Математическое моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных растворов

Математическое моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных систем находится в центре внимания исследователей. В значительной степени работы в этой области стимулируются проблемами, возникающими в технологии получения новых полупроводниковых материалов. Высокие требования, предъявляемые современным приборостроением к свойствам и качеству используемых полупроводниковых структур и материалов, могут быть удовлетворены лишь на основе детального изучения физических процессов, происходящих при их получении, и тщательной отработки самого технологического процесса. Определяющую роль в формировании свойств получаемых материалов играют фазовые превращения и процессы тепломассопереноса, формирующие условия на границе раздела фаз. Натурные эксперименты в этой области сложны и трудоёмки, требуют больших энергетических затрат, в них используются дорогостоящие, зачастую ядовитые материалы, а длительность одного эксперимента может достигать нескольких недель. Поэтому использование методов математического моделирования в исследовании и оптимизации технологических режимов и установок, для анализа результатов физических экспериментов является неотъемлемым этапом на пути создания способов получения материалов с заданными свойствами.

Однако, до настоящего времени математическое моделирование в задачах технологии ограничивается в основном рассмотрением процессов кристаллизации в чистых веществах или бинарных растворах-расплавах. Вместе с тем, тепломассоперенос и фазовые превращения в трех и четы-рехкомпонентных системах лежат в основе многих промышленных способов получения объемных монокристаллов и полупроводниковых структур и представляют значительный теоретический и практический интерес.

Данная работа посвящена численному исследованию процессов кристаллизации в многокомпонентных системах. В качестве примера, иллюстрирующего область применения полученных результатов, рассматривается один из наиболее распространенных способов получения монокристаллических структур — метод жидкофазовой эпитаксии (ЖФЭ), который представляет собой кристаллизацию из раствора-расплава на подложке определенной кристаллографической ориентации. В простейшем случае насыщенный при начальной температуре раствор кристаллизующихся компонентов приводится в контакт с подложкой, и вся система охлаждается по заданному закону. С понижением температуры жидкая фаза становится пересыщенной, и растворенные в ней вещества осаждаются на границе расплав — подложка в виде монокристаллического слоя [1]. В ходе всего процесса на границе раздела фаз имеет место квазиравновесие, т. е. концентрация растворенных компонентов у фронта кристаллизации в любой момент времени близка к равновесному при данной температуре значениям. Перенос растворенного вещества к поверхности раздела фаз осуществляется механизмом диффузии и конвекции [2]. Пересыщение в объёме может создаваться различными способами: с помощью принудительного охлаждения системы подложкарасплав, предварительного охлаждения, то есть до контакта с подложкой, охлаждения жидкой фазы ниже температуры насыщения, подпитки раствора — расплава за счёт растворения подложки, изотермического смешивания равновесных растворов и т. д. [1−3]. Наиболее часто в технологии эпитаксиального выращивания полупроводниковых материалов из жидкой фазы применяется способ, при котором температура системы расплав — кристалл изменяется по заданному закону. Этот вариант ЖФЭ сравнительно прост в техническом отношении, обладает достаточной гибкостью, дает возможность выращивать многослойные эпитакси-альные структуры с контролируемыми параметрами каждого из слоев [1, стр. 36].

В некоторых технологических режимах подложка помещается в ненасыщенный при температуре контакта расплав. Вся система выдерживается некоторое время при постоянной температуре, а затем начинается процесс охлаждения. В этом случае росту эпитаксиального слоя (ЭС) предшествует процесс растворения подложки, благодаря которому происходит обогащение раствора — расплава кристаллизующимся веществом.

Общая характеристика рассматриваемого класса задач. Моделирование процессов кристаллизации многокомпонентных систем приводит к рассмотрению нелинейных задач, численное исследование которых сопряжено со значительными трудностями и требует разработки новых эффективных алгоритмов или модификации известных методов. В полной мере это относится к задачам полупроводниковой технологии, в которых необходимо проводить многопараметрические исследования, связанные с анализом результатов большого числа расчётов и сопоставлением их с данными натурных экспериментов. С точки зрения практического применения результатов математического моделирования, методы должны быть ориентированы на использование сравнительно маломощных вычислительных средств, непосредственно имеющихся в распоряжении специалистов — технологов, и обеспечивать получение надёжных результатов при разумных затратах машинного времени на расчёт каждого варианта. Для того чтобы удовлетворить этим требованиям, математические модели и методы их численного исследования необходимо конструировать с учётом конкретных свойств изучаемых процессов и явлений.

Характерной особенностью рассматриваемого класса задач является наличие в них нескольких временных масштабов, связанных с определяющими условия кристаллизации физическими процессами. Масштабы if1 времени, обусловленные диссипативными процессами: tv = —, tsD = is 2 iftlD = - вязкостью, диффузией в твердой и жидкой фазах (I/, Ls — характерные линейные масштабы задачи, обусловленные наличием жидкой и твердой фаз, и, Ds и D1 — соответственно коэффициенты кинематической вязкости, диффузии компонентов в твердой фазе и растворе) отличаются между собой на несколько порядков. Ещё один масштаб времени (ttec) в этих задачах определяется технологическими режимами, которые должны, например, обеспечить необходимую толщину эпитак-сиального слоя или максимальный объём монокристалла. Длительность процесса ttec непосредственно связана со скоростью выращивания кри.

Is сталлов vPh ttec = —j гДе Is ~ толщина ЭС или длина кристалла.

Vph.

При моделировании нестационарных процессов ttec задаёт отрезок времени, на котором необходимо находить решение задачи. Обычно он на порядок и более превосходит время вязкой диссипации и в несколько раз больше диффузионных времён.

Трудности численного исследования процессов кристаллизации в первую очередь связаны с широким диапазоном изменения временных масштабов, присутствующих в задаче. Используемые алгоритмы должны обеспечивать необходимую точность расчёта быстрых процессов и, вместе с тем, не требовать слишком больших затрат машинного времени на расчёт всей задачи в целом. Важно, чтобы выбор шага по времени определялся спецификой физических процессов, протекающих в системе, а не диктовался внутренними свойствами вычислительной процедуры.

Моделирование процессов кристаллизации приводит к решению задач типа Стефана. Поэтому еще одной особенностью рассматриваемого класса задач является наличие подвижных межфазных границ. В отличие от классической задачи Стефана, в которой температура на границе раздела фаз постоянна, в задачах кристаллизации многокомпонентных растворов температура фазового перехода зависит от составов твердой и жидкой фаз [4−7]. На границе жидкое-твердое температура и концентрации должны удовлетворять балансным соотношениям, вытекающим из законов сохранения энергии и массы, и фазовой диаграмме системы: довольно сложным, как правило, нелинейным соотношениям, связывающим равновесные концентрации всех компонентов и температуру. Это создает две проблемы: численная реализация условий, которые возникают при математическом описании равновесного процесса кристаллизации [8, т.1, стр.388], и выбор начальных данных, в случае когда в начальный момент времени жидкая фаза и кристалл не находятся в квазиравновесии.

О методах численного решения термодиффузионных задач Стефана. Методы численного решения задач типа Стефана развиваются преимущественно в двух направлениях. Первое составляют алгоритмы сквозного счёта, в которых граница фазового перехода явно не выделяется [8−12]- второе — методы, в явном виде отслеживающие положение фронта кристаллизации [5,6,13−18].

Алгоритмы сквозного счета оказались эффективными при математическом моделировании многомерных задач, в которых основное внимание уделяется исследованию процессов теплопереноса и точное положение границы раздела фаз не играет существенной роли [10−12]. Идея этих методов состоит в отказе от непосредственного поиска неизвестной фазовой границы и замене его процедурой сглаживания функции теплоемкости.

Введение

подобной процедуры позволяет получить обобщенное решение задачи Стефана с помощью экономичного алгоритма сквозного счета [9]. Однако эти методы весьма чувствительны к выбору параметра сглаживания, определить значение которого априори затруднительно. К тому же алгоритмы сквозного счета обладают сравнительно низкой точностью определения положения фронта кристаллизации. Использование процедуры сглаживания функции теплоемкости исключает возможность моделирования процессов переохлаждения и перегрева жидкой фазы. В указанных случаях такой подход может привести к ошибкам в определении температурного поля и скорости движения фронта кристаллизации.

Среди методов, в явном виде отслеживающих положение границы раздела фаз, можно выделить класс алгоритмов [5,6,13−16], использующих подвижные разностные сетки, адаптирующиеся к изменению формы расчётной области. Дифференциальные уравнения аппроксимируются на перестраивающихся в процессе решения задачи сетках [13]. У. Мюррей и Ф. Ландис предложили использовать сетки с постоянным числом узлов, но изменяющимся шагом по пространству [15,16]. Разностная сетка строится так, чтобы фронт кристаллизации совпадал с узлом сетки. На каждом шаге по времени после определения распределения температуры и нового положения фронта кристаллизации пересчитываются координаты узлов сетки, а решение, полученное на предыдущем шаге по времени, интерполируется на новую сетку [5,6].

В другом классе методов в расчётах используются неподвижные разностные сетки [19]. Для этого в исходной задаче осуществляется замена переменных. Она выбирается так, чтобы в новых координатах границы расчётной области были фиксированы и совпадали с координатными линиями. При этом в уравнениях появляются дополнительные члены переноса, связанные с заменой переменных. Дифференциальная задача записывается в новой системе координат и после этого проводится её дискретизация. Таким образом весь алгоритм численного решения строится на фиксированной сетке [13,17,18,20].

Достаточно распространенный способ выбора новой системы координат — это преобразование Ландау [4,16,21], которое для каждой из фаз вводит новые пространственные переменные, например, в случае одномерной задачи области, занимаемые каждой из фаз, можно отобразить в отрезок [0,1]. Иной подход к выбору новой системы координат осуществляется в методе миграции изотерм [17,18], в котором зависимая и независимая координата меняются местами. В результате одна из пространственных переменных становится функцией температуры и остальных координат, и вся задача решается относительно нее. Но такие алгоритмы не обобщаются на случай, когда температура на границы раздела фаз непостоянна.

Все эти методы достаточно точно отслеживают положение границы раздела фаз, но остается проблема аппроксимации граничных условий типа Стефана. Для построения точных разностных схем используются аналитические решения, верные только вблизи фронта кристаллизации [22]. Поэтому методами разделения переменных или средствами комплексного анализа проводят дополнительные исследования задачи [23].

Еще один подход к решению задач с подвижной границей — это использование динамически адаптирующихся сеток [24−29], в котором проблема построения расчетной сетки формулируется на дифференциальном уровне. При этом в дифференциальной задаче часть уравнений описывает физические процессы процессы, а другая — поведение узлов сетки. В основу метода положена процедура перехода к произвольной нестационарной системе координат. Преобразование координат осуществляется автоматически с помощью искомого решения, что позволяет производить размещение узлов сетки в зависимости от особенностей решения: больших градиентов или фазовых границ. Сгущение узлов в областях сильного изменения решения в методе динамической адаптации осуществляется с помощью функции преобразования, которая, вообще говоря, зависит от нескольких производных численного решения. Проблемы, связанные, с подвижными границами, снимаются посредством перехода к произвольной нестационарной системе координат, в которой узлы сетки и границы оказываются неподвижными. В этом отношение метод подобен лагранжевым. Однако имеет принципиальное отличие. В лагранжевых методах нестационарной системе координат навязывается гидродинамическая скорость движения, что не всегда удобно в задачах с подвижной границей. В методе динамической адаптации скорость движения системы координат заранее не указывается, а зависит от искомого решения и определяется в ходе решения задачи. Однако методы динамической адаптации в настоящее время не разработаны достаточно подробно. В частности, при решении ряда конкретных задач нет информации об исследовании области устойчивости для различных функции преобразования, применяемых для адаптации. При этом выбор функции преобразования не всегда является очевидным.

У.Мюррей и Ф. Ландис предложили алгоритм, использующий неподвижные сетки без преобразования системы координат, вместо этого на границе раздела фаз вводятся сосредоточенные параметры [15,30]. При таком подходе фронт кристаллизации не обязан совпадать с узлом сетки. Сосредоточенные параметры — это две фиктивные температуры, которые вычисляются в результате экстраполяции распределения температура из жидкой и твердой фазы на границу раздела. По значениям этих параметров и температуры в узлах сетки ближайших к фронту кристаллизации строится аппроксимация условий Стефана, из которых в дальнейшем определяется новое положение границы. Но этот алгоритм не обобщается на случай, когда помимо температуры необходимо определять распределение состава в системе.

Методы, в явном виде отслеживающие движение фронта кристаллизации, близки по своему смыслу. Как правило, при их численной реализации положение границы раздела фаз и распределение искомых функций в системе на каждом временном слое осуществляется последовательно. Алгоритмы такого типа содержат элемент «явности»: система уравнений, описывающая процесс, либо решается на сетке, построенной по распределению искомых функций с предыдущего слоя по времени, либо содержит коэффициенты, связанные с заменой переменных, которые также вычислены по значениям функций с нижнего слоя. Ограниченность такого подхода ясна [8] и становится особенно существенной при моделировании фазового перехода в реальных многокомпонентных системах, когда положение фронта кристаллизации не определяется распределением одной лишь температуры, как в классической задаче Стефана, а зависит от температуры и концентрации всех компонент, связанных на границе раздела фаз диаграммой состояний и балансными соотношениями [31−34].

При моделирования процессов кристаллизации многокомпонентных соединений, помимо проблем определения точного положения фронта кристаллизации, возникают еще трудности связанные с численной реализацией условий на границе раздела фаз. Обычно используются алгоритмы, в которых аппроксимация граничных условий позволяет на каждом временном слое решать уравнения переноса тепла и/или массы для каждого из компонентов последовательно, что достигается за счёт введения в аппроксимацию граничных условий элемента явности. На границе значение первой из искомых функций на новом временном слое выражается через значения с предыдущего слоя остальных функций, входящих в соответствующее граничное условие. Затем оставшиеся уравнения решаются последовательно с использованием в граничных условиях значений функций, уже найденных на текущем слое (процедура типа Зейделя). Эти методы экономичны и просты в реализации, однако, обеспечивая получение правильных результатов в одном диапазоне параметров (начальные данные, фазовая диаграмма, термодинамические константы и т. д.), в другом — они оказываются неустойчивыми или дают правдоподобные, но неверные результаты [32,33]. Проблема состоит в том, как зная фазовую диаграмму и термодинамические свойства системы, выбрать способ численной реализации граничных условий, обеспечивающий устойчивость вычислительной процедуры в рассматриваемом диапазоне изменения параметров. В работе [31] исследовался процесс кристаллизации тройных соединений, было продемонстрировано существование областей изменения параметров задачи, в которых алгоритмы последовательного определения искомых функций неустойчивы. Эти области определяются термодинамическими свойствами системы и ее фазовой диаграммой.

С численной реализацией условий на границе раздела фаз тесно связана проблема задания начальных данных, которая неоднократно отмечалась многими исследователями [4,5,35−42]. Исходный раствор может быть не равновесен твердой фазе, и во многих алгоритмах на фронте кристаллизации составы твердой и жидкой фаз приходится согласовывать между собой в соответствии с фазовой диаграммой системы и балансными соотношениями. При этом исследования М. Смолла и Р. Геза показали, что ошибка в вычислении температуры на несколько десятых градуса может привести к физически неверным результатам: в системе вместо растворения начнется рост и наоборот [40]. Таким образом для многих алгоритмов надежность получаемых результатов зависит от умения задавать начальные данные. Зачастую в качестве начального приближения используются аналитические решения, которые верны только на ранних стадиях процесса и были получены в более простой геометрии.

В работах [43−45] предложен метод решения одномерной задачи о фазовом переходе в многокомпонентной системе. Совместное определение полей концентраций и нового положения фронта кристаллизации позволяет построить практически безусловно устойчивый алгоритм, гарантирующий получение надежных результатов в широком диапазоне параметров при естественном выборе начальных данных.

О математическом моделировании процессов выращивания многокомпонентных структур методом ЖФЭ. В настоящий момент накоплен значительный опыт в численном исследовании ЖФЭ. В работах [46−48] проведено численное исследование гидродинамических процессов, происходящих в жидкой фазе при выращивании тройных соединений из раствора — расплава. В основе математической модели лежат уравнения конвективной диффузии в приближении Буссинеска. Изучено влияние различных параметров технологического процесса на динамику роста, геометрические параметры и состав эпитаксиальных слоёв, однородность распределения состава по площади монокристалларассмотрен важный с практической точки зрения вопрос о подрастворении подложки на начальных стадиях процесса, указаны технологические режимы, обеспечивающие получение материалов с заданными свойствами. В частности, были определены условия, при которых перенос растворенных в расплаве компонентов к фронту кристаллизации осуществляется в режимах близких к диффузионным. В этом случае толщина ЭС и распределение его состава однородны по площади подложки, что важно для дальнейшего использования полученного полупроводникового материала.

Моделированию конвективного массопереноса в процессе ЖФЭ по-свящён цикл работ [37,49−55], где вычислительный эксперимент последовательно применяется для анализа условий роста двойных и тройных полупроводниковых соединений. В частности, рассматриваются системы с двумя подложками, то есть с двумя фронтами кристаллизации, исследовалось влияние конвекции на скорость движения каждой из границ раздела фаз [54]. Задача решается методом конечных разностей и конечных элементовподробно обсуждаются трудности, связанные с численной реализацией условий на границе раздела фаз.

Двумерная модель, учитывающая не только конвективный массопе-ренос в растворе, но и диффузию в твердой фазе, была рассмотрена в работах [35,36,56−58], где исследуется рост и растворение монокристаллического слоя. Уравнения в твердой и жидкой фазах решаются отдельно, при этом используются сетки с разными шагами по пространству в каждой из фаз. Применение метода конечных элементов позволяет достаточно точно отслеживать положение фронта кристаллизации. Но проблема задания начальных данных, а также трудности, возникающие при решении уравнений на границе раздела фаз, существенно ограничивают область исследования.

М.Смолл и Р. Гез провели исследование динамики роста и растворения монокристаллического слоя в рамках одномерной диффузионной модели [38−42]. Основная цель — изучение поведения системы при ее стремлении к равновесию на начальных стадиях процесса. Метод исследования сочетает построение аналитических решений с расчетами по методу конечных разностей. Были рассмотрены изотермические режимы выращивания и режимы с охлаждением [41]. Проведен анализ влияния диффузии в твердой фазе на динамику процесса кристаллизации соединений.

Al" BUCv и Ci"AXJ%.

В работе [59] в одномерном приближении детально исследуются изотермические и неизотермические режимы выращивания тройных соединений. Для решения уравнений используются конечные разности, движение фронта кристаллизации отслеживается в результате перехода в новую систему координат.

В работе [43] проведено параметрическое исследование процесса ЖФЭ соединений A^TBi!xCVI. В частности, изучено влияние диффузии в твердой фазе на динамику процесса кристаллизации и формирование состава на гетерогранице.

Развитие полупроводниковой технологии ставит перед исследователями новые задачи. Одной из таких задач является изучение получения четверных полупроводниковых соединений. Работа в этой области только начинается. Уже имеются некоторые экспериментальные данные [60−62], попытки построения фазовых диаграмм четверных соединений [62]. Однако математическое моделирование процессов тепломассо-переноса при эпитаксиальном выращивании четверных соединений практически полностью отсутствует.

В работе [63] впервые проведенно моделирование эпитаксиального выращивания четверных соединений CdxHgi-x-yZnvTe из раствора Cd — Hg — Zn—Te. Полученные результаты подтверждаются экспериментальными данными.

Диссертационная работа посвящена математическому моделированию процессов кристаллизации многокомпонентных растворов и состоит из введения и трех глав.

1. Уфимцев В. Б., Акчурин Р. Х. Физико-химические основы жидкофа-зовой эпитаксии. Москва: Металлургия, 1983. С. 221.

2. Андреев В. М., Долгинов J1.M., Третьяков Д. К. Жидкофазовая эпитаксии в технологии полупроводниковых приборов. Москва: Сов. радио, 1975. 328 стр.

3. Hsieh J.J. Thickness and surface morphology of GaAs LPE layers growth by super cooling, step-cooling, equilibrium cooling and two — phase solution techniques. Journal of Crystal Growth, 27, 49 — 61, 1974.

4. Illingworth T.C., Golosnoy I.O. Numerical solutions of diffusion-controled moving boundary problems which conserve solute. Journal of computation physics, 209, 207 225, 2005.

5. Vermolen F.J., Vuik C. Solution of vector Stefan problems with cross-diffusion. Journal of computational and applied mathematics, 176, 179 301, 2005.

6. Vermolen F.J., Vuik C. A mathematical model for the dissolution of particles in multi-component alloys. Journal of computational and applied mathematics, 126, 233 254, 2000.

7. Vermolen F.J., Vuik C., Zwaag S. Particle dissolution and cross-diffusion in multicomponent alloys. Material science and engineering, 347, 265 -279, 2003.

8. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N., Iliev O.P., Churbanov A.G. Numerical simulation of convection/diffusion phase change problems a review. Journal of Heat Mass Transfer, 36(17), 4095 — 4106, 1993.

9. Самарский А. А., Моисеенко Б. Д. Экономичная схема сквозного счёта для многомерной задачи Стефана. Журнал вычислительной математики и математической физики, 5(5), 816 827, 1965.

10. Esen A., Kutluay S. A numerical solution of the Stefan problem with Neumann-type boundary condition by enthalpy method. Applied mathematics and computation, 148, 321 329, 2004.

11. Grossmann С., Noack A. Smoorhing and Rothe’s method for Stefan problems in enthalpy form. Journal of computational and applied mathematics, 138, 347 366, 2002.

12. Meyer G.H. The numerical solution of Stefan problems with front-tracking and smoothing methods. Applied mathematics and computation, 4(4), 283 306, 1978.

13. Ettouney H.M., Brown R.A. Finute element methods for steady solidification problems. Journal of computational Physics, 49, 118 — 150, 1983.

14. Woulters P., Schaftingen J.J., Crochet M.J., Geyling F.T. Numerical simulation of the horisontal Bridgman growth. Part III: Calculation of the interface. International journal for numerical methods in fluids, 7, 131 153, 1987.

15. Muray W.D., Landis F. Numerical and mashine solutions of the transient heat conduction problems involving melting or freezing. Journal heat transfer, 81, 106 112, 1959.

16. Kutluay S. Numerical shcemes for one-dimensional Stefan-like problems with a forcing term. Applied mathematics and computation, pages XXX XXX, 2004. in press.

17. Crank J., Crowley A.B. Isoterm migration method orthogonal flow lines in two dimensions. Heat and mass transfer, 21(4), 393 399, 1978.

18. Crank J., Crowley A.B. On a implicit scheme for the isoterm migration method along orthogonal flow lines in two dimensions. Heat and mass transfer, 22(10), 1331 1338, 1979.

19. Дегтярев JI.M., Дроздов В. В., Иванова Т. С. Метод адаптивных к решению сеток в сингулярно возмущённых одномерных краевых задачах. Дифференциальные уравнения, 23(7), 1160 — 1168, 1987.

20. Friazinov I.V., Marchenko М.Р., Mazhorova O.S. Transient simulation of crystal growth by Bridgman technique uder normal and low gravity. In Proceedings of microgravity science and low gravity. Aerospace congress,-Mosckow,-199L.

21. Landau H.G. Heat conduction in a melting solid. Journal of applied mathematics, 8, 81 94, 1950.

22. Crank J., Furzeland R.M. The numerical solution of eliptic and parabolic parial differential equations with boundary singularity. Journal of computational physics, 26(3), 285 296, 1978.

23. Tzai-Fu Cheng. Numerical analisis of nonlinear multiphase Stefan problems. Computers and Structures, 75, 225 233, 2000.

24. Бреславский П. В., Мажукин В. И. Алгоритм численного решения гидродинамического варианта задачи Стефана при помощи динамически адаптирующихся сеток. Математическое моделирование, 3(10), 104- 115, 1991.

25. Дарьин Н. А., Мажукин В. И. Математическое моделирование задачи Стефана на адаптивной сетке. Дифференциальные уравнения, 23(7), 1154 1160, 1987.

26. Mazhukin V.I., Chuiko М.М. Solution of two-dimensionsl multi-interface Stefan problem by the method of dynamic adaptation. Mathematical Modelling and analysis, 6(1), 129 137, 2001.

27. Дарьин H.A., Мажукин В. И. Метод построения адаптивных сеток для одномерных краевых задач. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1987, № 33, 28 стр.

28. Дарьин Н. А., Мажукин В. И. Об одном подходе построения адаптивных сеток для нестационарных задач. Журнал вычислительной математики и математической физики, 28(3), 454 460, 1988.

29. Мажукин В. И., Такоева Л. Ю. Принципы построения динамически адаптирующихся к решения сеток в одномерных краевых задачах. Математическое моделирование, 2(3), 101 117, 1990.

30. Verma А.К., Sanjay Chandra, Dhindaw В.К. An alternative fixed grid method for solution of the classical one-phase Stefan problem. Applied mathematics and computation, 158, 573 584, 2004.

31. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Сахарчук А. С. Об одной краевой за—даче-для-системы-параболических-уравнений,-Препринт-институтаприкладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1996, № 107, 36 стр.

32. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Похилко В. И. Исследование алгоритмов численного решения систем параболических уравнений с нелинейными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 23(7), 1240 1250, 1987.

33. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Похилко В. И. О численном решении уравнений параболического типа с нелинейными граничными условиями. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1985, № 46, 28 стр.

34. Kimura М., Qin Z., Dost S. A solid liquid diffusion model for growth and dissolution of ternary alloys by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 158, 231−240, 1996.

35. Dost S., Qin Z., Kimura M. A model for convective mass transport in liquid phase epitaxial growth of semiconductors. Journal of heat mass transport, 40(13), 3039 3047, 1997.

36. Kimura M., Djilali N., Dost S., Kanai H., Tanaka A., Sukegawa T. Liquid phase epitaxy of silicon: an experimental and numerical parametric study. Journal of Crystal Growth, 167, 516 524, 1996.

37. Small M.B., Ghez R. Growth and dissolution kinetics of ternary alloys of ternary III-V heterostructures formed by liquid phase epitaxy. Journal of Applied physics, 50(8), 5322- 5330, 1979.

38. Small M.B., Ghez R. Growth and dissolution kinetics of ternary alloys of ternary III-V heterostructures formed by liquid phase epitaxy. II. Comparisons between thermodynamic and kinetic models. Journal of Applied physics, 51(3), 1589- 1592, 1980.

39. Ghez R., Small M.B. Growth and dissolution of ternary alloys of III-V compounds by liquid phase epitaxy and formation of heterostructures. Journal of Crystal Growth, 52, 699- 709, 1981.

40. Ghez R., Small M.B. Growth and dissolution kinetics of ternary alloys of ternary III-V heterostructures formed by liquid phase epitaxy. III. Effect of temperature programming. Journal of Applied physics, 53(7), 49 074 918, 1982.

41. Small M.B., Ghez R. Reversal in the growth or dissolution of III-V heterostructures by liquid phase epitaxy. Journal of Applied physics, 55(4), 926- 930, 1984.

42. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Щерица О. В. Чисто неявный метод решения задач о фазовом переходе. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 2004, № 29, 42 стр.

43. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Щерица О. В. Алгоритм расчета задачи о фазовом переходе в многокомпонентной системе. Дифференци-алные уравнения, 7, 1051 1160, 2004.

44. Chtcheritsa O.V., Mazhorova O.S., Popov Yu.P. Implicit Numerical Algorithm for the Solution of Phase Transition Problems in Multi-Component Alloys. Journal of Mathematical Modelling and Analysis., 9(4), 253- 266, 2004.

45. Денисов И. А., Лакеенков B.M., Мажорова О. С., Попов Ю. П. Математическое моделирование эпитаксиального выращивания твёрдых растворов CdyHgi-YTe из жидкой фазы. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1992, № 65, 42 стр.

46. Denisov I.A., Lakeenkov V.M., Mazhorova O.S., Popov Yu.P. Numerical modelling for liquid phase epitaxy of CdxHg^xTe solid solution. Journal of Crystal Growth, 245, 21- 30, 2002.

47. Denisov I.A., Mazhorova O.S., Popov Yu.P., Smirnova N.A. Numerical modelling for convection in growth/dissolution of solid solution CdKHg-xTe by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 269,-284−291,-2004,——;

48. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Смирнов В. А., Шленский А. А. Численное моделирование выращивания монокристаллических слоёв полупроводниковых материалов методом жидкофазовой эпитаксии. Физика и химия обработки материалов, 4, 81 90, 1983.

49. Kimura М., Djilali N., Dost S. Convective transtort and interface kinetic in liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 143, 334 348, 1994.

50. Djilali N., Qin Z., Dost S. Role of thermosolutal convection in liquid phase electroepitaxial growth of gallium arsenide. Journal of Crystal Growth, 149, 153 166, 1995.

51. Motogaito A., Kimura M., Dost S., Katsuno H., Tanaka A. Growth of alloy GalnP crystals by compositional conversion of InP layers grown on GaP substrate in an LPE system. Journal of Crystal Growth, 182, 275 280, 1997.

52. Kanai H., Kimura M., Dost S., Tanaka A., Sukegawa T. Gravity effect on dissolution and growth of GaSb by liquid-phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 174, 226 229, 1997.

53. Dost S., Liu Y., Lent B. A numerical simulation study for the effect of applied magnetic field in liquid phase electroepitaxy. Journal of Crystal Growth, 240, 39- 51, 2002.

54. Kimura M., Dost S., Udono H., Tanaka A., Sukegawa Т., Qin Z. A numerical analysis for the conversion phenomenon of GaAs to GaAsP on a GaP substrate in an LPE system. Journal of Crystal Growth, 169, 697 703, 1996.

55. Qin Z., Kimura M., Dost S. Convection model for growth and dissolution of ternary alloys by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 167, 74 86, 1996.

56. Sell H.E., Miiller G. Numerical modelling of the growth and composition GaxIn-xAs bulk mixed crystals by the travelling heater method. Journal of Crystal Growth, 97, 194- 200, 1989.

57. Olchowik J.M., Sadowski W., D Szymczuk D. Study of generstion of GaxInl — xPyAsi-y transition layers obtained by liquid phase epitaxy. Journal of Crystal Growth, 156, 241−247, 1996.

58. Sydorchuk P., Khlyap G., Andrukhiv A. Growth and Some Properties of Heterostructures Based on New Narrow-Gap Semiconductor ZnCdHgTe. Crystal Research and Technology, 36(4), 361−369, 2001.

59. Khlyap G., Sydorchuk P. Growth and Electrical Properties of New Semiconductor Compound ZnCdHgTe. Crystal Research and Technology, 36(8), 1027−1034, 2001.

60. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Щерица О. В. Метод численного решения задач кристаллизации многокомпонентных растворов. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 2002, № 18, 42 стр.

61. Самарский А. А.

Введение

в теорию разностных схем. Москва: Наука, 1971.

62. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов J1.A. Численное моделирование процессов тепло и массообмена. Москва: Наука, 1984.

63. Ковеня В. М., Яненко Н. Н. Метод расщепления в задачах газовой динамики. Отв. ред. Ю. И. Шокин. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1981. 304 с.

64. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Сахарчук А. С. Устойчивость разностной задачи для системы параболических уравнений с нетрадиционными граничными условиями. Дифференциальные уравнения, 33(7), 946−954, 1997.

65. Четверушкин Б. Н. Об одном итерационном алгоритме решения разностных уравнений. Журнал вычислительной математики и математической физики, 16(2), 519 524, 1976.

66. Четверушкин Б. Н. Математическое моделирование задач динамики излучающего газа. Москва: Наука, 1985. 304 стР.

67. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. Москва: Наука, 1978. С. 592.

68. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Москва: Мир, 1991. т.1. 62 е., т.2. 552 с.

69. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва: Наука, 1992. С. 423.

70. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Щерица О. В. Диффузионные модели кристаллизации многокомпонентных растворов. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 2003, № 24, 42 стр.

71. Harman Т.С. Liquidus isotherms, solidus lines and LPE growth in the Te-rich corner of Hg — Cd—Те system. Journal of Electronic Materials, 2(6), 945−961, 1980.

72. Lusson A., Triboulet R. Liquid phase epitaxy of CdxHgi-xTe (0.5 < X < 1) and phase diagram determination. Journal of Crystal Growth, 85, 505−509, 1987.

73. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. Москва: Мир, 1980.

74. Ермаков С. В., Мажорова О. С., Попов Ю. П. Построение разностных схем для параболических уравнений с малым параметром при старшей производной. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1990, № 89, 28 стр.

75. Ермаков С. В., Мажорова О. С., Попов Ю. П. Математическое моделирование задач электрического разделения биосмесей. 4.1. Дифференциальные уравнения, 28(10), 1810 1821, 1992.

76. Гончаров A.JI., Фрязинов И. В. О построении монотонных разностных схем для уравнений Навье Стокса на девятиточечных шаблонах. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1986, К0- 93, 14 стр.

77. Мажорова О. С., Марченко М. П., Фрязинов И. В. Монотонизирующие регуляризаторы и матричный метод решения уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. Математическое моделирование, 6(12), 97 116, 1994.

78. Shaw W. Numerical simulation of Hgi-yCdyTe liquid epitaxy. Journal of Crystal Growth, 62, 247−253, 1983.

79. Мажорова О. С., Попов Ю. П., Щерица О. В. Чистонеявный метод решения задачи о фазовом переходе. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 2004, № 29, 42 стр.

80. Utke I., Frentrup W., Hahnert I., Kirmse H., Mtiller O., Schenk M., Winkler M. Non-abruptness of heterointerfaces during LPE growth of (Hg, Cd) Te on (Cd, Zn) Te and Cd (Te, Se) substrates. Journal of Crystal Growth, 162, 126−134, 1996.

81. Crossley I., Small M.B. The physical processes occurring during liquid epitaxial growth. Journal of Crystal Growth, 27, 35 48, 1974.

82. Мажорова О. С., Попов Ю. П. Матричный итерационный метод численного решения двумерных уравнений Навье Стокса. ДАН СССР, 259(3), 535 — 540, 1981.

83. Мажорова О. С., Попов Ю. П. О методах численного решения уравнений Навье Стокса. Журнал вычислительной математики и математической физики, 20(4), 1005 — 1020, 1980.

84. Мажорова О. С. Итерационный метод решения двумерных матричных уравнений. Препринт института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, Москва, 1979, № 48, 19 стр.