Рассматриваемая в настоящей работе проблема идентификации математической модели судна легко погружается в общую проблему моделирования и идентификации моделей. С общих позиций основным содержанием науки можно признать формирование моделей того или иного типа на основе результатов наблюдений и исследования их поведения. Модели могут быть в разной степени формализованными, но все они обладают одним главным свойством — связывают наблюдения в некую общую картину. Решение задач построения математических моделей динамических систем по данным наблюдений за их поведением составляет предмет теории идентификации, которая таким образом становится элементом общей научной методологии.
Термину «идентификация» и связанным с ним понятиям на Всероссийской конференции «Идентификация систем и задачи управления» (2003) были даны определения, которыми мы воспользуемся, так как они наилучшим образом соответствуют характеру деятельности судоводителя:
• идентификацией называется познавательная деятельность лица, принимающего решение (ЛПР), которая создает необходимые условия для практического использования формальных основ теории управления при решении конкретной прикладной задачи;
• теорией идентификации считается система методов построения нормативных моделей идентификациив идеале эта теория включает методы, используя которые ЛПР может самостоятельно создавать нормативные образцы своей идентификационной деятельности;
• структурной идентификацией называется познавательная деятельность ЛПР, связанная с поиском в формальных основах теории управления адекватной постановки прикладной задачитеория идентификации поддерживает эту деятельность, создавая методы построения нормативных образцов структурной идентификации.
Динамическая система, если говорить нестрого, есть объект, в котором происходит взаимодействие между его разнотипными частями и формируются наблюдаемые сигналы. Имея дело с системой, мы нуждаемся в некоторой схеме соотнесения между собой характеризующих систему переменных. Будем называть совокупность предполагаемых связей между наблюдаемыми сигналами моделью в широком смысле. Очевидно, что модели могут принимать самую разную форму и записываться с разной степенью математической детализации или вообще без использования языка математики. Однако в большинстве случаев соотношения, описывающие взаимодействие различных составляющих динамической системы, задаются в виде систем алгебраических, дифференциальных (разностных), алгебро-дифференциальных или интегральных уравнений. Такие модели принято называть математическими моделями (ММ). Математические модели могут быть снабжены рядом поясняющих прилагательных (непрерывные и дискретные по времени, сосредоточенные и распределенные, детерминированные или стохастические, линейные или нелинейные и т. п.) в зависимости от типа используемых уравнений.
При моделировании динамических систем все числовые характеристики изучаемого процесса можно разбить на два класса: не изменяющиеся в ходе процесса (константы) и меняющие свое значение (переменные). В свою очередь, в каждом из этих классов можно выделить два подкласса: один содержит числовые характеристики, которые могут быть измерены в ходе эксперимента (измеряемые константы и переменные), другой — характеристики, которые либо вообще не могут быть измерены на современном уровне развития науки, либо их измерение чрезвычайно трудоемко и дорого (неизмеряемые константы и переменные).
На первом этапе построения математической модели (ММ) любого процесса необходимо выбрать общую структуру модели и класс уравнений, которыми предполагается описать наблюдаемый процесс, т. е. решить так называемую задачу структурной идентификации [11], [15], [30]. Что касается выбора структуры модели, то ее сложность определяется конечными целями исследования, теоретическими соображениями о механизме процессов и, не в последнюю очередь, возможностями измерений в ходе эксперимента и возможностями математического обеспечения обработки результатов. Когда структура модели и класс уравнений определены, необходимо определить числовые значения констант, вошедших в уравнения ММ. На этом этапе построения математической модели возникает задача оценки числовых значений неизмеряемых констант по имеющимся экспериментальным данным, т. е. по значениям измеряемых переменных (откликам). Данную задачу принято называть задачей параметрической идентификации.
Не существует споров по вопросу о важности создания адекватной математической модели каждого конкретного судна. Когда сама модель уже выбрана тем или иным способом на основе гидродинамической теории, то возникает проблема определения параметров — коэффициентов модели. На этом этапе предпочтение отдается не теоретическому вычислению параметров модели, а их определению на основе натурных испытаний судна. Особенно перспективна эта идея, если идентификация проводится в реальном масштабе времени, когда найденные (идентифицированные) параметры могут сразу же быть использованы для прогнозирования ближайшего маневра. Изменение обстоятельств предполагаемого маневра непосредственно скажется на идентифицируемых параметрах и, следовательно, на качестве предсказания траектории маневра. Именно это составляет главный интерес для практического судовождения.
Знание математической модели судна важно и для конструкторских разработок, связанных с проектированием систем управления судном [36]. В этом случае точное знание разомкнутой модели ведет к высокой эффективности систем управления, разработанных на основе такой модели.
Этот процесс и его результат и есть параметрическая идентификация, поскольку структура модели выбрана. Чаще всего математическая модель судна есть система дифференциальных уравнений движения судна, параметрами которой являются коэффициенты в правых частях этих уравнений [4]. Обычно эти коэффициенты входят в правые части линейно, хотя можно рассматривать и более сложные случаи вхождения параметров, например, при идентификации модели судового движительного комплекса.
Задача параметрической идентификации формулируется обычно как задача минимизации некоторого функционала, представленного в интегральной форме. Если набор переменных состояния объекта задать вектором Х= {х,}, набор параметров модели вектором С = {СУ}, то условие минимума функционала будет выглядеть так:
Ш{У{Х, Х, Х", С, 0.
I п так и от его первой X и второй X производных.
Возможность придания этой функции конкретного вида зависит прежде всего от наших возможностей по наблюдению за объектом, т. е. от того, какие переменные состояния мы можем измерять. В самом идеальном случае при наблюдениях движения судна мы хотели бы наблюдать шесть переменных — три линейных ускорения ЯГ = {у, м>2, щ}^ три угловых ускорения Е = {8], с2, 8з}, где оси координат {X, У, 2} выбраны для судна традиционно образом. Наблюдая эти величины, мы могли бы определять регулярно как кинематические характеристики шестимерного движения — линейные V = (и 1, у2, г>3) и угловые скорости О = {соь со2, (c)3} и линейные и угловые? = {|/ь ц>2, |/3} перемещения, так и динамические характеристики — силы Л = {/?ь Я2, Яз} и моменты М = {М, М2, М3}, действующие на судно. Важное то, что все эти характеристики определяются при такой исходной информации путем интегрирования (а не дифференцирования!), что существенно повышает точность конечных результатов.
Однако такая постановка остается на уровне идеи, так как для обычных судов установка шестимерных акселерометров и соответствующей аппаратуры обработки или хотя бы фиксации ускорений — проблема практически неразрешимая. Именно поэтому вместо общей задачи решают частные задачи подобного типа, в зависимости от того, какие характеристики движения мы можем наблюдать непосредственно. Например, если наблюдаются (измеряются) скорость хода (лаг), координаты (GPS или DGPS) и курс (гирокомпас), то функционал записывают в виде inf{J[a,(X-X3)2 + a2(ГY3f + a,(v-v3f + a4(K-Кэ)2] di} = inf{J/0 d*}, где Хэ, Y3, v3, K3 — измеренные в процессе плавания значения этих характеристикX, Y, v, К — их значения, определяемые в соответствии с выбранной математической моделью и потому зависящие от вектора параметров СА = {аь а2, а3, 014} - весовой нормированный (Eoik = 1) вектор, компоненты которого устанавливают значимость для нас того или иного кинематического параметра.
Однако чаще всего задачу сводят к задаче так называемой «дифференциальной» идентификации, т. е. к минимизации интеграла, связанного с дифференциальными уравнениями движения судна. Пусть наш объект (судно) описывается следующей системой шести дифференциальных уравнений: dv/dt =fv (v, (3, со, С) — dp/d/=/p (u, (3, со, Qdco/di =/ю (v, р, со, С) — dKJdt=fK (v, (3, со, С) — dX/dt=Mv, (3, со, QdY/dt =fy (v, (3, о, С).
В этом случае для минимизации выбирается функционал inf {J [ai (di>3/dtfv (v3, (Зэ, юэ, Q)2+ a2(d|33/di-/p (v3, fc, co3, Q? + + a3(dcD3/dt-fa (v3, p3, ©-э, Q)2] dt} = inf{0(u3, (Зэ, юэ, С) dt}. Эту задачу легко представить в дискретной форме, заменив интеграл его дискретным аналогом — суммой подынтегральной функции в точках моментах измерения кинематических параметров движения гД, (3^, оД. После замены задача решается вполне традиционным способом: берутся частные производные от минимизируемого функционала по искомым параметрам и приравниваются к нулю. Возникает так называемая система нормальных алгебраических уравнений по числу определяемых параметров:
Если сами параметры входили в модель линейно, то полученная система также линейна и с формальной точки зрения решается элементарно.
При всей кажущейся простоте задачи при такой ее постановке реализация решения наталкивается на несколько проблем. Ненаблюдаемость, т. е. невозможность измерения части кинематических характеристик, таких как (3, ш, дюШ, приводит к необходимости вычислять их путем дифференцирования тем или иным способом. Это существенно увеличивает погрешности конечных результатов. К тому же матрица линейной задачи плохо обусловлена, и даже малые погрешности исходных данных (а они в нашем случае вовсе не малы!) приводят к значительным погрешностям конечных результатов по определению параметров С, Итак, два фактора — низкая точность исходной информации и плохая обусловленность матрицы системы переводят задачу практически в класс некорректных задач, результатом решения которых доверять опасно.
Все это свидетельствует о том, что проблемы параметрической идентификации не решены в такой степени, чтобы можно было использовать результаты решения в практической задаче предсказания маневров судна в реальном масштабе времени и любая попытка приближения к такой возможности всегда актуальна.
Не решены однозначно и проблемы структурной идентификации судовой модели. Существует множество моделей похожих, но все же разных структур, которые отличаются набором членов в правых частях уравнений движения [16]. Это различие состоит в порядке членов с вида [Уо/, т. е. в степенях р и которые удержаны в уравнениях. Можно выделить примерно шесть таких моделей и параметрическая идентификация каждой из них будет иметь свою специфику. Возможно также изменять структуру модели при изменении совершаемых маневров. Однако можно подойти к этому вопросу с чисто параметрической точки зрения. Взяв самую полную модель со всеми членами до третьего порядка, можно переходить от одной модели к другой, просто полагая часть коэффициентов равными нулю и идентифицировать только оставшиеся. При этом каждый раз придется решать проблемы, какой набор коэффициентов брать нулевым, т. е. фактически решать проблему структуры модели.
Сама параметрическая идентификация может быть общей, когда определяются сразу все параметры модели. Естественно, такая задача несет на себе отпечаток всех сложностей идентификации, о которых было сказано выше. Для ее упрощения на первом шаге идентификации можно находить только часть параметров, например, те, которые изменяются в данный момент быстрее всего, на втором — остальные параметры. Возможно разделение всех параметров на большее число групп. При этом всегда приходится решать важную проблему сходимости выбранной итерационной схемы идентификации.
Другой путь состоит в выборе упрощенных, частных моделей для маневров того или иного вида. Например, при исследовании циркуляции достаточно рассматривать только два дифференциальных уравнения изменения угла дрейфа и угловой скорости поворота и считать при этом неизменной поступательную скорость судна. Естественно, что частные математические модели приведут к упрощению проблемы идентификации, так как придется определять меньшее число параметров одновременно [16], [29].
Одним из главным вопросов, на которые следует ответить в процессе идентификации, является оценка погрешности найденных параметров. К сожалению, этому вопросу уделяется очень мало внимания. В известной нам литературе практически не встретить серьезной оценки такой погрешности. Но с эксплутационной точки зрения важна не погрешность самих идентифицированных параметров, а траекторная погрешность маневров, которые прогнозируются с помощью модели, имеющей эти параметры. Этому вопросу вообще не уделено внимания в известных нам исследованиях. Поэтому выявление такой связи погрешностей остается одной из актуальнейших задач практики идентификации математических моделей судна.
Выводы по главе 2:
1. Предложен новый метод идентификации параметров уравнений движения введением эффективных характеристик размерений судна.
2. Предложено при поиске минимума функционала подвергать вариациям не все параметры модели, а только эффективные характеристики, от которых зависят эти параметры.
3. Выведены нелинейные уравнения, которые определяют значения эффективных характеристик, из условия минимума функционала — суммы квадратических невязок дифференциальных уравнений движения.
4. Предложенная методика рассмотрена для двух моделейА.Д. Гофмана и японских инженеров и доведена до конкретных систем нелинейных уравнений для эффективных характеристик.
5. Апробирована упрощенная методика идентификации параметров, сводящаяся к одной характеристике — эффективной осадке, и доведена до численного решения для танкера типа «Астрахань» при использовании модели японских инженеров. Продемонстрирована эффективность подобного подхода к идентификации.
90 Глава 3.
Маневренные характеристики судна как функции параметров его математической модели.
Для точной идентификации параметров математической модели судна приходится затрачивать значительные материальные и временные ресурсы. К ним относятся постановка самих натурных испытаний, начиная с разработки методики их проведения, собственно натурные испытания (зачастую в сложных гидрометеорологических условиях) и обработка результатов испытаний. Существует вероятность того, что такая обработка покажет необходимость новых испытаний с повторением описанного технологического цикла. Затрачивая большие усилия на точную идентификацию параметров математической модели судна, следует каждый раз оценивать, в какой мере погрешности в определении этих параметров скажутся на погрешностях оцениваемых с их помощью маневренных характеристик судна или траекторий самих маневров.
Такая задача для общей математической модели является весьма актуальной и, скорее всего, может быть решена только численными методами. Это утверждение особенно верно для того случая, когда параметры модели идентифицируются минимизацией функционала, соответствующего дифференциальным уравнениям, а не минимизацией суммарных отклонений модельной траектории от траектории фактической. В этом случае реальным является простое «проигрывание» модели при вариации ее параметров с изображением траекторий маневров и последующим подсчетом отклонений траекторий от некоторой базовой траектории. Однако, учитывая большое число параметров, входящих в модель, такой путь представляется не слишком перспективным, поскольку не выделяется влияние каждого из параметров модели.
Чтобы подтвердить это соображение, приведем результаты вариации параметров полной модели судна (рис. 3.1). Для анализа выбраны два дифференциальных уравнения управляемости судна, которые мы запишем в виде сфЛк = -(Р + Су ] р|р|) (у/Ь) + с-ш + Саг{уЦ).
АпШ = -(С+ р2) со т + (С* Р + С а,) (3.1).
Эти уравнения по структуре и способу определения параметров С,-с верхней и нижней индексацией соответствуют (по нашей классификации, приведенной в гл. 2) обозначениям А. Д. Гофмана [9]. При использовании модели знаки отдельных параметров были изменены так, чтобы все они были положительны, соответственно изменились и знаки членов дифференциальных уравнений (3.1). Согласно такой модели для танкера «Саратов» в балласте были вычислены параметры Сут, которые дали следующие значения:
С^ = 0.4- С-м — 0.46- Са- = 0.39- С&trade- = 0.94;
2.4- С: = 3.0- С =4.5- ^ = 6.2. (3.2).
Точные расчеты этих параметров, разумеется, имели большее число знаков, но для наших целей они округлены до одного или двух десятичных знаков.
Далее были рассчитаны траектории модели для трех совокупностей параметров: первая — исходная совокупность (3.2), вторая и третья — с измененными примерно на 10% параметрами в сторону увеличения и уменьшения. Полученные при этом траектории для у = 2 м/с, Ь = 147 м и кладке руля 15 град п/б представлены на рис. 3.1. Сравнивать такие траектории в целом не просто. Чтобы дать какую-то числовую оценку их близости, сравнивались значения координат на траекториях с дискретностью в 1 с для 1 000 точек в одинаковые моменты времени. Крайние две из этих трех траекторий дали средние квадратические отклонения по координатам X и 7: <зх = 112 м, о> = 124 м. Это значительные отклонения, но они вызваны тем, что сравнение координат проводилось в одинаковые моменты времени, т. е. в отклонения вошли неодинаковые темпы движения по траекториям. Понятно, что сравнение такого рода не очень удобно для практического использования.
Поэтому ниже мы будем применять способ сравнения моделей с измененными параметрами по отдельным маневренным элементам. I г з.
Рис. 3.1. Сравнительные траектории при ±10% вариации параметров модели судна (кладка руля 15 град, начальный курс 30 град, 1 — базовая).
3.1. Установившаяся циркуляция.
Для реализации этой идеи выберем ту же модель [см. формулы (3.1)] при начальной скорости v = 2 м/с, начальном курсе — 0 град и при перекладке руля линейно за 7 с из ДП до значения 20 град. Вначале найдем базовые значения характеристик установившейся циркуляции, т. е. их значения при исходных параметрах модели. Положив производные угла дрейфа и угловой скорости нулевыми, найдем условия стационарного состояния объекта. Это два алгебраических уравнения относительно стационарных значений угла дрейфа рс и угловой скорости поворота шс:
-(С^с + С" рс |рс|) (у/Ь) + с-шс + с— аг (у/Ь) = 0;
-(С + рс2) шс (у/Ь) + (С£ рс + С с.) (у/Ь)2 = 0. (3.3).
Из второго стационарного уравнения (3.3) получим выражение для установившейся угловой скорости поворота:
С0с = [(С£ Ре + С а,) / (С + рс2)] (у/Ь). (3.4).
Подставив его в первое стационарное уравнение, найдем нелинейное алгебраическое уравнение для значения установившегося угла дрейфа рс: с? рс3|рс,| + С^ с:№ рс3 + (С* С? рс2 аг + С: рс|рс|) + + рс (С^ с: — сС^п) + аг (-С* С*я — Су Са-) = 0. (3.5).
Было записано три варианта этого алгебраического уравнения: одноисходное (3.5), четвертого порядка, другое — третьего порядка, в котором опущен член четвертого порядка, и наконец уравнение второго порядка, в котором опущены члены четвертого и третьего порядка по углу дрейфа. Заметим, что традиционно решается именно третье уравнение как обычное квадратное уравнение. Это естественно, если решение производится аналитически, так как общего решения уравнений третьего и четвертого порядка мы записать не сможем. Но в нашем случае использованы вычислительные средства, поэтому для сравнения были решены все три вида уравнений для трех различных кладок руля. Результаты таких расчетов приведены в табл. 3.1 для судна в балласте со скоростью хода 6.9 м/с.
Сравнительные результаты расчета характеристик установившейся циркуляции (рс, градшс, град/минЯс, м).
Уравнение.
Четвертого порядка Третьего порядка Второго порядка.
Кладка руля 5 град.
15.2 16.0 17.9.
С0с 14.0 15.3 18.5.
Яс 491 450 372.
Кладка руля 10 град.
Рс 20.7 22.6 26.7 юс 20.3 24.1 32.8.
339 285 210.
Кладка руля 20 град.
Рс 27.9 32.4 42.0.
Юс 28.6 39.6 67.2.
Яс 240 174 102.
Данные таблицы показывают, что упрощенное решение уравнения второго порядка дает искаженные результаты, опасные с точки зрения маневрирования. В частности, оно дает заниженные значения радиуса установившейся циркуляции и, следовательно, при выполнении реального маневра, основанного на этих значениях, судно может не вписаться в акваторию маневрирования. Именно поэтому для точности последующих выводов мы находим значения указанных характеристик только с использованием полного уравнения (3.5).
Найдем характеристики установившейся циркуляции для кладки руля 20 град при исходных значениях параметров модели (3.2): (Зс = 0.487, шс = 0.8 337 с-1, Яс = 239.9 м. Далее проведем вариации параметров модели судна С. Для этого изменяем каждый из параметров модели отдельно и определяем численно приращения в угле дрейфа, угловой скорости поворота и радиусе установившейся циркуляции (к их базовым значениям). Затем приближенно находим частные производные от этих характеристик по параметрам модели как отношение соответствующих приращений. Например, дЯс/д^ «Мс/А С? р — частная производная от радиуса установившейся циркуляции по параметру С^. Эту величину мы назовем коэффициентом влияния параметра Су на радиус установившейся циркуляции. Все расчеты сведены в табл. 3.2, где под С, 0 подразумеваются коэффициенты модели в порядке, перечисленном при их первом введении в (3.2), а под Сг — их варьируемы значения.
Заключение
.
В работе рассмотрены проблемы, которые связаны с идентификацией общей математической модели судна или его отдельных маневренных характеристик и вытекают из общей теории моделирования и идентификации моделей. В рамках поставленных в работе задач было выполнено следующее:
1. Детально сформулирована теоретическая проблема использования принципа максимума Понтрягина для решения задач параметрической идентификации. Принцип максимума применен для практического решения задач разгона (торможения) и поворота судна как двухпараметрических задач идентификации.
2. Предложен новый способ идентификации параметров математической модели судна путем вариации минимального числа размерных характеристик. Таких характеристик может быть три, и их действующие значения находятся как решение трех нелинейных уравнений, вместо 12 линейных уравнений с плохой обусловленностью при варьировании самих параметров модели.
3. Дальнейшее развитие метода (см. п. 2) позволило свести задачу к варьированию только одной размерной характеристики — осадке. В этом случае приходится решать только одно нелинейное уравнение более сложного вида. Показано, как искомое решение можно получить практически непосредственным поиском минимума функционала. Полученное при решении эффективное (действующее) значение осадки позволяет уточнить значения всех параметров модели.
4. Развито понятие коэффициентов влияния параметров математической модели на маневренные характеристики судна. Вычислены коэффициенты влияния на характеристики установившейся циркуляции, эволюционного периода циркуляции, на начальную поворотливость судна, его способность к одерживанию и тормозные характеристики при переходе с большей скорости судна на меньшую скорость при выполнении сложных швартовых операций. Для всех этих характеристик коэффициенты влияния получены как в абсолютном, так и в процентном выражении.
5. Введено новое понятие коэффициентов согласованности влияния параметров математической модели на маневренные характеристики судна. Вычислены коэффициенты согласованности для ряда математических моделей. Рассчитаны маневренные характеристики при учете согласованности вариаций параметры моделей.
Все полученные результаты легко обозримы, имеют простую форму и могут быть применены в реальных судовых условиях или в рамках учебных занятий при подготовке судоводителей. Кроме того, все результаты наших исследований были применены реально (и могут применяться для аналогичных целей) при создании электронных тренажеров, отрабатывающих сложное маневрирование в стесненных и специфических условиях.
В диссертационной работе приводятся как теоретические решения, так и практические алгоритмы идентификации частных моделей конкретных судов, получаемых на основе их ходовых испытаний. Они дают возможность совершенствования маневрирования крупнотоннажных судов с использованием технических средств судовождения.
