Стохастические задачи оптимальной остановки для процессов Леви

В стохастическом анализе широко известна так называемая «задача о разборчивой невесте» (известная также под рядом других названий, в частности, задача о выборе наилучшего объекта, см. [19]). Эта задача в различных постановках рассматривалась значительным числом авторов, в т. ч. в работах [4, 5, 7, 12, 13, 31, 32, 44, 45, 48, 49, 52].

Сформулируем задачу, следуя [19, гл. 2, § 3]. Имеется п объектов, занумерованных числами 1, ., п. причем объект с меньшим номером классифицируется «лучше» объекта с большим номером. Предполагается, что объекты поступают к нам в моменты времени 1,. 77 в случайном порядке (все п перестановок равновероятны), причем в результате сравнения двух из них становится ясно, какой из них лучше, хотя их истинные номера остаются неизвестными. В каждый момент времени нужно принять решение: либо отвергнуть объект (и далее к нему вернуться уже нельзя), либо принять объект (и процесс выбора прекращается). Задача состоит в том, чтобы с максимальной вероятностью выбрать объект с номером 1.

Оптимальной стратегией в этой задаче оказывается следующая. Надо просмотреть и пропустить первые т* — 1 объектов, а затем продолжать осмотр до момента г*, когда впервые появится объект, лучший, чем все предыдущие. При большом п, т* ~ п/е, а искомая вероятность приблизительно равна 1/е ~ 0.368. Этот результат интуитивно удивителен, потому что, казалось бы, искомая вероятность должна стремиться к нулю с ростом количества объектов.

Несмотря на то, что такие оптимизационные задачи в дискретном времени являются достаточно хорошо изученными, случай непрерывного времени начал исследоваться совсем недавно. Отличительной чертой подобных задач является то, что для принятия оптимального решения требуется хорошо оценивать будущее поведение наблюдаемого процесса по полученным данным. Искомый случайный момент в является непредсказуемым, т. е. несогласованным с естественной фильтрацией процесса Т. Задача заключается в построении оценки этого момента, т. е. согласованного с фильтрацией момента останови! т, который был бы оптимален в некотором смысле. В связи с тем, что процесс фь = Х{в < ?} является несогласованным с имеющейся фильтрацией, естественным образом возникает опциональная проекция этого процесса (см. подробнее [34]), процесс тгт = X{в ^ т | определенный для любого конечного (с вероятностью 1) случайного момента т. Таким образом, искомая задача сводится к задаче об оптимальной остановке процесса апостериорной вероятности равно как и близкая к ней задача о разладке (см., например, [10]). Принципиальным отличием класса рассматриваемых задач от задачи о разладке является то, что в рассматриваемой задаче в момент в не происходит смена характеристик процесса.

Целью настоящей работы является исследование некоторых задач такого характера для случая бесконечного горизонта. В то время как в случае конечного горизонта почти все задачи сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра второго рода и не позволяют получить явного решения, оказывается, что в случае бесконечного горизонта значительная часть подобных задач позволяет получить решение в явном виде.

Структура настоящей работы состоит в следующем. В первой главе приводится обзор существующих результатов, дается определение некоторых используемых далее понятий, и задача рассматривается для процесса броуновского движения со сносом. Для решения этой задачи широко используется обобщение известной теоремы Леви о распределении пары процессов, полученное в работе [47] для процесса броуновского движения со сносом. Во второй главе эта теорема обобщается дм случая процесса Леви с конечной мерой. В третьей главе мы используем этот результат для описания общего подхода к решению подобной оптимизационной задачи для процесса Леви с конечной мерой и демонстрируем этот подход в ситуации, когда наблюдаемый процесс представляет собой комбинацию броуновского движения со сносом и пуассоновского процесса. В приложении мы приводим алгоритм численного моделирования методом Монте-Карло, который позволяет получить приближенное решение.

Автор глубоко признателен своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору Альберту Николаевичу Ширяеву за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Общая характеристика работы.

Актуальность работы. Настоящая работа посвящена изучению ряда задач, возникающих при рассмотрении оптимальных оценок для непредсказуемых моментов, таких как первый момент достижения процессом наибольшего значения или последний момент достижения процессом уровня ноль. В общем виде задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть Хь — некоторый случайный процесс, а в — непредсказуемый момент. Задача состоит в том, чтобы, наблюдая процесс «остановить» его наиболее «близко» к моменту в.

В дискретном случае эта задача активно изучалась в 60-х и 70-х годах. Случай непрерывного времени стал, однако, активно исследоваться лишь в последнее десятилетие. Рассматриваемая задача относится к задачам скорейшего обнаружения, которые широко изучаются в современном стохастическом анализе.

Особый интерес представляют собой решения подобных задач в явном виде. Для процесса броуновского движения и некоторых критериев оптимальности для моментов абсолютного максимума и последнего нуля такое решение было получено в работах [17, 22, 46, 56]. Однако, как было показано в работах [36, 37, 39], уже в случае броуновского движения с ненулевым сносом ответ представляет собой решение некоторой системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода и не может быть выписан в явном виде. В настоящей работе исследуется случай бесконечного горизонта и показывается, что для достаточно широкого класса процессов решение может быть найдено в явной форме.

Цель диссертационной работы состоит в получении различных результатов, связанных с моментами абсолютного максимума и последнего нуля для процессов Левы на бесконечном горизонте.

Научная новизна. Все полученные результаты диссертации являются новыми. Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

1. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае броуновского движения со сносом.

2. Доказано обобщение теоремы Леви о совпадении пар процессов по распределению для случая процесса Леви конечной интенсивности.

3. Указан вид оптимальной стратегии для ряда критериев в случае общего процесса Леви конечной интенсивности. Построены оптимальные стратегии для ряда критериев в случае процесса, являющегося комбинацией броуновского движения и пуассоновского процесса, и предложен алгоритм численного моделирования, позволяющий получить оптимальную стратегию в случае, когда ее аналитический вывод оказывается слишком сложным.

Практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы, изложенные в диссертации, могут быть полезными при изучении задач, в которых наблюдаемый процесс может моделироваться в рамках процессов Леви.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:

• Большой кафедральный семинар кафедры теории вероятностей, рук. Ширяев А. Н., МГУ им. М. В. Ломоносова, 2011 г.

• Семинар «Стохастический анализ и теория мартингалов», рук. Ширяев А. Н., МГУ им. М. В. Ломоносова, неоднократно в 2008;2011 гг.

• Семинар «Стохастический анализ», рук. Гущин A.A. и Ширяев А. Н., МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2009 г.

• Международный симпозиум «Visions in Stochastics», Москва, МИАН им. В. А. Стеклова РАН, 2010 г.

• Семинар «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании», рук. Аркин В. И. и Пре-сман Э. Л., ЦЭМИ РАН, 2011 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах автора [14−16], входящих в список журналов по перечню ВАК. Работ, написанных в соавторстве, нет.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, общей характеристики работы, трех глав, библиографии и приложения. Общий объем диссертации составляет 74 страницы. Библиография включает в себя 63 наименования, включая 3 работы автора по теме диссертации.

1. Боровков А. А. О времени прохождения для одного класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 1965. Т. 10, № 2. С. 360−363.

2. Бородин А. Н., Салминен П. Справочник по броуновскому движению. Санкт-Петербург: Лань, 2000.

3. Ватанабе С., Икеда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы. Москва: Наука, 1986.

4. Винниченко С. В., Мазалов В. В. Оптимальная остановка наблюдений в задачах управления случайными блужданиями // Теория вероятностей и ее применения. 1990. Т. 35, № 4. С. 669−676.

5. Гуссйн-Заде С. М. Задача выбора и оптимальное правило остановки последовательности независимых испытаний / / Теория вероятностей и ее применения. 1966. Т. И, № 3. С. 534−537.

6. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. Москва: Физматгиз, 1963.

7. Дынкин Е. Б. Оптимальный выбор момента остановки марковского процесса // Доклады Академии Наук СССР. 1963. Т. 150, № 2. С. 238−240.

8. Звонкин А. К. Преобразование фазового пространства диффузионного процесса, «уничтожающее» снос // Математический сборник. 1974. Т. 93, № 1. С. 129−149.

9. Золотарев В. М. Момент первого прохождения уровня и поведение на бесконечности одного класса процессов с независимыми приращениями // Теория вероятностей и ее применения. 1964. Т. 9, № 4. С. 724−733.

10. Колмогоров А. Н., Прохоров Ю. В., Ширяев А. Вероятностно-статистические методы обнаружения спонтанно возникающих эффектов // Труды МИАН СССР. 1988. Т. 182. С. 4−23.

11. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. Москва: Наука, 1972.

12. Николаев М. Л. Об одном обобщении задачи наилучшего выбора // Теория вероятностей и ее применения. 1977. Т. 22, № 1. С. 191−194.

13. Пресман Э. Л., Сонин И. М. Задача наилучшего выбора при случайном числе объектов // Теория вероятностей и ее применения. 1972. Т. 17, № 4. С. 695−706.

14. Синельников С. С. О совместном распределении (эирХ — X, вир X) для процесса Леви X // Успехи математических паук. 2010. Т. 65, № 6. С. 193−194.

15. Синельников С. С. О моменте абсолютного максимума процесса Леви // Вестник МГУ. 2011. Т. 4. С. 23−27.

16. Синельников С. С. Об оптимальной остановке броуновского движения с отрицательным сносом // Теория вероятностей и ее применения. 2011. Т. 56, № 2. С. 391−398.

17. Урусов М. А. Об одном свойстве момента достижения максимума броуновским движением и некоторых задачах оптимальной остановки // Теория вероятностей и ее применения. 2004. Т. 49, № 1. С. 184−190.

18. Черный А. С., Ширяев А. Н. Некоторые свойства броуновского движения со сносом и обобщение одной теоремы П. Леви // Теория вероятностей и ее применения. 1999. Т. 44, № 2. С. 466−472.

19. Ширяев А. Н. Статистический последовательный анализ. Москва: Наука, 1976.

20. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Москва: Фазис, 1998.

21. Ширяев А. Н. О мартингальных методах в задачах о пересечении границ броуновским движением // Современные проблемы математики. Т. 8. МИАН, 2007. С. 3−78.

22. Ширяев А. Н. Об условно-экстремальных задачах скорейшего обнаружения непредсказуемых моментов у наблюдаемого броуновского движения //' Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53, К2 4. С. 751−768.

23. Ширяев А. Н. О нестандартных проблемах стохастической оптимизации: редукция к задачам в марковском представлении и их решение // Современные проблемы математики и механики. Т. 4. Москва: Издательство МГУ, 2009. С. 8−39.

24. Alili L., Kyprianou А. Е. Some remarks on first passage of Levy process, the American Put and pasting principles // The Annals of Applied Probability. 2005. Vol. 15, no. 3. Pp. 2062;2080.

25. Allaart P. C. A general «bang-bang» principle for predicting the maximum of a random walk // Journal of Applied Probability. 2010. Vol. 47, no. 4. Pp. 1072−1083.

26. Applebaum D. Levy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge: Cambridge University Press, 2009.

27. Baxter G., Donsker M. D. On the distribution of the supremum functionalfor the processes with stationary independent increments // Transactions of the American Mathematical Society. 1957. Vol. 85, no. 1. Pp. 73−87.

28. Bernyk V., Dalang R. C., Peskir G. The law of the supremum of a stable Levy process with no negative jumps // Annals of Applied Probability. 2008. Vol. 36, no. 5. Pp. 1777−1789.

29. Bernyk V., Dalang R. C., Peskir G. Predicting the ultimate supremum of a stable Levy process with no negative jumps // Annals of Probability. To appear.

30. Bertoin J. Lew Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

31. Boyce W. M. Stopping rules for selling bonds // Bell Journal of Economics and Management Science. 1970. Vol. 1. Pp. 27−53.

32. Chow Y. S., Moriguti S., Robbins H., Samuels S. M. Optimal selection based on relative rank (the «secretary» problem) // Israel Journal of Mathematics. 1964. Vol. 2, no. 2. Pp. 81−90.

33. Cohen A. Examples of optimal prediction in the infinite horizon case // Statistics and Probability Letters. 2010. Vol. 80. Pp. 950−957.

34. Dellacherie C., Meyer P. A. Probabilites et potentiel. Paris: Hermann, 1976.

35. Dufresne F., Gerber H. U. Risk theory for a compound Poisson process that is perturbed by diffusion // Insurance: Mathematics and Economics. 1991. Vol. 10. Pp. 51−59.

36. Espinosa G.-E., Touzi N. Detecting the maximum of a mean-reverting scalar diffusion. Preprint. 2010.

37. Fitzsimmons P. J. A converse to a theorem of P. Levy // The Annals of Applied Probability. 1987. Vol. 15, no. 4. Pp. 1515−1523.

38. Gardner M. Mathematical games // Scientific American. 1960. Vol. 202, no. 1. Pp. 150−156.

39. Gilbert J. P., Mosteller F. Recognising the maximum of a sequence // Journal of American Statistical Assosiation. 1966. Vol. 61. Pp. 35−73.

40. Graversen S. E., Peskir G., Shiryaev A. N. Stopping Brownian motion without anticipation as close as possible to its ultimate maximum // Теория вероятностей и ее применения. 2000. Т. 45, № 1. С. 125−136.

41. Graversen S. E., Shiryaev A. N. An extension of P. Levy's distributional properties to the case of a Brownian motion with a drift // Bernoulli. 2000. Vol. 6, no. 4. Pp. 615−620.

42. Griffeath D., Snell J. L. Optimal stopping in the stock market // Annals of Probability. 1974. Vol. 2. Pp. 1−13.

43. Hlynka M., Sheahan J. N. The secretary problem for a random walk // Stochastic Processes and their Applications. 1988. Vol. 28. Pp. 317−325.

44. Huzak M., Perman M., Sikic H., Vondracek Z. Ruin probabilities and decompositions for general perturbed risk process // The Annals of Applied Probability. 2004. Vol. 14, no. 3. Pp. 1378−1397.

45. Karatzas I., Shreve S. E. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Berlin: Springer, 1998.

46. Karlin S. Stochastic models and optimal policy for selling an asset // Studies in Applied Probability and Management Science. 1962. Pp. 148−158.

47. Kyprianou A. E. Introductory Lectures on Fluctuations of Levy Processes with Applications. Berlin: Springer-Verlag, 2006.

48. Mordecki E. The distribution of the maximum of a Levy process with positive jumps of phase-type // Theory of Stochastic Processes. 2002. Vol. 8, no. 24. Pp. 309−316.

49. Mordecki E. Ruin probabilities for a Levy process with mixed exponential positive jumps // Теория вероятностей и ее применения. 2003. Т. 48, К2 1. С. 188−194.

50. Pedersen J. L. Optimal prediction of the ultimate maximum of Brownian motion // Stochastics and Stochastic Reports. 2003. Vol. 75, no. 4. Pp. 205−219.

51. Pedersen J. L. An optimal selling strategy for stock trading based on predicting the maximum price. Preprint. 2007.

52. Peskir G. On reflecting Brownian motion with a drift // Proc. Simposium of Stochastic Systems. 2005. Pp. 1−5. ISCIE Kyoto (Osaka, 2005).

53. Peskir G., Shiryaev A. N. Optimal Stopping and Free-Boundary Problems. Basel: Birkhauser, 2006.

54. Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. Berlin: Springer-Verlag, 2005.

55. Revuz D., Yor M. Continious Martingales and Brownian Motion. Berlin: Springer-Verlag, 1999.

56. Shiryaev A. N. Quickest detection problems in the technical analysis of the financial data // Proc. Mathematical Finance Bachelier Congress. Berlin: Springer-Verlag, 2002. Pp. 487−521. Paris 2000.