теоремы вложения и оценки решений уравнений эллиптического типа // Диф. уравнения. -1982. Т.18, № 8. — С. 144−149.

72. Хермандер JL, Линейные дифференциальные операторы в частных производных, — М.: Мир, 1965, — 305с.

73. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1973; 232 с.