Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом

Настоящая диссертация посвящена принципу усреднения для параболических уравнений. Поэтому более подробно остановимся на работах, в которых исследуется принцип усреднения для уравнений такого типа. Первой, повидимому, была работа [9], где исследована задача Коши, а ч.

Os-tsT, хеИЛ) Щх)=о°(х) CxeR*), со * О для слабо нелинейной параболической системы, содержащей большой параметр СО. Установлена равномерная по (*fc, X) сходимость при (0-*-+00 решений ^(«t^OR) задачи /I/ к решению l)^ (t7SC.) усреднённой задачи Коши.

0"t"T, хеЦл), tr (0,oc)=:tf0(x) (леЯ*).

Здесь «Р (Х,<�Т) определена формулой.

Х)1У)=: llm 4″ F Ct, ac, ir) oLt. /з/.

Исследование опирается на метод интегральной непрерывности, впервые применённый в работе [ю] и развитый в работе [il] для уравнений с ограниченными операторами.

В работах [l2,I3] была изучена общая начально-краевая задача для квазилинейного параболического уравнения вида.

I —) оС jV cot, x, o-Dir) xeQ) /4/ в ограниченной области. Установлена сходимость bLp (Q) норме при любом р>1, равномерная по*Ьб[0,Т], нр только решений ^(«t^) этой задачи, но и их производных вплоть до старшего порядка |jf|-2lTl к соответствующим производным решения усреднённой задачи. Исследование опирается на метод дробных степеней операторов, изложенный в [14], и метод интегральной непрерывности. Отметим, что [13] - это первая работа, в которой установлена сходимость старших производных поX.

В работе ?15] впервые были изучены параболические уравнения, коэффициенты которых при старших производных по X содержат большой множитель при временной переменной. В ней изучена задача Коши для параболического уравнения air л,^, float = Д- 14. wt,"y+ X a.(cot, x) g^ + с, 1−1 о ь 4 * ?(cot, x) <0*-Ь"Т, хеЯ* со^О). /5/.

Установлена сходимость в её решений к решению усреднённой задачи с помощью методов теории вероятностей.

Систематическое исследование принципа усреднения на временной оси для параболических уравнений, содержащих большой множитель при «t в коэффициентах при старших производных, было проведено в работах [l6,I7] /см. также [18]/. В них разработана теория абстрактных уравнений такого вида, названных в [1б] уравнениями с переменным главным членом. В приложении к линейным параболическим уравнениям произвольного порядка 2 Ш дивергентного вида эта террия позволила установить слабую сходимость в L2 /точнее в /-норме производных решений по X до порядка 1П к соответствующим производным решения усреднённого уравнения. Эта теория позволила исследовать также квазилинейные параболические уравнения второго порядка дивергентного вида и установить сходимость в Снорме решений этих уравнений к решениям усреднённых уравнений.

В последние годы интерес математиков привлекают задачи многомерного усреднения. Исследуются уравнения, коэффициенты которых содержат большие множители не только у *fc, но и у X. Принцип усреднения и более общее понятие Gсходимость для линейных эллиптических и параболических уравнений произвольного порядка 2 №> дивергентного вида исследованы в работах [l9,20,2l]. В этих работах имеется также подробная библиография предшествующих работ по (iсходимости и принципу усреднения.

Приведём результат из работы [21*], касающийся одномерного усреднения и имеющий непосредственное отношение к данной диссертации /теорема 7 из[21]/. Рассматривается задача Коши f1 [a, MrtVl=i.

0Ъ loCl Iftlfim Л oCjV > x.

6/ tr (0,x)=tfo (x) (xe^l.

Предполагается, что коэффициенты равномерно непрерывны по совокупности переменныхсуществуют такие константы Jto>05JJL>0, что выполнены неравенства a^ (lodjjrUm, t*0, хеТС), и при каждом xeU существует предел. i<

CL & rtx) dt.

АрN J oCjV4 >

Задаче /6/ сопоставляется усреднённая задача Коши.

M, ljH"m «/7/.

0"t"T, жеТП <�Г (0,х)=<�Го (х) (асеТГ).

Изучаются обобщённые решения (*Ь, Х) и^Ct, X) задач /б/ и /7/ соответственно, т. е. решения изЬ2([0,Т])^ГЧ[Я, г])П^^ССО^^СЯ" ]). В частности, это означает, что обобщённые решения имеют /обобщённые/ производные по X до порядка из], 2((3), Q=[0,?] *Ца. Установлена /при СО00 / слабая^ в L^GD-HopMe сходимость обобщённых градиентов и Ij/O^Ct^X) к D^O^ (t, 0C) при |оСИ Ш .

В работах.

22,23] изучена задача Коши g^y —EL, а > Я-it.

Я" «5 ач (t>x) э^ «S с.

0"t"T, oceTT), ir (0,x)=o'ocx^ CxeUa), и установлено неравенство коэрцитивности внормах. Особенность этих результатов в том, что нормы старших производных решения задачи /8/ оцениваются величиной, не зависящей от модулей непрерывности коэффициентов по. Поэтому эти результаты применимы к исследованию принципа усреднения для задач /б/ и /7/ при IUrl /и при дополнительных предположениях о гладкости коэффициентов по X /. С помощью этих результатов и сформулированного выше результата из [2l] можно установить, что вместе с производными по X до второго порядка включительно елабо сходятся к соответствующим производным iT^ («Ь, Л} в Lp (Q)-норме при любом р > 1, и при каждом фиксированном «fc сходятся равномерно по X из любого компакта И. На работы [22,23] обратил моё внимание В. В. Жиков.

Из приведенного обзора литературы видно, что для уравнений с переменным главным членом /по терминологии [16*]/ актуально построение теории, которая позволила бы в приложениях исследовать квазилинейные параболические уравнения произвольного порядка 2 (TV общего вида и установить оценки скорости сходимости в Снорме решений неусреднённых уравнений и их производных по пространственным переменным до порядка 2. ГЦ включительно к соответствующим решению и производным усреднённого уравнения. Изучению этих проблем и посвящена данная работа.

В банаховом пространстве исследуется задача Коши для квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка с переменным главным членом. Для указанного класса уравнений получена теорема существования и единственности в предположении одной лишь непрерывности операторных коэффициентов по t и ограничений на некоторые коммутанты. В качестве приложения получена теорема существования и единственности классического решения для квазилинейного параболического уравнения порядка 2 т общего вида с одним пространственным переменным в предположении непрерывности коэффициентов по «Ь и гёльдеровости по X. Отметим, что ранее существование классических решений в предположении лишь гёльдеровости коэффициентов по X было установлено для нелинейных параболических уравнений только второго порядка [23]. Для линейных параболических уравнений высокого порядка и систем существование классических решений доказано в предположении гладкости коэффициентов по совокупности переменных /см. [24] и [25]/.

Установлен принцип усреднения, обеспечивающий сходимость решений неусреднённой задачи Коши к решению усреднённой задачи в различных нормах, причём установлен не только факт сходимости, но получены оценки быстроты этой сходимости через величины, характеризующие скорость усреднения коэффициентов. Главный результат здесь состоит в том, что получены оценки скорости сходимости в норме, определяемой старшим операторным коэффициентом. Абстрактная теория применена к исследованию задачи Коши для квазилинейного параболического уравнения порядка 2 т с одним пространственным переменным, и получены оценки скорости сходимости в норме.

С ([0,Т], СЫ (иЛ)).

Отметим, что установлена не только сходимость решений для индивидуальных входных данных, а сходимость операторов сдвигами получены оценки скорости этой сходимости. Это позволило исследовать связь устойчивости по Ляпунову для усреднённых уравнений с таким же свойством неусреднённых уравнений и, главное, установить принцип усреднения не только для линейных, но и для общих квазилинейных уравнений.

Результаты диссертации получены с помощью метода «коммутант», впервые применённого в работе [2б] при построении оператора сдвига задачи Коши для линейного однородного параболического уравнения порядка 2. ГП с переменными коэффициентами. В [2б] этот метод позволил построить оператор сдвига без предположений о гладкости коэффициентов по t, но при большой гладкости их по X. Это дало возможность применить метод «коммутант» в работах автора [27,28] к исследованию принципа усреднения для квазилинейных уравнений с линейным переменным главным членом. В данной работе предложен новый вариант метода «коммутант» t позволивший в приложениях требовать от коэффициентов лишь некоторой гёльдеровости по X, что дало возможность применить его к общим квазилинейным уравнениям.

2. Перейдём к обзору содержания диссертации.

В вводном § I даётся постановка задачи Коши для абстрактного квазилинейного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с переменным главным членомописывается схема метода «параметрикс» и поясняется его непригодность для исследования принципа усредненияприводится схема метода «коммутант». В главе I исследуется абстрактная задача Коши.

В § 2 изучаются некоторые свойства аналитических полугрупп, порождаемых зависящими от параметров неограниченными операторами. По тройке банаховых пространств (0 и ^ с непрерывными и плотными вложениями 1 и по функции BCS).

S?0) со значениями в Howell] определяется её усреднение.

— fc >Л) «порождающее в «JjJ аналитическую полугруппу exp{-z1?(i,^)} U"0) • Устанавливается связь между оценками этих полугрупп и их коммутантов (J, с оператором В (5) и оценками резольвент операторов и соответствующих коммутантов rv.

CJ,. При этом используется известная из теории полугрупп связь между полугруппой и резольвентой её производящего оператора, устанавливаемая с помощью преобразования Лапласа /см. напр. [29]/. Здесь накладываются основные для дальнейшего ограничения E*MUUa, ш «миГ1 для некоторого jf€ [^, 1*], показывающие, что нормы ^ должны определённым образом стремиться к нулю при стремлении модуля спектрального параметра, А к бесконечности. Отсюда выводятся соответствующие оценки для ty. Эти оценки позволяют изучить гладкость полугрупп exp-f-zTfyt^)} и коммутантов (J, по параметрам /леммы 1−4, стр. 24, 25/, а также получить оценки разности полугрупп /лемма 5, стр.28/. Оценки § 2 позволяют исследовать в § 3 ЯДР° KCfc"^) интегрального уравнения, служащего для определения оператора сдвига tlCfc,^) линейной однородной задачи Коши. Устанавливается непрерывность К («Ь,^) при в Hoin[El}E^] и цикл оценок норм KCW /лемма I, стр.30/. Важнейшей является оценка в Нот[2,11] «показывающая, что ядро имеет суммируемую особенность. Это позволяет в § 4 построить оператор сдвига llCt,^) как решение интегрального уравнения.

•k i.

Ufltf)=Фсь><�о+ $U (i, s) K (3fl) As, ФсЬ?)=ехр{-$ВфА?}, /ю/ г эвристический вывод которого дан в § I. Оценки §§ 2,3 позволяют в § 4 доказать непрерывность li («fc/D) в Нот [Я, U] и её дифференци-руемость поfe в Нот ПРИ «t ^ /леммы 1,2, стр. 33,36/.

В этих доказательствах существенно использование промежуточного пространства. В качестве следствия выводится дифференциальное уравнение для оператора Ц («t,^).

Изученные свойства оператора сдвига позволяют /§ 5/ доказать существование и единственность решения линейной задачи Коши и получить формулу для её решения. При исследовании разрешимости линейного неоднородного уравнения используется идея из [ 12]. Доказательство единственности опирается на установленную в § 3 /лемма 2, стр.32/ оценку в Hom[D, D] ядра^СЬ^) уравнения, сопряжённого /10/. Из единственности решения задачи Коши вытекает важное тождество Гюйгенса для оператора сдвига. Оно позволяет доказать дифференцируемость ИСЬ,^) по °С в Нот. [Ц,!!]. В § б исследуется квазилинейная задача Коши ir+Afr, ir]ir = f[-b,^] (t*0), tf (0)=iro, /п/.

Термин «квазилинейная» оправдывается тем, что функция Act,!?) непрерывна из [0,+ов)х в Нот[ф?" Е] jf-CtjiT) непрерывна из [0>+о®]*1Й? вЕг иЙ, — банахово пространство с непрерывными вложениями 3) С Е$ С JJ. По непрерывной при «t? О со значениями в ТЙ^ функции Z («t) строится линейный оператор В (-t)=A[t, Z (i)], а по нему — оператор сдвига t (2(i, T). Этот оператор позволяет свести задачу /II/ к интегральному уравнению вольтеровского типа и доказать локальную /по t / теорему существования и единственности /теорема I, стр.47/. Отметим, что при этом существенно используются полярные оценки оператора сдвига, установленные в § 4.

Следующие два параграфа подготавливают исследование принципа усреднения. В § 7 изучается гладкость Ипо %. В § 5 была установлена дифференцируемость LlCt,^) по % в Оказывается,/лемма 2, стр.51/ Uct,^) при" Ь>*? удовлетворяет по ^ некоторым весовым условиям Гёльдера, если её рассматривать в Ноггъ[" ЁэЁЗ или Нот [Ён/£] • При этом накладываются ограни.

Я С чения на новый коммутант 0, • Доказательство основано на оценках g g^liCtjC) в различных нормах /лемма I, стр.50/. Эти оценки позволяют также установить неравенство /лемма 6, стр.58/ t>

В § 8 оператор Щ^ЯС) изучается в шкале банаховых прост-ранотвЕ,*, ?t=D, прежние, с непрерывными и плотными вложениямиEjpEjv при o?>jV% Для дальнейшего важно, что оС0> 1. Предполагается, что нормы этих пространств удовлетворяют неравенству моментов /см. 14]/, и показывается /лемма I, стр.60/, что в исследуемой ситуации неравенство подчинённости /см. [14]/ обратимо. Предполагается, что B (S)€C ([05+°o)j HomlX^E^]) при0^оС^оС0−1, и на резольвенту «Р («fc/С) и коммутант ^ накладываются такие же ограничения, как и при сС-0. Это позволяет оценить в шкале «Ё^ полугруппы exp{-zV (-t,*?)» } и коммутант CJ,. Главное в § 8 — это оценки Ив HomfU^E^] при любых O^j$r?dC.

В главе II исследуется принцип усреднения для абстрактной зал I со дачи Коши. В § 9 изучается оператор сдвига Ц («t,^) линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с операторным коэффициентом В (cO» t). Предполагается, чтоВ («Ь) имеет среднее В в Hom[U,'E] „порождающее оператор сдвигаMtp^'t-^yb0″ } усреднённого уравнения, и исследуется разность Д tt^llt^-U'cfc/t) в шкале Е^. Условия наВСЪ) позволяют получить равномерные по СО оценки li^Ct,^). Оценки A^ проводятся при фиксированном Т>0 и 0<“ t» «cC^T. Для любого ^€.(0,%) и V оценки Д» опираются на равномерные по СО оценки гладкости И (t, t) /лемма I, с.65/. Основная трудность — в получении оценок A^Ct,^) при «fc ^^. Оператор Д^ф,^) представляется в виде суммы интегралов по множествам малой меры. Каждый такой интеграл разлагается на сумму трёх интегралов, и малость первых двух получается за счёт равномерных по СО оценок гладкости 11 (t,^). Малость третьего интеграла получается с помощью функции^, характеризующей скорость усреднения В Ct) /леммы 2−7, с.66−71/. Стремление A^Ctyt) к нулю при в норме Нот «равномерное по, устанавливается при jV>oC /лемма 8, с.72/. При этом доказывается не только факт сходимости, но получаются и оценки быстроты этой сходимости при всех0^°С¹ • Для приложений интересен случай оС=1, и здесь существенно, что можно выбрать (l<,°Co) • Далее приводится пример, показывающий, что при jSr^oC равномерного стремления к нулю/1 («Ь?ЯО > вообще говоря, нет в случае неограниченных B (-t) /пункт 3, с.73/. В общем случае оценки равномерного стремления к нулю получены для оператор-функции Д^СЬ,^) в при t.+JV-cC>0, /теорема I, с.76/, и показано, что в случае ?+Jfr-oC=0 имеет место сильная сходимость, равномерная по 0.

Хотя оценки скорости сходимости Ajft,^) при СО +оо получены при фиксированном Т > 0 и, они позволяют /§ 10/ исследовать связь между устойчивостью по Ляпунову нулевых решений усредненной и неусредненной линейных задач Коши при больших СО /теоремы I, 2, с. 78,82/. Здесь используются весовые оценки скорости сходимости, верные при фиксированном /большом/ Т >0.

В работах автора [30 — 33] был применен новый метод доказательства равноустойчивости /одновременной устойчивости или неустойчивости/ по Ляпунову нулевых решений для квазилинейных усредненных и неусредненных уравнений с линейным постоянным главным членом. Этот метод применим и в случае квазилинейных уравнений.

27, 28], и он позволяет ослабить ограничения на гладкость нели-нейностей по сравнению с работами [l2, 34] .

В § II общей квазилинейной задаче Коши с параметром СО > О ir+Atcot^lir^ftcot^] (t*0),.

Из равномерных по СО оценок следует существование и единственность решений O^Ct") и ^(i) задач /13/ и /14/ соответственно, определенных на некотором, не зависящем от СО, отрезке [0," fc0 3 /теоремы I и 2, с. 85, 86/. Главный результат /теорема 3, с. 95/ состоит в оценках скорости стремления к нулю при СО.

AM (t)^oo C" fc). Сначала принцип усреднения доказывается в норме пространства, характеризующего степень квазилинейности /лемма 1, с.91/. По сравнению с линейным случаем /§ 9/ здесь возникают дополнительные трудности в оценках разности операторов сдвига. Кроме того, в оценках, кроме функции CJ, теперь фигурирует функция, характеризующая скорость усреднения нелинейности f (•fc,!)'). Затем принцип усреднения устанавливается в любом пространстве приоС<1 /лемма 2, с.93/. Наконец, /лемма 3, с.95/ принцип усреднения доказывается в Здесь по сравнению с предыдущими случаями в оценках появляются дополнительные логарифмические множители величины T/V • Отметим, что теорема 3 /с. 95/ устанавливает близость при больших СО решений О’щС’Ь) и IT^ C" t), если они определены на любом фиксированном отрезке [0," t0″) и при всех «t€ [О ,» Ь0″ ][ принадлежат фиксированному шару пространства .

Поэтому указанный принцип усреднения позволяет /§ 12/ установить при больших СО нелокальную теорему существования для задачи /13/, если такая теорема справедлива дяя задачи /14/.

Третья глава диссертации посвящена принципу усреднения для параболических уравнений произвольного порядка 2m с одним пространственным переменным. Исследуется задача Коши для линейных однородных уравнений и общих квазилинейных уравнений, содержащих большой множитель при временной переменной.

В § 13 изучается резольвента обыкновенного дифференциального оператора порядка общего вида на оси с переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию Гёльдера. Хотя функция Грина /фундаментальное решение/ (Я^Я^А) такой задачи и исследовалась ранее /см. напр. 35]/, в литературе отсутствовали нужные для дальнейшего оценки /теорема I, оценки /13.10//, полученные в работе автора [36 ]. В абстрактной теории глав I и II дифференциальные уравнения изучаются в шкале Е^ банаховых пространств.

В § 14 показывается, что в качестве такой шкалы может быть к л* C2m oC]. {2moC} /<�ь1ч взята шкала пространств Гёльдера t,^™ Ь ^ И.

Оценки производных функции ^(X^jA) позволяют установить /теорема I, с.103/ оценки резольвенты дифференциального оператора порядка 2 т в нормах Нот [Е J при любых 0, оС-JV^l,.

Ь/2.т. Здесь 6 €(0,1) показатель гёльдерово-сти коэффициентов,.

В § 15 устанавливаются оценки коммутантов одних дифференциальных операторов с резольвентами других /леммы 3,4,5, с. 108, 109,113/. На этих оценках основан метод «коммутант». Результаты § 13- § 15 позволяют применить теорию глав I и II, что и делается в завершающем § 16. Сначала рассмотрена задача Коши для линейного однородного уравнения. Доказано существование оператора сдвига в предположении непрерывности коэффициентов поЬ и гёльдеровости по X /теорема I, с.116/. Установлен принцип усреднения с оценками скорости сходимости /теорема 2, с.118/. Получена оценка скорости сходимости производных по X функции О’ф C" t, X) до порядка 2пг включительно. Показано, что условия абстрактных теорем можно выразить в терминах коэффициентов /лемма I, с.116/. Далее исследуется /теорема 3, с.118/ связь между устойчивостью по Ляпунову нулевых решений усреднённой и неусреднённой задач Коши. Заключительный результат /теорема 4, с.120/ относится к задаче Коши для квазилинейных параболических уравнений общего вида. Установлено, что при больших СО неусреднённая задача Коши нелокально разрешима, если этот факт справедлив для усреднённой задачи Коши. Получены оценки близости решений и их производных по X вплоть до порядка. Здесь, как и в случае линейных задач, скорость сходимости выражается с помощью функций, характеризующих скорость сходимости /нелинейных / коэффициентов. Необходимость накладываемых на коэффициенты ограничений изучена в работе автора [37] .

3. Основные результаты опубликованы в работах [27] ,[28], [30], [38 — 45] .

По материалам диссертации автор выступал с докладами: на всесоюзной конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущённых уравнений, Алма-Ата, 1979 годна всесоюзной школе по вычислительной математике, Красноярск, 1981 годна научно-технической конференции Пермского политехнического института, Пермь, 1983 годна IX школе по теории операторов в фнкциональных пространствах, Тернополь, 1984 годна семинаре академика Ю. А. Митропольского в институте математики АН УССР, Киев, 1984 годна научных конференциях молодых учёных ВГУ, на семинарах математического факультета и факультета прикладной математики ВГУ, на отчётных научных сессиях ВГУ.

В диссертации принята сквозная нумерация параграфов и своя нумерация теорем, лемм и формул в каждом параграфе. При ссылке на формулу или предложение другого параграфа спереди указывается номер этого параграфа.

Автор благодарен своему научному руководителю профессору Борису Николаевичу Садовскому за постоянное внимание к нему и его работе.

1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н.

Введение

в нелинейную механику.- Киев: Изд-во АН УССР, 1937. 364 с.

2. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах математической физики.- Киев: Изд-во АН УССР, 1945. -137 с.

3. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. — 501 с.

4. Митропольский Ю. А. Лекции по методу усреднения в нелинейной механике. Киев: Наукова думка, 1966. — 467 с.

5. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б.й. Лекции по применению асимптотических методов к решению уравнений с частными производными.- Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1968. 414 с.

6. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1973. — 512 с.

7. Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.- Киев: Наукова думка, 1971, 440 с.

8. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Лекции по методу интегральных многообразий. Киев: Изд. Ин-та математики АН УССР, 1968.-416с.

9. Эйдельман С.Д.О применении принципа усреднения к квазилинейным параболическим системам второго порядка.- Сиб. мат. ж., 1962, т. Ill, Р 2, с. 302−307.

10. Гихман И. И. По поводу одной теоремы Н. Н. Боголюбова. Укр.мат. ж., 1952, т. У1, Р 2, с. 215−219.

11. Красносельский М. А., Крейн С. Г. О принципе усреднения в нелинейной механике. УМН, 1955, т. 10, в. 3 /65/, с. 147−152.

12. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для абстрактных параболических уравнений.- Матем. сб., 1970, 87 /123/, № 7, с. 53−61.

13. Симоненко И. Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений. Матем. сб., 1972, 87/129/, № 2, с.236−253.

14. Красносельский М. А. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций.- М.: Наука, 1966. 439 с.

15. Хасьминский Р. З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией.- Теория вероятностей и ее приложения, 1963, т. 8, Р I, с. 3−25.

16. Жиков В. В. Принцип усреднения для дифференциальных уравнений с переменным главным членом. ДАН СССР, 1973,208,№ 1,с.32−35.

17. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения.- Изв. АН СССР, сер.мат.н., 1976,40, № 6, с.1380−1408.

18. Левитан Б. М., Жиков В. В, Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: МГУ, 1978. — 205 с.

19. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. О (^-сходимости параболических операторов. УМН, 1981, 36: I, с. II-58.

20. Жиков В? В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьвн Нгоон. Усреднение и & -сходимость дифференциальных операторов. УМН, 1979, 34: 5, с. 65−133.

21. Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А. Усреднение параболических операторов. -Тр.Моск.мат.общ., 1982, т.45, с.182−236.

22. Веретенников А. Ю. Параболические уравнения и стохастические уравнения Ито с коэффициентами, разрывными во времени. -Мат. заметки, 1982, т. 31, Р 4, с. 549−557.

23. KtushW S. f^Castto A., Lopez И. Heoista cLen^clas materrvatlcs, Vo 1, III, Not, Ш2, р 37−56.

24. Матийчук Н. И., Эйдельман С. Д. Задача Коши для параболических систем, коэффициенты которых имеют малую гладкость. Укр. мат. ж., 1970, 22: I, с. 22−36.

25. Порпер Ф. О., Эйдельман С. Д. Двусторонние оценки фундаментальных решений параболических уравнений второго порядка и некоторые их приложения. У1Н, 1984, т.39, в. З /237/ с. 107−156.

26. Герштейн JI.M., Соболевский П. Е. Об одном подходе к исследованию разрешимости эволюционных уравнений. Дан УССР, серия «А1,1 1980, № 10, с. 9−12.

27. Соболевский Е. П. Принцип усреднения для уравнений с переменным главным членом.- Воронеж, 1979. 32 с. Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ I нояб.1979, Ш 4315−79.

28. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. — 464 с.

29. Соболевский Е. П. Принцип усреднения и устойчивость дифференциальных уравнений с малым параметром. «Диффер. уравнения», 1979, т. ХУ, № 8, с. II44-II49.

30. Соболевский Е. П. Принцип усреднения для уравнений с неограниченным оператором. Воронеж, 1979, — 12с.- Рукопись представлена Воронеж. ун-том. Деп в ВИНИТИ 17 янв.1979, № 220−79.

31. Соболевский Е. П. Принцип усреднения для уравнений с неограниченными нелинейностями. Воронеж, 1978. 13 е.- Рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 17 янв.1979, Р 219−79.

32. Соболевский Е. П. Новые оценки в принципе усреднения для уравнений с неограниченными нелинейностями. В кн.: Краевые задачи. Пермь: ППЙ, 1984, с. 145−147.

33. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.-534с,.

34. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. — 526 с.

35. Соболевский Е. П. Резольвента и коммутант дифференциального оператора с переменными коэффициентами.- Воронеж, 1984. 13 с.-Букопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 2 янв. 1985, Р 35−85.

36. Соболевский Е. П, Оператор суперпозиции в пространствах Гельде-ра. Материалы конференции молодых ученых ВГУ, Воронеж, 14−16 декабря 1983 г., с. 56−60. Представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ IP 3765−84.

37. Соболевский Е. П. Метод коммутанта для абстрактных параболических уравнений.-В кн.: Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль: ЯГУ, 1984, с.73−81.

38. Соболевский Е. П. Оценки скорости сходимости в принципе усреднения." IX школа по теории операторов в функциональных пространствах. /13−19 сент. 1984 г./. Тез. докл./ТГПИ, ИМ СО АН СССР, ИПММ АН УССР/. Тернополь, 1984, с. I3I-I32.

39. Соболевский Е. П. Оценки некоммутируемости в принципе усреднения.- ДАН СССР, 1984, т. 278, Р 3, с. 552−555.

40. Соболевский Е. П. Близость операторов сдвига в принципе усреднения.- Материалы конференции молодых ученых ВГУ, Воронеж, 1−3 декабря 1982 г., с. 45−47. Деп. в ВИНИТИ Р 4342−83.

41. Соболевский Е. П. Задача Коши для квазилинейных параболических уравнений с осциллирующими коэффициентами при старших производных. Воронеж, 1983. 15 е.- рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 янв. 1984, № 355−84.

42. Соболевский Е. П. Позитивность дифференциальных операторов, -Воронеж, 1984. 12 с, — рукопись представлена Воронеж, ун-том. Деп. в ВИНИТИ 16 апр. 1984, Р 2339−84.

43. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: И.Л., 1957. — 256 с. ?7. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными.- М.: Мир, 1966. 351 с.

44. Хилле Э., Филлипс Р. функциональный анализ и полугруппы. М.: И.Л., 1962. — 830 с.

45. Данфорд Н., Шварц Ж. Линейные операторы. Общая теория. М.: И.Л., 1962. — 895 с.