Об ошибке прогноза стационарного случайного процесса

Диссертационная работа посвящена исследованию двух задач спектральной теории стационарных в широком смысле процессов. Первая из них касается асимптотического поведения ошибки наилучшего линейного прогноза по конечному прошлому, когда длина отрезка, по которому ведется прогнозирование, стремится к бесконечности, вторая — асимптотического поведения дисперсии наилучшей несмещенной линейной оценки (НЛНО) для среднего процесса.

Работа состоит из настоящего введения и трех глав.

Здесь во введении мы приводим постановку задач, краткий обзор связанных с этой тематикой результатов различных авторов и формулируем основные результаты диссертации.

Глава I носит вспомагательный характер. В ней собраны необходимые в дальнейшем результаты, каксающиеся таких понятий, как емкость, трансфинитный диаметр, функция Грина и некоторых других, связанных с ограниченным подмножеством комплексной плоскости.

Пусть Р — ограниченное замкнутое множество на плоскости комплексного переменного л многочлен Чеоышева для множества f~*, т. е. многочлен наименее уклоняющийся от нуля на множестве F в равномерной метрике:

U? UP 1 где Cj^t^) — произвольный многочлен степени W, с единичным старшим коэффициентом.

Предел последовательности чисел ^ WL^CF^ «который, как известно (см. [бр, существует и конечен, называется трансфинитным диаметром или емкостью множества F» * (понятие емкости ограниченного множества первоначально определялось иначе, но, как показал Г. Сеге, оно тождественно понятию трансфинитного диаметра).

— которую мы оудем ооозначать: t ^ - W-xlryiJPT.

YV -^Оо отметим, что емкость прямолинейного отрезка равна четверти его длины, емкость окружности равна ее радиусу. и-сли Е ~ произвольное ограниченное множество на плоско-от*? то Число fcW^F} где точная верхняя грань оерется по всем замкнутым подмножествам f множества^, называется внутренней емкостью, а число.

—. где ц — замыкание, называется внешней емкостью множест-. Ясно, что ва < АО.

А1-^ ^ «(0.2) и если в. этом неравенстве достигается равенство, то соответствующее множество Н называется ^-измеримым.

Примерами f-измеримых множеств служат открытый прямолинейный отрезок и открытый круг, а также открытая дуга окружности. Объединение конечного числа % -измеримых множеств снова^{-измеримо} (см. лемму 1.9), в частности, множество, состоящее из объединения конечного числа открытых дуг единичной окружности 'С-измеримо .

Полиа [3l доказал, что если емкость линейного множества равна нулю, то линейная мера его тоже равна нулю. Обратное, однако, неверноизвестно (см. ,), что среди подмножеств прямолинейного отрезка существуют подмножества меры нуль и положительной емкости. В главе I доказывается существование такого множества на единичной окружности.

Ш1Ш I.Iu. На единичнои окружности существует^{-измеримое} множество меры нуль, емкость которого равна емкости окружности .

Далее, известно, что емкость — функция множества, непрерывная снизу: если F? С Р0 С Г! С. — последовательность ограниченных замкнутых множеств и — ограниченное множество, то п.

Г.

К, —->¦ ©-о.

Это свойство емкости легко переносится на последовательность 'С-измеримых множеств.

ЛЕММА 1.13. Если гс. — последовательность.

1 О QO ограниченных tизмеримых множеств и Е = f — ограниченное множество, то hM ^^^.

Г.

0.3).

Пусть р1 — замкнутое ограниченное множество на плоскости, граница которого состоит из конечного числа жордановых кривых. Дополнение на плоскости к множеству f-" * состоит из конечного или счетного числа областей без общих точек, и пусть р — та из этих областей, которая содержит бесконечно удаленную точку. Тогда, как известно, существует функция Грина G^^ ~ гармоническая всюду в области, за исключением точки <=*=>, непре.

P4L я на Г рывная, включая границу =0Ьу и на равная нулю, а в окрестности же точки Химеет представление где 'М- (х) — гармоническая в окрестниити тички 00 функция.

Если граница Г* области^ р не удовлетворяет ранее наложенным условиям, то, следуя, Винеру, функцию Грина fc) определяют как предел последовательности функции, где.

G^W*) ~ функшя Грина подобласти, аппроксимирующей изнутри область Np и граница которой уже состоит из конечного числа жордановых кривых. дующим образом:

Если ОС? , то полагаем.

С* - iuvvu Г [ft, %.

Если же точка ОС не принадлежит замкнутой области, то полагаем. Таким образом, функция ЦДТчГ) определена и неотрицательна во всей плоскости 7+.

Если Ej — произвольное ограниченное множество на плоскости, то, следуя Коровкину jj^, определим функцию Грина елеt Fee v где точная верхняя грань берется по всем замкнутым множествам Р из? .

Функция Грина (jr^C^Q гармонична и положительна всюду в области — той из дополнительных к замыканию ^ областей, которой содержит точку оо. Во внутренних точках? значение Gg (^) равно нулю. Что же касается границы ^ •. то на ней GetX) может принимать как нулевые, так и положительные значения. Б связи с этим вводится понятие регулярной точки.

ОПРЕЩЕЛЕНИЕ 1.2. Точка (не обязательно принадлежащая множеству ?) называется регулярной точкой множества Е1. если ~ ^ • Все точки, не являющиеся регулярными точками, называются иррегулярными.

Известно^, , что множество иррегулярных точек замкнутого ограниченного множества^, принадлежащих границе этого множества, представляет собой множество типа FV с нулевой внутренней емкостью.

Результаты главы I существенно используются в главе 2.

В главе 2 рассматривается задача линейного прогнозирования стационарной случайной последовательности на один шаг вперед.

Пусть .,, > «•••» «стационарная в широком смысле последовательность с нулевым средним и спектральной плотностью (с.п.)^сД. Таким образом, корреляционная функция равна.

Пусть — пространство значений процесса, т. е. гильбертово пространство, являющееся замыканием в смысле сходимости в сред.

VC /.

— SC нем квадратичном величин Xv- < VC'< <="=>. со скалярным произведением.

Через обозначим подпространство пространства > порожденное величинами X*, ^ ^ ^ ^ Ь. Таким образом '^L-'jf, ^.

Наилучшим линейным прогнозом величины Хь0 по прошлому длины называется проекция в пространстве элемента Хо наподпространство ^" M/^vv. Длина соответствующего перпендикуляра, опущенного из точки Х.0 на подпространство «jL.^ называется ошибкой прогноза (в дальнейшем мы под прогнозом подразумеваем о о о наилучшии линеиныи прогноз) на один шаг вперед по прошлому длины W. Таким образом, обозначив эту ошибку прогноза через, будая иметь: vv. — аок И X. —? — гмА ХоItr Х-, 1.

Ясно, что — последовательность невозрастающих неотрицательных чисел, поэтому существует предел.

В 1939 году А. Н. Колмогоров доказал, чТ0, если.

0.5) где — среднее геометрическое с. п, если ^.

0.6).

— я.

Процессы, с.п. которых удовлетворяют условию (0.5), называются сингулярными, а процессы, с.п. которых удовлетворяют условию (0.6) — регулярными.

Положим ' 0чевиДно> ^ и ^ —о при.

VV —"=*=>. Изучению асимптотики величины ^ в случае регулярного процесса посвящено много работ (см. напр. [э, (ioj, (22, , и, как выясняется, в этом случае скорость убывания величины определяется свойствами гладкости с.п. ^(.Х) • Приведем здесь два результата, касающихся регулярного случая.

ТЕОРЕМА. 0.1, [э. Для того, чтобы.

Kf О (Л ^ П —, f ^ 2, рнецелое, необходимо и достаточно, чтобы с .п. совпадала п.в. с непрерывной строго положительной функцией, имеющей непрерывную производную {У), LP1, S-ю производную (Д^, принадлежащую и удовлетворяющую там условию Гельдера порядка (Ь — последнее означает, что^ i.

Более жесткое условие гладкости накладывает. «на с.п. ^(.V) экспоненциальное убывание. Это условие заключается в том, что с.п. ^» C^ аналитичес1Ш продолжается в некоторую полосу значений комплексного аргумента.

ТЕОРЕМА 0.2, [28. Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы с.п.^О^) совпадала п.в. со строго положительной непрерывной функцией и функция допускала аналитическое продолжение в полосу < значений комплексного аргумента.

Wi.

В сингулярном случае скорость убывания ошибки прогноза 6V (^со ~ 0) определяется, разумеется, уже не дифференциальными свойствами с.п. ^ СХ^, и в этом случае асимптотика величины изучена значительно слабее. Нам известна лишь одна работа [зс| Розенблатта, относящаяся сюда. В ней показано, что если с.п. непрерывна и положительна на отрезке — и равна нулю вне него, то / л vj или^f (0.7).

Таким образом, если cL<<: С. ^ точки из числа. N? I' / М ' «1 различные отрезка^-ЗС, ^гнеотрицательные.

ТЕОРЕМА 0.3, • Если с.п. ^Оч) процесса равна где определяется из (0.14), то где.

Таким образом, если с.п. имеет в начале координат нуль порядка.

Спрашивается, можно ли устроить столь высокий порядок нуля с.п. ^ в начале координат, чтобы он обеспечивал экпоненциаль-ное убывание S^lV4). итвет на этот вопрос отрицательный, приведем соответствующий результат главы kJ.

ТЕОРЕМ 2.7. Если с. п. «^О^ почти всюду положительна в некоторой окрестности нуля, то Ц .—т-г-л.

Если же с.п. обращается в нуль п.в. при I’XV^S, то имеет место по крайней мере экспоненциальная сходимость к нулю:

Таким образом, для экспоненциальной сходимости к нулю необходимо, чтобы с.п. ^tV) обращалась в нуль на множестве положительной меры в любой окрестности нуля.

Глава 3 посвящена нахождению условий экспоненциального убывания ошибки прогноза гауссовского стационарного обобщенного процесса.

Пусть — стационарный обобщенный гауссовский процесс со с.п. ^О^ ' удовлетворяющей условиям.

IvjAlTb € Of-oo,^ (0.15) -V V" .

Пусть ^ - гильбертово пространство, порожденное величинами Х⁴) ' 00 скалярным произведением f it.

Примем обозначение для подпространства пространства порожденного величинами с носителем^, содержащимся в пусть м. — два подпространства, пространства а. и ^ - ортопроекторы в на и ''Isl—- соответственно.

Введем функционал (см. И) гл оценивающий близость подпространств, к взаимно ортогональным. Ясно, ЧТО ~ ^ L.

Положим, цО *.

W — t C^l До4) Uwi ^.

Величина? (/Ц^ служит естественной мерой точности прогноза случайных величин ^ € по прошлому длины, т. е. по величинам, по сравнению с их прогнозом по всему прошлому, т. е. по величинам • Естественно также назвать величину ^{S) ошибкой прогноза по прошлому длины.

Условия степенного убывания при изучались в Там показано, что эти условия вполне аналогичны условиям степенного убывания ошибки прогноза для регулярной стационарной последовательности (теорема 0.1). Именно справедлива.

ТЕОРЕМА 0.4,. Пусть с.п.-^О^ стационарного обобщенного гауссовского процесса удовлетворяет условиям (0.15).

Тогда для того, чтобы выполнялось условие.

— нецелое,.

Ч/-" оо С необходимо и достаточно, чтобыjO^ п.в. совпадала с непрерывной, отделенной от нуля и бесконечности функцией, и чтобы функция 'Mf ^ :1мела абсолютно непрерывную (jo-A4) -ю производную, Sю производную, принадлежащую пространству (-с* и удовлетворяющую там условию Гельдера порядка cJ^ ^ - - последнее означает следующее: fi^yWktf''= О’U4.

В главе 3 получены необходимые и достаточные условия для экспоненциального убывания Sll} при Х-^оо, которые мы сейчас приведем.

ТЕОРЕМ 3.2. Пусть с.п. ^(.V) стационарного обобщенного гауссовского процесса удовлетворяет условиям (0.1b). Тогда для того, чтобы выполнялось условие необходимо и достаточно, чтобы с.п. (Д^ п.в. совпадала с непрерывной, отделенной от нуля и бесконечности функцией и функция if ^(Х) допускала представление: M^CV) — + СХ^, где ^(Х) аналитическая в полосе функция, удовлетворяющая условию: 'Vp*^Vi = ^ С? Y-Д-с* оо^ при любом U,, г г.

Таким образом, условия экспоненциального убывания также аналогичны соответствующим условиям для регулярной последовательности, полученным Гренандером и Розенблаттом (см. теорему U.2).

1. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации.-М.: Наука, 1965, 407 с.

2. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области.-М.: Наука, 1964, 267 с.

3. ГельфащСЛ.М., Яглом A.M. Овычислении количества информацииU U V и О (J Vо случайной функции, содержащейся в другой такой функции.-Успехи матем. наук, 1957, т.12, вып. 1(73), с. 3−52.

4. Геронимус Я. Л. Онекоторых асимптотических свойствах полиномов. -Матем. сб., 1948, т. 23, Jfc I.

5. Голинский Б. Л. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза.-Теор. вероятн. и ее примен., 1974, т. 19, № 4, с. 724−739.

6. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного перемениого.-М.: Наука, 1966, 648 с.

7. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.-М.: Физматгиз, 1963, 311 с.

8. Гренандер У., Gere Г. Теплицевы формы и их приложения.-М.: Ин. лит., 1961, 308 с.

9. Ибрагимов И. А. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза.-Теор. вероятн. и ее примен., 1964, 9, л" 4, с. 695−703.

10. Ибрагимов И. А., Солев В. И. Асимптотическое поведение ошибки прогноза.-Теор. вероятн. и ее примен., 1968, т. 13, № 4,с.

11. Келдыш М. В. Оразрешимости и устойчивости задачи Дирихле.-Успехи матем. наук, 1940, вып. 8, с. 171−231.

12. Коровкин П.II. Емкость множества и полиномы, минимизирующие интеграл.-Ученые зап. Калинингр. пед. инст., 1958, вып. 5, с.

13. Коровкин П. П Множества сходимости рядов полиномов.-Дис.. доктора физ,.-мат. наук .-Ленинград, 1947.

14. Коровкин П. П. 0 росте функций.-Докл. АН СССР, 1951, т. 78, jfe 6, с.

15. Крейн М. Г. Континуальные аналоги предложений о многочленах ортогональных на единичной окружности.-Докл. АН СССР, 1955, т. 105, JS 4, с. 637−640.

16. Крейн М. Г. Об основной аппроксимативной задаче теории экстраполяции и фильтрации стационарных случайных процессов.-Докл. АН СССР, 1954, т. 94, гё 1, с. 13−16.

17. Месропян Н. Х. Некоторые задачи спектральной теории случайных процессов.-Дис. .аканд. физ.-мат. наук.-Ленинград, 1980,-64 с.

18. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции.-М.: Гостехиздат, 1941,.

19. Расулов H.ii., Холево А. С. Одна задача регрессии для процессов с непрерывным временем.-Теор. вероятн. и ее примен., 1978, т. 23, № 4, с. 762−772.

20. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы.-М.: физматгиз, 1963, 284 с.

21. Сеге Г. Ортогональные многочлены.-М.: Физматгиз, 1962, ЬОО с.

22. Солев Б. Н. Некоторые задачи спектральной теории стационарных в широком смысле процессов.-Дис. .канд. физ.-мат. наук.-Ленинград, 1972,.

23. Q. i/Ьл e/nut /он. McMi-Teii.}M. J?.В. ufb QMf ItitbCAwLoffttiejii o&ictyiaAz-ih, -кш. S&ue* анЛЬия.-. T^uvut (X/^.WaA.csЖ4, к 3. d.

24. Бабаян H.M. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза.-Зап. науч. семин. ЛОМИ, 1933, т. 130, с. 11−24.

25. Бабаян Н. М. Об асимптотическом поведении ошибки прогноза в сингулярном случае.-Теор. вероятн. и ее примен.- 1984, т. 29, № I, с. 147−150.